ELUPSE CENTRALE DE L'ARC ÊL
Nous n'avons examiné jusqu'ici que la déf élément de laconstruction, mais il est facile d de la construction toute entière ; car si l'on a d<
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8 6- ELLIPSK CKiNTRALt: DE LAKC ÈLASTIQlli: 24Î
formation de tous les éléments de l'arc, il suffira pour obteuir la déformation tolale d'additionner les déformations, parce qu'elles sont toujours trës faibles rclalivement à la portée et à la flèche de Tare.
Si Ton soumet tous les éléments de Tare à une force extérieure Q et si Ton maintient l'extrémité de droite de Tare, Tautre extrémité et tout point qui lui sera invariablement lié éprouvera une relation $, un déplacement vertical v et un dé* placement horizontal h. Ces déformations s'obtiendront simplement par sommation des expressions ^^, At>, et AA, et Ton aura:
k = SA/i
Dans le cas des arcs à paroi pleine, ou introduira dans ces formules les expressions (1), (5) et (6). Dans le cas d arcs à treillis on se servira des formules (7), (8) et (9). Comme nous l'avons vu, les expressions de AS peuvent être considérées
comme les moments statiques des éléments—- ou --- — an-
^ ht K.w.a* ^
pliqués aux centres de rotation, relativement à la direction de Tefforl. Les \v et les AA sont les moments centrifuges des mêmes éléments relativement à Taxe vertical ou horizontal du point W et à la direction de l'effort.
On déduit de ces propriétés le théorème suivant :
Si Fon suppose un ave à paroi pleine charyé en chacun de
ses éléments (Tun poids -• , ou un arc à treillis chargé en ses
nœuds des poids -, la rotation dtni point W de rare sous
finfluence dune force extérieure Q aura pour expression le produit de cette force Q par le moment statique de l'arc ainsi chargé^ relativement d cette force.
Le déplacement vertical de ce point W sera éyal au produit de la force Q par le moment centrifuge de l'arc ainsi chargé^ relativement à la direction de la fo7Xc Qet à taxe vertical des y.
Le déplacement horizontal du point Wei de la force Q par le moment centrifuge de Fa mes poids relativement à la direction Q et î desx.
Ou construira pour leasemblc di> ces poids
tcmcDt comme on le fait pour les surfaces trc de gravité cl l'ellipse centrale, et cette c calculer tes moments pour des axeâ quelcc ments de surface se trouvent tout simplem poids.
Nous désignons rnilipscainsî construite ] Ellipse centrale de l'arc.
Cette ellipse a été tracée dans la fig. 190 pt centre S est appelé centre de gravité de l'arc
Le moment statique de l'arc chargé des po
égal, comme on le sait, à la somme des mo des poids ou au produit du poids total par la ( de gravité,
La rotation du point A et par suite aussi lorsque l'arc est maintenu à son extrémité B, mer par
§ 6 — ELLIPSE CENTRALE DE L'ARC ÉLASTIQUE 24â
q étant la distance du point S à la force Q.
La théorie de Tellipse centrale établit que le moment centrifuge rapporté à deux axes est égal au double produit de la sommedes poids par la distance du centre- de gravité à Tun des axes et par la distance de Tantipôle de cet axe au second axe.
Si l'on désigne par D Tantipôlc de la ligne Q, on aura pour le déplacement vertical du point W
v = Q.gr.Trf.2— (11)
et pour le déplacement horizontal de ce point W
A = -Q.g,.î,rf.2— (12)
Ces mêmes expressions sont applicables aux arcs à treillis
en remplaçant S rr- par S - — ■•
'^ * El ^ E.w.a'
On peut aussi, au lieu de considérer Tantipôle D de la ligne Q, considérer les points X et Y, antipôles de Taxe des x et de Taxe des y ; on arrive alors aux expressions
A = -Q.2/3.(7xS— (44)
Suivant le besoin, nous nous servirons de ces dernières formules ou des précédentes.
Nous avons jusqu'ici tracé les axes du point W verticalement et horizontalement, mais rien ne s'oppose à ce qu'on leur donne une direction quelconque. Faisons donc passer Taxe des X par le point D, en conservant Taxe des y perpendiculaire au premier ; y^et h deviennent nuls, ce qui signifie que le point W se meut dans la direction de Taxe des y, par conséquent perpendiculairement à WD : il en est de même de tout point W invariablement lié au point A. On peut donc énoncer le théorème suivant :
Sous t influence dune force extérieure Q^ le mouvement dun
2U CflACITUK VI — AllOtf MKT,
point invariablement lié à l'extrémité h que Caulre extrémité est supposée fixe, r. de f antipôle de cette force.
iNous avons supposé que la force Q eo avons déduit tes déformations, mais soudrc le problème inverse, el déterm force Q qui produit imc rotation donnét ner la ligne k laquelle correspond l'ai désigne par antipolaire. De plus, la gr se détermine par la formule (10) en f rotation î.
