II

W^iW 1.1, l

quart de circonférence; le plan indique la forme demi-circulaire de rencorbellement qu'elle supporte; enfin, sur Télévalion est dessiné l'appareil des voussoirs. Ce genre de trompe convient aux tourelles en saillie sur un mur plan, dont on n'a pas voulu interrompre la ligne au rez-de-chaussée.

S'il s'agit de la rencontre de deux murs dont on veut conserver l'angle aux étages supérieurs, tandis qu'au rez-dechaussée on le remplace par un pan coupé, on se sert encore d'une trompe cylindrique, dont la directrice est un quart de circonférence ; mais on voit (fig. 2i9) qu'elle est limitée latéralement par deux courbes planes. On l'appelle trompe cylindrique sur l'angle.

En résumé, dans le premier cas, la voûte est obtenue par

la rencontre d'un berceau horizontal avec une tourelle verticale ; dans le second cas, c'est l'intersection du même cylindre avec deux plans verticaux non parallèles. L'angle de ces deux plans et la direction du pan coupé qui les rencontre peuvent être quelconques.

Les tourelles portées par des encorbellements ont joué un rôle important dans l'architecture du moyen âge et celle de la Renaissance, et leur donnent un air très pittoresque. Mais à cette époque on supportait ce genre d'ouvrage au moyen d'<assises horizontales successivement en saillie les unes sur les autres depuis l'assise de la base, qui souvent formait le chapiteau d'une colonnette engagée jusqu'à l'assise supérieure servant à l'assiette de la tourelle et ayant même diamètre qu'elle. Les exemples de cette disposition et des nombreuses variantes qu'on en peut concevoir sont très fréquents dans les châteaux du xvi" siècle. La décoration des encorbellements ainsi formés consiste à accuser la construc-

Fio. 219.

PLAFONDS ET VOUTES

Fit

FiG. 220.

lion par assises horizontales au moyen de moulures plus ou moins ornées.

La figure 220 représente la base d'une tourelle du chûteau de Chenonceaux supportée de cette façon. La même disposition peut être employée, au lieu d'une trompe, pour soutenir une tourelle sur l'angle.

Lorsque, à la rencontre de deux murs dont on veut supprimer l'angle saillant au rez-de-chaussée, on a besoin d'une excavation formant un angle rentrant, comme cela se voit dans la figure 221 ; on supporte la partie supérieure en saillie au moyen d'une trompe conique sur r angle, limitée latéralement par l'intersection de sa surface avec les deux murs qui se rencontrent en cet endroit.

La trompe conique dans l'angle s'emploie à l'intérieur d'une enceinte carrée rouverte en coupole octogonale, pour supporter les pans coupés supérieurs.

L'église Saint-Michel, de Pavie, en offre un exemple que nous reproduisons dans le fragment de la figure 222.

Il nous reste, enfin, à parler d'un dernier genre de voûte appelé voussure ou arrière-voussure, qui s'emploie pour couvrir l'embrasure des baies en arc. Ces voûtes doivent permettre le développement des volets sur la face des ébrasements. Pour en déterminer la surface, on prend sur les arêtes extérieures de ces ébrasements deux points M'N' (fig, 223) situés sur le plan horizontal du sommet S' de l'arc de feuillure ; on trace dans le plan des ébrasements les arcs A'M', B'r^', respectivement tangents aux arêtes verticales de la feuillure en A' et B'. On choisit arbitrairement un point P

Fio. 221.

