VII

Lorsque l’on met en perspective une droite B située sur le pla» yéométral. on fait passer par l'œil o une droite B' parallèle à B et perçant le tableau T en un point b'; et en unissant le point b' avec le point b en lequel la droite B perce le tableau T, on a une droite indéfinie B, qui est la perspective de la droite B.

La droite B' est divisée en trois parties distinctes, deux parties infinies et une partie finie.

La partie finie est comprise entre I ’apil o et le point b'.

Les deux parties infinies sont : l’une, la partie qui part de l’œi/ o et qui s’éloigne indéfiniment du tableau; et l'autre , la partie qui part du point b' et qui fuit derrière le tableau.

La droite B, , considérée comme ligne droite, est divisée aussi en trois parties : J’une finie, comprise entre les points b et b', et les deux autres indéfinies , la première située à partir du point b au-dessous du pied xy du tubleau, et ta seconde partant du point b'.

Or, è quelles parties de la droite B correspond chacune des trois parties qui composent la droite B,?

Si par l'œil o je mène une droite qui passe par le point de la droite B qui est situé à l’infini derrière le tableau , la perspective de ce point sera le point V ,

Si par l'œil o je mène une droite qui passe par le point b de la droite B, , la perspective de ce point b ne sera autre que ce point b lui-même ; ainsi la partie infinie de la droite B située, à partir du point b , derrière le tableau , a pour perspective une droite (Baie bb' .

Si par l'œil o je mène une droite parallèle au tableau, et coupant la droite B en un point a, qui sera toujours situé en avant du tableau, je vois que la portion finie ab de la droite B, aura pour perspective la portion infinie de la droite B, située à partir du pointé au-dessous du pied xy du tableau ; et que la partie infinie delà droite B, qui fuit à partir du point a en avaul du tableau, aura pour perspective la partie infinie de la droite B, qui fiyt , à partir du point b', au-dessus de la ligne xy.

Cela posé :

Si l’on trace sur le tableau deux courbes C et C’ ayant un point commun m situé sur la ligne d' horizon , et qu’on les regarde comme les bases de deux cènes Ct et d' ayant l’sai pp oui sommet commun , ces deux, cènes se couperont suivant une génératrice om qui sera boruoatale; des lors le plan yéomitml coupera les

deux eônes 4 et A' suivant deux courbes B et B', qui auront un point situé à l’infini et qui sera i Intersection de la génératrice cia et du plan géométral.

Les deux courbes B et B' auront entre elles une manière d’ètre, et l'une par rapport à l'autre, en ce point situé à l'infini , manière d’ètre qui nous sera révélée par la manière d'ètre, entre elles et au point m, des deux courbes C et C'.

Ainsi : 1* si les deux courbes C et C' se coupent au point m , les deux courbes B et B' tendront à se couper à l'infini ;

2* Si les deux courbes C et C' ont un contact du premier ordre on le point m , les deux courbes B et fi' auront un contact du premier ordre à l’infini ;

3" Si les deux courbes C et C’ ont un contact du deuxième ordre en le point m, les deux courbes B cl B' auront un contact du deuxième ordre à l’infini , etc. , etc.

On voit donc, par ce qui précède, qu'au moyen de la perspective, on peut amener un point situé à l'infini sur le plan géométral, en un point situé à distance finie sur le tableau, et que ce point sera toujours situé sur la ligne d'horizon.

Dès lors on conçoit de quelle utilité peut être la perspective, pour connaître la manière d’étre entre elles des lignes courbes situées sur un même plan et qui passent par un même point situé à l'infini.

Nous allons appliquer ce qui vient d'être dit à la recherche de quelques propriétés relatives aux sections coniques.

§ VIII

Plaçons la fig. 7 sur le tableau , de manière à ce que le point p soit sur la ligne d’horizon.

Ou pourra donner à la fig. 7 deux positions : ou 1‘ la tangente 9 se confondra avec la ligne d’horizon , ou 2* la tangente 9 sera inclinée par rapporta la ligne d’horizon.

Dans le premier cas, les sections faites par le plan géométral dans les divers cônes ayant l 'œil o pour sommet commun et pour bases les diverses ellipses P, et M,, M.’, M,",... seront des paraboles.

Dans le deuxième cas, les sections faites par le plan géométral dans les divers cônes seront des hyperboles qui auront une asymptote commune, laquelle sera donnée par l'intersection du plan géométral et du plan (o, 9) tangent à tous les cônes suivant la génératrice (o , p) qui leur est commune.

Dans le premier cas, toutes les paraboles intersections du plan géométral et des cônes (o , M,), ( o , M/), (o, M ,") auront un contact du second ordre à l’infini ,

et ce contact aura lieu pour chaque arc infini.

Dans le deuxième cas , toutes les hyperboles sections faites par le plan géométral

dans leseônes(o, M,), (o, M,'), (o, M,"),... auront un contact du second ordre à l'infini , et seulement entre les arcs qui ont même asymptote.

Il sera facile de construire l'épure et d’énoncer divers théorèmes. Ainsi , pour les paraboles, on voit de suite que l'on peut énoncer le théorème suivant :

Étant donnée une parabole P,' (fig. 10), une tangente 0' en un point p' de cette courbe et son diamètre infini A’ passant par le point de contact p'; menant une suite d’ordonnées m'n', parallèles à la tangente 9' prenant les points mi-

lieux q‘, q''... de ces ordonnées, et menant par ces points des droites B', B”,... parallèles entre elles et au diamètre A', ces droites B', B"... couperont la tangente 9' en les points r', r"... Cela posé : si l’on cons Iruit une suite de paraboles N', N",... respectivement tangentes à la droite 9' en les points r, r",... cl ayant respectivement pour cordes les ordonnées m'n', toutes ces paraboles auront entre

elles un contact du second ordre à l’infini , et ce contact aura lieu pour l'un et l’autre arc infini, et ainsi pour les arcs situés à droite, comme pour les arcs situés à gauche.