ENCE D'UN CHANGEMENT DE TEMPERATURE
E ~ E ent horizontal di à la poussée Q sera
es deux valeurs trouvées pour A,on arrive, pour izontale due à la variation de température, h
F.rj*
I de la poussée est ud peu différente pour les Liions. Sa position est connue, puisqu'elle passe ; elle agit par conséquent suivant la corde AB andeur se détermine par la condition d'invarîatance des appuis. Si l'appui B est âse et si Tare librement, l'appui A se déplacera horizontalegauche, d'une quantité
Q dbil produire ce même déplacement en sens déplacement horizontal du point A sous l'acce quelconque est égal, comme nous l'avons vu, la force pur le moment centrifuge de l'arc relaigne AB et à la force. Dans le cas qui nous oc-
;nt centrifuge est pgal à ( S — ) y,. iji, où xfi est
centre de gravité S, \jx celle de l'antipôle X par
îAB.
nent horizontal du point A sera par suite
! valeurs de h, on trouve quo la poussée dans un ions, pour un changement de température t, est
276 CHAPlïRfc: VI - AKCS MÉÏALLlyUES
La valeur de Q se déterminera par le calcul, de manière à obtenir des kilogrammes ou des tonnes.
Si, comme on Ta déjà fait précédemment, Ton a exprimé les surfaces w en millimètres carrés dans le calcul des AF, et les longueurs en mètres, il suffira de rapporter le coefficient d'élasticité E au millimètre carré et d'exprimer la portée /, les longueurs r,, y , yx en mètres ; t et ï sont des coefficients.
Lorsque la poussée Q due à la température est déterminée, il est facile de calculer les efforts intérieurs de Tare.
Pour l'arc à paroi pleine, on utilise la formule (17),page270 : pour les arcs à treillis,on décompose les efforts graphiquement.
La valeur de % dépend des variations locales de la température. On admet en général que le montage se fait à une température moyenne et on donne à t deux valeurs égales, positive et négative. On est ainsi conduit pour la poussée Q a deux valeurs égales positive ou négative, qui produisent, dans les différentes pièces, de la tension ou de la compression.
Après avoir développé ce qui est nécessaire à l'épure d'uu arc, nous pouvons passer à la détermination des forces intérieures : nous développerons les constructions sur l'exemple de la planche 13.
Dans les § 8 et 10, tout ce qui se rapporte aux cinq polygones funiculaires, à l'ellipse centrale, aux courbes enveloppes et aux courbes des intersections a été expliqué, et il ne reste plus qu'à indiquer comment on peut, au moyen de ces courbes, déterminer les efforts maximums dans les pièces.
L'arc a été calculé avec un poids propre de 2.600 k®» et une surcharge de 1.400k^^ par mètre courant. L'effort sur un montant est par suite de 10.400 k^* pour la charge permanente et de
g J5 ^ EPLRE D'UN ARC SAiNS ARTICULATIONS 277
3.600 k^^ pour la surcharge. Colle dernière charge a élo décomposée pour les 10 moulants^ à réchelle de 3""" pour 2.000 k***, suivant les directions des réactions. La somme de ces réaclions est faite dans deux polygones des forces, iig. 8 et fig. 9, pour les réactions de gauche et pour celles de droite. La construction de ces polygones ne nécessite aucune autre es:plication ; pour opérer le plus simplement possible, on commence par les montants extrêmes et on dispose les triangles les uns à la suite des autres. Il va sans dire que les deux polygones sont symétriques.
En se servant de ces polygones, il est facile de déterminer en grandeur les réactions qui correspondent aux charges d*une série de montants consécutifs. La position de ces réactions s'obtient par des polygones funiculaires, en composant les réactions isolées. Ces polygones ont été tracés dans la planche, au-dessus des arcs, avec les pôles 0 et 0'. La position de la réaction totale, pour une série de charges, s'obtient en prolongeant les côtés extrêmes correspondants du polygone funiculaire, elle passe par l'intersection de ces lignes et sa direction est donnée dans le polygone des forces. Les réactions Q« correspondant à la surcharge totale s'obtiennent de celte manière ; elles sont égales à 41.700^. On les a indiquées sur la planche par des flèches.
Considérons maintenant la charge permanente : les réactions ont la direction et la position de celles que nous venons de déterminer pour la surcharge totale, leur grandeur se détermine par une simple proportion. Elles sont toutes les deux égales à :
La réaction de gauche a été portée dans la planche en grandeur et en direction, fig. 10, à l'échelle de 1™" par l.OOO*', ainsi que les poids agissant aux montants 1 à 5. Une décomposition successive par la méthode de Cremona donne les efi'orts correspondants dans les pièces de l'arc.