Fio. 223.

un peu au-dessus de S', et on trace Tare M'P'N'. La voussure est constituée par la surface gauche qu'engendre un arc de cercle assujetti à rester toujours dans un plan parallèle au parement intérieur du mur, à s'appuyer constamment sur les arcs A'M', B'N', et augmentant de rayon depuis la position A'S'B', qui est l'arête extérieure de Tare de feuillure, jusqu'en M'P'N', qui est la courbe limitant l'embrasure à la partie supérieure. Cette surface porte le nom d' arrière-voussure de Marseille,

Lorsqu'on substitue à l'arc M'P'N' une droite, sans changer, d'ailleurs, le mode de généralion, le rayon de la génératrice varie de O'A' à l'infini, et on obtient V arrière-voussure de Montpellier,

Diverses formes de directrices. — Dans les divers exemples qui précèdent, nous avons supposé que les surfaces de l'intrados des voûtes avaient pour directrices des demi-circonférences. C'est le cas le plus fréquent ; mais, en réalité, toutes les courbes peuvent servir de directrices pour la génération des voûtes, et il est des cas où il est préférable d'en employer d'autres.

Examinées au point de vue de la forme de leurs directrices, les voûtes peuvent être classées en trois catégories: voûtes surhaussées, voûtes en plein cintre, voûtes surbaissées, selon que leur hauteur au-dessus de la naissance surpasse, égale leur largeur à ce niveau, ou lui est inférieure. Les courbes les plus usitées sont: l'ellipse ayant son petit diamètre horizontal et Vogive, pour la première catégorie; la demi-circonférence, pour la seconde ; Vanse de panier, l'ellipse dont le grand diamètre est horizontal, l'arc de cercle d'un rayon plus grand que la demi-largeur de la voûte, pour la troisième catégorie.

L'ogive est une courbe obtenue par la rencontre de deux

PLAFONDS ET V0DTE8

Fio. 224.

arcs de cercle ('^gaux et d'un rayon supérieur à la demi-largeur à la naissance. Lorsque l'origine de chacun des arcs est le centre de l'autre et que le rayon devient, par suite, t^gal à la largeur totale, on a une ogive en tiers-point. C'est le cas de la figure 224.

L'anse de panier est une courbe obtenue par une série d'arcs de cercle convenablement raccordés.

Par exemple, dans la figure 225, elle se compose de deux arcs de cercle égaux ayant leurs centres en c et c raccordés par un troisième arc d'un plus grand rayon ayant son centre en o sur l'axe de la voûte.

On peut considérer comme un cas particulier de la voûte surbaissée la plate-bande appareillée en voussoirs: c'est celui où le rayon de l'arc directeur est infini. Nous avons déjà parlé de l'emploi de cette voûte et de ses inconvénients (poussée latérale énorme et glissement des voussoirs) supprimés pour un temps par le chaînage et les crampons de fer dont on est obligé d'armer les ouvrages ainsi exécutés, mais ne présentant pas les garanties suffisantes de <lurée qu'on doit rechercher pour les œuvres vraiment monumentales.

La voûte en plate-bande se prête, d'ailleurs, à toutes les combinaisons des voûtes en berceau, ce système une fois adopté.

Kio. 2-25.

Mode de construction des voûtes. — Le mode de constmction des voûtes dépend des matériaux qu'on y emploie, et le choix de ces derniers se fait en considération de la destination de l'ouvrage. On conçoit qu'une voûte devant supporter

VOUfES 215

de fortes pressions exigera plus de soin dans l'exéculion, des matériaux plus résistants, des épaisseurs plus grandes, que si elle était simplement destinée à couvrir une enceinte. Dans le premier cas, surtout si elle est exposée aux intempéries, on se servira avantageusement de la pierre de taille. Dans l'autre cas, les briques, les moellons, les poteries creuses, plus légers, seront préférables et économiques : en effet, ils chargent moins les piédroits, qui peuvent dès lors être construits avec de plus faibles dimensions et des matériaux moins résistants ; ils sont plus faciles à mettre en œuvre ; enlin, ils présentent, en général, l'avantage d'une adhérence plus parfaite avec les enduits dont on peut avoir à les recouvrir à l'intérieur pour y appliquer des peintures.

