II. DSS OXBHES

De la ligue qui sépare la partie éclairée de la partie obscure.

(Voyez art. 27, I’).

21. Le problème en question est du u)ème genre quo celui du n° 5. Les mêmes méthodes doivent donc, à quelques modifications près, s'appliquer à l'un et à l’autre. Je considère le rayon de lumière qui passe par le point (O-S), tig. 2, sommet commun des cènes île même inclinaison que les hélices et du cène de même inclinaison que la génératrice de la surface. Soient UL, SL' les deux projections du rayon de lumière, il rencontrera le plan horizontal eu L. Cela posé:

22. Que OZ soit la projection horizontale d'une arête quelconque du cène de même inclinaison que la génératrice, ou, si l'on veut, la projection d'une position quelconque de cette génératrice elle-mèiue, et qu’il s’agisse d’avoir le point de la ligne de séparation d'ombre et de lumière qui tombe en projection horizontale sur OZ.

On voit d’abord que LZ sera parallèle à la trace du plan lumineux passant par la position OZ de la génératrice. Ainsi, ayant abaissé sur LZ la perpendiculaire Ou, on la posera en us, et le |ioinl do rencontre de s y, parallèle à Ou, avec OZ, seratelui qu'on demande (pourquoi ? ). Le cercle décrit sur OL comme diamètre

donnerait immédiatement tes points u, c'est évident. Mais ii y a plus, lotis les points s sont sur le cercle dont le diamètre est la diagonale OM du carré LM N O construit sur OL, et lès lignes sy' spnt dirigées au point N. La construction se réduit donc à joindre LZ, ce qui donne le point :, et à mener sN qui détermine le point y.

Plus simplement encore, on mènera à OZ la perpendiculaire Ox , qui coupera LZ en x, et (n* 19) le cercle décrit avec le rayon Ox' et du centre O donnera lé point y. (Il resterait à voir si c'est plus simple et si cela vaut mieux dans le cas d’un pas très-petit).

23. Proposons-nous en second lieu de trouver le point qui doit être en projection horizontale sur le cercle donné fyhk. Ayant décrit une fois pour toutes la . circonférence JLN (dont le centre est O et le rayon OL), du point L avec le rayon perpendiculaire à /J, on tracera l'arc Ix'r, qui, par son intersection avec le cerclo fyhk, donnera le point x. Alors : ou l'on mènera l-i'a, qui rencontrera le cercle LMNO au point: et sN déterminera le point y'; ou bien on élèvera à Ox' la perpendiculaire O y', qui donnera encore le point cherché y' (approprier ici la méthode du n* 10. - Considérer le cône de même inclinaison que les plans tangents en les points d'une même hélice).

21. Il se pré ente ici dos remarques analogues à celles du n* 3. On distinguera de la même manière les'points qui se trouvent sur la nappe inférieure (le la surface de ceux qui appartiennent à la nappe supérieure, cl l’on trouvera aussi que les uns comme les autres forment une Courbe douée d’asymptotes rectilignes.

Ces asymptotes sont des positions de la génératrice qu’il sera aisé de reconnaître.

(II. se roiSr mulutt (*).

25. Si par un point quelconque de l'espace et [tour pliis de simplicité, par le point (O-S) on fait passer une première droite jietpendiculairc au plan vertical de projection, puis une deuxième droite parallèle au rayon de lumière* et qu’ensuile on construise un plan perpendiculaire à la ligne qui divise en deux également l’angle des deux droites, la question sera de mener à la surface un plan tangent parallèle à ce plan-là (/ÿ. 2).

Que l’on recherche sur l’horizon le plan projetant (LL', S) de la droite parallèle au rayon de lumière, en faisaut tourner ce plan autour de sa trace horizontale '

tP)Voye£ dans la Correspondance de l’École polytechnique. 1 . 1", n*8, p. i9ÎSà 30o (1807), le mémoire publié par Monge cl Hachette sur les point* brillants. Ca solution du problème des points brillants y est donné* d’une manière complète ; il n’v a rien à y njoiiter, T. O.

LL', la figure montre d' elle-même que L'/L, QU' et iOP seront les «leux droites dont on a parlé et celle qui divisait leur angle en deux également ramenés sur l'horizon, i O et SL' seront donc les projections de celte sécante considérée dans sa vraie position. Le plan qui lui est perpendiculaire et qui passe par le point (O-S) aura |>our trace horizontale FG perpendiculaire à iO, et menée par le pointx, qu’on détermine en tirantSX perpendiculaire à SL' etXxporpendiculaircàTT'(*). Actuellement, si l'on décrit du centre O le cercle GHI tangent à FG , et que par le point a on lui mène la tangente oll, cette tangente sera évidemment parallèle à la trace horizontale du plan qui passerait par la positiou primitive OA de la génératrice et qui aurait la même inclinaison que le plan dont la trace est FG. Or (n" 14) la perpendiculaire dn à ull , coupe OA en un point 7 , qui est la projection du point du contact de la surface et du plan passant par la position primitive de la génératrice, donc la projection du point brillant, qui se trouve déjà sur la position qu’aura prise la projection de la génératrice, et (pii doit être encore sur le cercle décrit du centre O et avec le rayon O 7 , sera au point d'intersection «le ce cercle et de la ligne.

2G. L'angle du plan langent à la surface avec l'horizon décroît, à mesure que le point de contact s'éloigne de l'axe; mais il ne décroît pas indéfiniment, et il a pour limite l'inclinaison do la génératrice. Il suit de là que la direction du rayon de lumière peut être telle que la surface ne présente pas de point brillant. Cela arrivera lorsque le plan auquel doit être parallèle le plan langent ci-dessus, fera avec l'horizon un angle moindre que celui de la génératrice, et l'on s'en apercevra à ce que la construction «induira à mener une tangente à un cercle par un point pris au dedans de ce cercle.

27. Choix de la direction du rayon lumineux pour qu’il y ail :

1* Séparation d’ombre et de lumière sur la face inférieure du filet ou sur la face supérieure ou bien sur l’une et l'autre;

2* Point brillant sur l’une ou l’autre l'ace.

(*) TT' <at la ligne de terre. T. O.