KS
LSzn-
U2 tiAU
Ces formules permettent de déterminer 1res facilement les réactions de gauche, pour des charges isolées. C*est ce qui a été fait dans la pi. 13 pour les 10 efforts agissant aux montants. La distance polaire du point Oi étant égale à F, nous aurons t/ = ti. Les u^ sont six fois trop grands ; les I2, 18 fois.
Il en résulte que pour obtenir LS en grandeur réelle, nous
remplacerons // par- /,. Il n'y a pas à tenir compte des si-
gnes, car les points K se trouvent toujours à gauche et les points L toujours au-dessus du point S. (Dans nos formules, toutes les valeurs sont positives à Texception de W3 ; il en résulte que KS est toujours négatif, tandis que LS est positif.) Les points K et L s'obtiennent en portant successivement, à partir du point S, la longueur ?/, mesurée sous Teffort, horizontalement à gauche, la longueur tt^ verticalement par le bas, puis Ui horizontalement vers la droite et enGn les constantes ^ et
- /j verticalement par en bas. On réunit ensuite, par une droite,
les extrémités de Ui et de t/^, on mène par l'extrémité de ti une parallèle à cette droite, qui détermine le point K.En réunissant
par une droite les extrémités de n^ et de - /, et en menant par
Textrémité de Ui une parallèle à cette droite, on obtient le
point L.'Ces constructions sont indiquées en partie dans la
planche 13 pour la cinquième charge.
En réunissant les points K et L, correspondant aux 5 points
d'application des charges, on obtient 5 tangentes ii la courbe
enveloppe et en même temps 5 points de la courbe des intersections.
En reportant les points K à droite symétriquement, on obtient les tangentes de la courbe enveloppe de droite et en même temps une vérification des points de la ligne des intersections. Les points de la courbe des intersections permettent de tracer cette courbe. On pourrait aussi, au moyen des tangentes, tracer la courbe enveloppe, mais cela n'a aucune utilité pour la suite et Ton s'est dispensé de le faire sur la planche.
La construction des réactions correspondant à des charges isolées, montre que le calcul graphique de Tare sans articulation présente un inconvénient. Les constructions des réactions sont i^tisfaisantes pour le milieu de Tare, mais leur exactitude est bien moins grande dans les environs des appuis. Pour la dernière charge les valeurs des u sont presque nulles et la détermination des réactions est pour ainsi dire impossible.
Nous remarquerons toutefois que cet inconvénient ne tient nullement à la méthode ; s'il ne frappe pas autant dans la méthode analytique, c'est parce qu'on peut introduire dans les calculs un nombre illimité de décimales. En réalité, cette inexactitude dans les constructions graphiques est plutôt apparente que réelle ; les forces intérieures, déterminées au moyen de la ligne des intersections et de la courbe enveloppe, dépendent très peu des charges voisines des appuis, et les résultats sont peu altérés par Tinexactitude dans la détermination des courbes dans le voisinage des appuis.
On peut du reste remédier en grande partie k ce manque d'exactitude par les considérations suivantes :
Supposons de nouveau Tare maintenu à son extrémité de droite, tandis que Tautre extrémité est libre de se mouvoir et faisons agir la dernière charge, n° 10.
En négligeant la dernière barre de treillis, les deux membrures i et 2 sont les seules pièces qui se déforment.
Le point de rotation correspondant à la membrure 2 est situé (sans erreur sensible) dans la direction de Teffort 10, il en résulte que X, v, h sont nuls pour cette pièce ; la partie de la
I iO — CONSTRUCTION DE LA COURBE D'INTERSECTION, ETC 259
construction située à gauche de la charge tourne autour du nœud opposé à la membrure 1 , qui n'est autre chose que le point d'appui de la membrure supérieure. Comme la réaction correspondant à la charge doit annuler cette rotation, et comme toute force fait tourner Tappui de gauche autour de Tantipôle de cette force rapporté à Fellipse centrale, la réaction cherchée tombe sur Tantipolaire du point d'appui de la membrure supérieure.
Cette réaction peut donc se construire au moyen de Tellipse centrale de l'arc.
Les mêmes considérations nous conduisent à une construction des réactions correspondant à la charge 9. La construction, bien que n'étant pas aussi simple que la précédente, est pratique dans un grand nombre de cas.