Les Romains, qui ont fait, comme on sait, un très grand usage des briques dans leurs édifices, avaient imaginé un système ingénieux et économique pour la construction des voûtes. Ils en formaient Tossature au moyen d'arcs en briques régulièrement espacés, normaux à l'intrados, et reliés entre eux de distance en distance par des rangées de briques ou de petits arcs de décharge également en briques. Les intervalles étaient ensuite remplis par une maçonnerie de blocage posée à bain de mortier qui, après la prise, constituait avec Tossature de véritables monolithes.

Ils obtenaient ainsi des ouvrages très légers et très résistants, dont plusieurs sont de nos jours encore dans un parfait état de conservation.

Il est à regretter que ce procédé réellement avantageux soit aujourd'hui complètement délaissé.

Nous nous servons cependant, à l'exemple des Romains, de poteries creuses. Comme on pourra s'en rendre compte après l'étude qui va être faite des proportions des voûtes, il y a avantage à alléger le plus possible le sommet et à charger les parties inférieures ; ces poteries seront donc employées de préférence pour former le haut de l'arc, tandis qu'on rés(*rvera pour la naissance des matériaux plus lourds.

Un autre procédé, qui n'est pas sans analogie avec les voûtes à arcs d'ossature et remplissage, précédemment décrites, est souvent employé même dans les ouvrages qui doivent offrir une grande résistance. Il consiste à former la

PLAFONDS ET VOl TES

Fio. 220.

Fio. 227.

voûte, aux endroits soumis à un effort plus considérable, par des arcs en pierre de taille disposés à la façon des piles et des chaînes des murs verticaux, et à construire les intervalles en briques ou en moellons appareillés, rattachés aux arcs par les harpes latérales de ces derniers {flg. 226). Il est vrai qu'on obtient un résultat aussi satisfaisant et même préférable au moyen de petits matériaux employés seuls, une maçonnerie homogène offrant plus de solidité qu'une maçonnerie mixte. D'ailleurs, dans une maçonnerie homogène, soit en petits matériaux, soit en pierre de taille, il est possible de renforcer les parties soumises à de plus grands efforts au moyen de saillies dont nous avons déjà parlé sous le nom d'arcs doubleaux (fig. 227).

Quel que soit le système employé, les voûtes modernes sont appareillées de façon à se maintenir sans l'intermédiaire du mortier, qui donne, par conséquent, un surcroît de solidité. Pour atteindre ce résultat, on prend comme surfaces de lits et de joints des plans normaux à l'intrados dont les intersections avec ces plans sont, en général, les lignes de plus grande et de plus petite courbure de la voûte. Ainsi, pour les berceaux cylindriques, les lignes délits sont des génératrices, et les lignes de joints, des arcs de directrices; pour les voûtes sphériques,les premières sont des petits cercles horizontaux, et les secondes, des portions de méridiens verticaux.

Les berceaux en descente, les arches biaises et les descentes annulaires font seuls exception à cette règle; mais l'étude de ces appareils spéciaux est du ressort de la stéréotomie et, d'ailleurs, ce sont des cas peu fréquents dans les constructions ordinaires.

L'exécution des diverses sortes de voûtes exige le plus souvent des échafaudages en charpente ou cintres. Ils sont formés de poteaux verticaux reliés par des pièces transversales moisées et par des contrelkhes, et soutiennent à la partie supérieure un plancher qui épouse la courbe de la

voûte à construire. Sur ce plancher s'appuient les matériaux qui, après le complet achèvement, se maintiennent d'euxmêmes par leurs actions réciproques.

PROPORTIONS

Considérations générales. — Deux genres de considérations interviennent dans Tétude des proportions des voûtes: les unes sont relatives aux convenances particuli^re8 à chaque édifice ou partie d'édifice et résultent de la forme et de la destination des salles; les autres ont un caractère plus absolu et plus général, car elles intéressent la stabilité môme des voûtes. Les premières, très variables, ne peuvent guère être étudiées qu'en ayant égard aux circonstances particulières à chaque cas et seront examinées simultanément avec elles dans la seconde partie de cet ouvrage. S'appliquant, au contraire, à tous les édifices, les secondes feront l'objet des quelques développements qui vont suivre et que nous nous efforcerons de réduire à l'indispensable.