La réaction est à décomposer d'abord en trois composantes, agissant dans les deux premières membrures et dans la première barre de treillis ; puis on va de nœud en ncrud, en uti-
lisant les forces délerminc^es précédemme métrique, la détermination des efforts n'i la moilié de gauche. Les efforts dans les à leurs extrémités les numéros de ces d dans les treillis ont deux numéros.
Tous les efforts dans les membrures son tandis que dans les treillis ce sont altern sions et des compressions.
Dans les barres 1-2, 5-6, 9-10, 13-14, ' il y a tension ; dans les autres, il y a comp
Dans les membrures 13 et H, par exi les nous reviendrons plus tard), et dan: lis intermédiaire, les efforts sont de 29.90 6.800^.
L'addition des efforls dus au poids prop charge montre si ce sont les efforts de i efforts de tension qui l'emportent.
L'effort maximum en valeur absolue, d:
l'effort de compression quand la charge pi la compression dans la piëce, il sera un efl ]e cas contraire.
Au moyen du p61e 0* et des efforls dans on a tracé la ligne de pression correspi totale. Cette ligne de pression passe, comr que toujours, au-dessus de la lîlH'e moyen clef, et en dessous aux naissances.
Les forces intérieures dues à la suraha nent pas aussi facilement que celles de la II y a à déterminer d'abord la charge défa donnée. Nous avons vu ^ 13 comment on ]
Dans la planche 13, les constructions oi pièces coupées par la section CC, c'esl-à-i brures 13, 14 et pour la barre de treillis s membrures. Â cet effet, on a mené par d'un cercle, des tangentes à la courbe on\ sections de ces tangentes avec la courbe à été désignées par les n°- 13, 14 et 13-14 montre qne la membrure inférieurr 13 su
pression maximum lorsque la charge s'étend du montant 5 au montant iO. La section CC étant située à gauche de cette charge^ la force extérieure est égale à la résultante de toutes les réactions de gauche des charges 5 à iO. La position de cette résultante est indiquée dans la planche par une flèche et par 5-10. Elle a été décomposée en deux composantes, fig. 6^ Tune dirigée suivant la membrure 13, l'autre passant par le nœud opposé à cette membrure. L'effort de compression maxi-» mum cherché est tracé en trait fort dans le polygone des forces ; il porte le n^ 13 et est égal à 25.800^.
Si Ton veut déterminer Teffort de tension maximum dans la pièce 13, on peut suivre deux méthodes. Ou bien, on charge Tare du point 1 au point 4, comme nous venons de le faire ;
ou bien on multiplie par le rapport ^^ri Teffort engendré par
le poids propre et Ton retranche du résultat Teffort maximum de compression. Le second procédé est le plus rapide ; mais le premier a l'avantage de donner une vérification par Taddilion des deux efforts maximums trouvés pour la compression et la tension : leur somme doit être égale au produit de l'effort
dû à la charge permanente par le rapport r-Trj..
On détermine de la même manière les efforts qui agissent dans la membrure supérieure 14. Pour celle-ci, la chargct défavorable s*étend de 1 à 5.
La section CC étant située dans la partie chargée, la force extérieure s'obtiendra en déterminant la réaction de gauche des charges 1 à 5 et en composant cette réaction avec les charges 1 à 3. On arrive au même résultat en composant la réaction de droite des charges 1 à 3 avec la réaction de gauche des charges 4 à 5. Cette dernière composition est indiquée sur la planche, tig. 9. La grandeur et la direction des réactions se déterminent dans le polygone des forces, leurs positions se construisent par les deux polygones funiculaires.
Pour composer les deux réactions, celle des charges 4 et 5 a été mesurée dans le polygone des réactions de gauche et a été composée dans le polygone des réactions de droite (fig. 9) avec la réaction des charges 1-3. La composante des deux
280 CÎÏAPÏTRE YI - ARCS MKTALLiOrES
réaclions se trouve ainsi déiermitiéc eu grandeur et on direction. La position des réaclions et de leur composante est donnée par des flèches qui portent les numéros correspondants. Gomme précédemment, la force extérieure a été décomposée suivant la direction de la membrure 14 et suivant une force passant par le nœud opposé à cette membrure. L*efFort dans la membrure 14 se trouve ainsi déterminé (25.300^) et il est tracé en trait plein dans le polygone des forces.