Cette charge 9 influe sur lès 6 dernières membrures de l'arc, 6 à 1 ; les points de rotation de ces membrures sont très rapprochés. Les charges, qui sont à appliquer à ces points de rotation, sont données dans le polygone des forces, et l'on pourra tracer rapidement, sans qu'il soit nécessaire d'y apporter beaucoup de soin, la petite ellipse centrale pour les 6 points de rotation et l'antipôle Dg de la charge 9 rapporté à cette petite ellipse.
La réaction de la charge 9 est l'antipolaire^ du point Dg rapporté à Tellipse centrale de l'ensemble de l'arc.
Ces dernières constructions permettent de corriger, avec une exactitude suffisante, les réactions correspondant aux deux dernières charges. Pour les autres charges l'incertitude disparaît, et la méthode générale donné des résultats satisfaisants.
En terminant ce paragraphe, nous remarquerons que dans les arcs symétriques on peut se contenter de construire la moitié des polygones et de Tare lui-même ; le travail se trouve beaucoup simplifié, et cela permet de faire l'épure à une échelle double.
La construction subira quelques légers changements dans la manière de mesurer et de reporter les w, mais chacun sera à même de les imaginer.
Dans la pi* 13, les constructions ont été faites sur Tare en-
CHAIMTRK VI — AKCS MKTALLHjUKS
lier, pour deux molifs : En premier lieu, les cunslructioiis seul plus claires, el eu second lieu^nous aurons besoin de Tare entier et des courbes complètes pour la détermination des forces intérieures.
En pratique il sera souvent avantageux de faire l'épure sur deux feuilles. La première servira à la détermination de la courbe enveloppe et de la courbe des intersections, en se servant de la moitié de Tare seulement ; la seconde feuille, sur laquelle Tare entier sera tracé, servira à la détermination des forces intérieures.
COJNSTRUCTION DE LA LIGNE DES LNTERSECTIONS D'UN ARC A DEUX ARTICULATIONS
Lorsque Tare repose sur les appuis au moyen de deux articulations, les constructions diQerent en plusieurs ])oints de celles du paragraphe précédent. On peut se dispenser de dé* terminer les rayons de giration r^ et /•*, et le nombre des polygones funiculaires îi^e réduit à trois.
Comme nous Tavons déjà dit, Tare à deux articulations doit satisfaire aux lois de l'équilibre, et de plus Técartement de ses appuis est invariable. Seul le déplacements, lig. 190, du point W invariablement lié au point A, nous intéresse ; les déplacements S et t^ sont laissés de coté. Nous aurons alors la seule condition :
h = ïA/i = 0
et, comme cela a été dit, les réactions passent par les articulations des appuis ; c est pour cela que la condition précédente suffit à déterminer ces réactions.
Pour résoudre le problème simplement, on fait tomber le point W sur Tappui A ; et nous avons vu au § G que pour ce point le déplacement horizontal est proportionnel au moment centrifuge des éléments d*arc, relativement à la direction do la fnici' ri à la li;iM' horizontale menée pai' le j'oiiil A.
F.S i.nti:rsi:ctions — aro a AivncrLATioxs sr.i
■oiis celle (leniière Iiorizonlalc couiidc axe des x uirons les moments slatiqucs rapporlés à. celte us appliquerons ces moments aux éléments
verticales pour construire le moment cenlrion le verra dans la suite, nous aurons besoin le l'axe AB par rapport à l'ellipse centrale de istruirons donc encore un troisième polygone
moments statiques considérés comme forces
lommc nous l'avons fait au § 7, les construcg:ones d'un arc à paroi pleine, en remarquant h. treillis les centres de gravité et Ips antipôles par les nwuds.
r-Jiria
DRS roiDï
'"""'.rrr'
Poids Al-' .coup.s.l'ûxeAB -coup.s.l-axeAB
IroriïODUlemenl verlicalemeiil horjzonlalejnent
Conirede gravité Antjpî>le de l'axe AB Anlipôle de l'axe AB
1er ce qui précède, nous renvoyons à la pi. i4, l'épure d'un pont de Francforl-sur-lc-Meîn (1). 6 inférieure de cet arc est circulaire et repose )ar des surfaces et non des articulations, mais ippui sont si petites dans ce système de conspeut tes considérer comme des points. C'est ithèsc que l'auteur de ce projet a fait le calcul
le l'arc est de 36" 75, sa flèche de S" G6I.
orte une largeur de chaussée de 1" 45.
I des pièces de pont est de 1°'75.
)artie k treillis et en partie à paroi pleine ; les
par conséquent en partie égaux ii — -, elou
iriTt fiirBaukunde >, 1879, el « ilein;tet'lln^ BrUckeo der