Au point de vue de la stabilité, les proportions des voûtes et des piédroits dépendent des efforts auxquels ils sont soumis, et qui sont, d'une part, les charges verticales, d'autre part, les actions ou poussées horizontales.

Définition de la poussée. — Si l'on considère isolément une demi-voûte AB (/?(/. 228), composée de plusieui'S tronçons, une certaine portion Bm, par exemple, tendra à se détacher du sommet, soit en glissant le long du joint mn, soit en tournant autour de l'arête projetée en m. Ces deux mouvements seront empêchés, si une force horizontale F, appliquée contre le joint BC, agit avec une intensité suffisante, tout en restant inférieure h l'effort qui serait capable de rejeter en dehors tout ou partie de la demi-voûte.

Dans une voûte complète, chacune des deux moitiés qui se

Fio. 228.

PLAFONDS ET VOUTES

joignent suivant Bc exerce précisément sur l'autre celte action horizontale F, qu'on appelle la poussée de la voûte.

Valeur de la ponBsée des différents modes de raptore.

— Cherchons d*abord sa valeur dans le cas d'une rotation

possible autour de l'arête m. Si ce mouvement se produit, la voûte tendra à s'ouvrir au sommet, vers l'intrados, et présentera un aspect analogue à celui de la figure 229. Les voussoirs du sommet se toucheront en sur l'extrados; ce sera le point d'application de la poussée. La seconde force agissant est le poids propre du voussoir mnos appliquée en son centre de gravité c. Pour qu'il y ait équilibre, il faut que les moments, par rapporta l'axe de rotation m, de ces deux forces produisant des effets opposés soient égaux. Si nous considérons, pour simplifier, une tranche de voûte ayant en largeur funité de mesure, et si nous prenons le poids de l'unité de volume de maçonnerie supposée homogène, comme unité de densité, nous aurons, en négligeant l'adhérence des mortiers, pour le moment de la force F : F.A, et pour celui du poids du voussoir: Sr/, S étant la surface de section mnoSj h la distance verticale du point d'application de F à l'axe m, et d la distance horizontale du point d'application du poids du voussoir à ce même axe. De la relation:

Fio. 229.

nous tirons

Vh -

:Sd

Sri

Ce calcul serait facile, si on connaissait la position exacte du joint de rupture mn. D'une façon générale, il faudrait faire diverses hypothèses sur cette position, calculer pour chacune d'elles la valeur de F et prendre la plus grande de

ces valeurs pour la poussée. Mais, en pratique, on supprime ces tâtonnements en s'appuyant sur les résultats d'expériences qui ont établi que le joint de rupture pour les arcs en plein cintre est situé entre 30° et 40°, à partir de la naissance, et l'on peut, pour simplifier, en se pla(;ant dans le cas le plus défavorable, prendre ce joint à 30°, c'est-à-dire au tiers du demi-arc à partir de la naissance. Pour les arcs surbaissés en anse de panier, le joint de rupture est environ à 50° de la naissance. Enfin, pour les voûtes ayant comme directrice une portion d'arc plus petite que la demi-circonfén'nce, le joint de rupture est à la naissance.

La valeur de F étant déterminée, cette force ne sera efficace que si la construction est en état de lui faire équilibre. Pour s'en assurer, il faudra donc se livrer à des opérations et à des hypothèses analogues aux précédentes. Deux alternatives peuvent se présenter : le voussoir m'n'os sera rejeté tout entier en dehors en tournant autour de n', ou bien mnm'n glissera en dehors sur le joint m'n\ et mnos glissera en dedans sur le joint mn.