En troisième lieu, refTort de tension maximum dans la barre de treillis 13-14 s*obtient en chargeant les montants 4 et 5 (le point intercepté à gauche sur la ligne des intersections est seul à considérer). La réaction de gauche des charges 4 et 5 est la force extérieure ; sa position a été déterminée dans le calcul de la membrure 14. La décomposition des forces a été faite dans le polygone des réactions de gauche ; elle donne l'effort désigné par 13-14 et ayant une valeur de 7.900k.
On déterminerait de la même manière, comme nous venons de le faire pour la section CC, l'effort intérieur de toutes les autres pièces de Tare ; ce travail ne présente aucune difficulté, mais il demande beaucoup de soin.
Il est bon de déterminer tout d*abord pour toutes les membrures et pour les treillis un diagramme des charges défavorables, sur lequel on indiquera par des traits forts l'étendue des charges. Puis on déterminera successivement les efforts dans les membrures inférieures, ceux des membrures supérieures et enfin ceux des barres de treillis.
Toutes les constructions se feront de la même manière que celles que nous avons données pour Tune des sections. Les compositions et les décompositions des efforts peuvent se faire dans les polygones des réactions comme nous l'avons déjà fait précédemment ; mais on peut aussi construire séparément un polygone des forces spécial à chaque cas, ce qui est préférable lorsqu'on a un grand nombre de pièces à considérer.
Quand le nombre des pièces sera trop grand, il sera permis de ne calculer les efforts que de 2 en 2 ou de 3 en 3 pièces et d'en déduire ceux des autres pièces par interpolation.
Il reste à déterminer l'influence des variations de tempéralure.
Nous avons vu que la poussée horizontale duo h la lempopéralure passe par le point S; elle se calcule par la formule (18).
En posant E= 20.000, t = 0,000012, / = ±30% /=39», F=0 ,01017 (voir pages 251 et 252) et r2 = 1»,88, on trouve :
g = it:7800k.
Cette poussée est donnée à la partie inférieure de la planche^ fig. 11, son influence sur les différentes pièces de la construction se détermine par des décompositions successives, exactement comme pour la charge permanente. Les efforts qu*elle engendre sont aussi numérotés de la même manière que ceux de la charge permanente. Une augmentation de température produit une compression dans les niembrures supérieures, 2 à 12, et dans les membrures inférieures, lia 21, tandis que toutes les autres membrures sont tendues. Dans les barres de treillis, il y a alternativement compression et tension, excepté cependant à la clef. Les efforls les plus grands se produisent dans les membrures voisines des appuis.
Les membrures 13 et 14 subissent des efforts de 6.000^ et de 2.300^ la barre de treillis 13 14 un effort de 4.800\
II est bon de grouper séparément les résultats obtenus avec le poids propre, la surchage et la température, pour la membrure supérieure, pour la membrure inférieure et pour les barres de treillis. On peut le faire par le tracé de courbes^ en portant les efforts comme ordonnées ; on découvre ainsi aisément les fautes de construction. En traçant aussi la courbe correspondant aux efforts que les pièces sont à même de porter, on verra quelles sont celles qui sont trop fortes ou trop faibles. Nous n'avons pas indiqué ces courbes dans la planche ; notre but n*cHaitpas de vérifier la résistance de Tare considéré, mais de développer les constructions de Tépure de résistance.
Il reste à faire la somme des efforts obtenus. Pour la membrure inférieure, 13 par exemple, Teffort total est égal à
La section nette de cette membrure étant de 7.960""*Me coefficient do travail correspondant est de
«2 CHAPITRE VI — ARCS Hf
L'efTorl total dans la membrure sup^ :ï7. 100 + ^:300 + 2.300 =
le coefficient de travail est de
» 7kZ par "
L'effort dans la barre de treillis 13-1
le coefficient de travail
—. ■-=,Qk5 par m 3.000 '^
Comme nous l'avons vu, lesefTorts n:
terminer directement ou par différence directement au moyen des nombres tr arrive aux résultats suivants :
La surcharge totale donne dans ta n
compression de r^ X 29.900 = 16.
Dans la membrure 14, un efTort de Dans la barre de treillis 13-14, i 3.700'.
En retranchant ces efforts des efTo on trouve les efforts suivants :
Membrure inférieure, 13 : une lent Membrure supérieure, H : uno teot Barre de treillis, 13 — Ucunecom
En additionnant ces efforts, ceux et ceux de la température, on trouve
Membrure 13, pression minima :2n. 900'
Membrure 14, » : 37.100
Barre de ireillis 13-14, » ; — 6.80(
Lorsqu'on fait les calculs pour tout^^ .^^ f,^^^^^ ^v. . u.^, ».. a soin de les disposer en tableau, en donnant aux efforts de tension le signe + et &ux efforts de compression le signe—.