Dans le premier cas, en appelant F la force qui produira cette rotation. S' la surface m'n'oSj d la distance horizontale de son centre de gravité à l'axe »', h' la distance verticale de à ce même axe n', nous aurons pour l'équilibre :

F=f'. (Il)

Toute force au moins égale au maximum de F empêche la rotation du voussoir mnos autour de w; toute force au moins égale au minimum de F' produit la rotation de m'n'os autour de n'. Pour qu'aucun de ces deux mouvements n'ait lieu, il faudra donc que la valeur de la poussée soit comprise entre le maximum de F et le minimum de F'.

Dans le second cas, si on appelle a Tangle du joint mn' avec la verticale, F' la valeur de la poussée pour laquelle aurait lieu le glissement, et f le rapport du frottement à la pression pour les matériaux qui forment l'arc, les forces opposées qui agissent dans le plan du joint sont, d'une part, la composante tangentielle de la poussée F', qui est égale à F' sin a, plus le frottement produit par la composante normale F' cos a, qui

220 PLAFOND» ET VOUTES

est par conséquent F'fcos a ; et, d'autre part, la composante tangentielle du poids du voussoir, S'cos a, plus le frottement produit parla composante normale de ce même poids S/sin a. Il y a équilibre lorsque :

F' sin a + F Y cos a = S' ces a + S'f sin a.

d'où:

gma + ^cosa ^

Mais le joint m'n est dans la plupart des cas horizontal : ar= 0, cos a r=: 1, et on a plus simplement pour cette valeur de la poussée :

F-zriSr. (IV)

Il n'y aura pas de glissement tant que la poussée sera inférieure k F'.

En résumé, pour qu'il ne se produise ni rotation autour de m ou de n', ni glissement le long de m'n, il suffira que les valeurs de F données par (I) soient inférieures aux valeurs de F' et F* tirées de (II) et (IV) ou, plus fréquemment, de (II) et (III). Si la première série d'opérations pour une voûte donnée no conduit pas à ce résultat, on y parviendra soit en diminuant le maximum de F par l'emploi de matériaux plus légers à la partie supérieure ou la réduction de l'épaisseur à la clef, soit en augmentant le minimum de F' et F' par un accroissement d'épaisseur des parties inférieures ou une charge verticale appliquée à la naissance.

En considérant toujours l'hypothèse où le voussoir du sommet tourne autour de l'arête m, il y a lieu de prévoir un autre mode de rupture assez peu fréquent, mais possible cependant au cas où une voûte en ogive de très faible épaisseur à la clef s'appuierait sur des piédroits très chargés : le joint du sommet tendrait à s'ouvrir à l'extrados.

Mais nous avons vu que le voussoir du sommet peut aussi glisser sur le joint mn. Ce mouvement, dans le cas où l'épaisseur à la clef est assez forte, a pour effet de repousser au dehors le voussoir inférieur en le faisant glisser sur le joint de naissance m'n ou tourner autour de l'aréle n. Si, au contraire, l'épaisseur au sommet est faible, c'est vers ce point

que se prodairont les ruptures. Le voussoir du sommet pourra, selon le cas, être soulevé en dehors par glissement sur les joints latéraux ou s'ouvrir dans Taxe et du côté de Textrados» chacune de ces deux moitiés tournant autour de Tarête de Tintrados.

Il faut se hâter d'ajouter que ces derniers cas sont très rares, et qu'en pratique on n'aura jamais à s'en occuper.

Les calculs précédents sont assez compliqués en pratique, parce qu'ils exigent la détermination de la position des centres de gravité par des procédés analytiques et de la valeur de surfaces limitées par des courbes. Aussi on leur substitue, en général, le tracé suivant suffisamment approximatif.

Soit une demi-voilte ABCD {fig, 230) portant une surcharge de maçonnerie ADE. On divise l'intrados en un certain nombre de parties égales, et par les points m, n, p, r, «, on mène des normales à l'arc qui déterminent ainsi des vous-

soirs. Les portions mn, np, ppj etc., sont assez faibles pour pouvoir être confondues avec leurs cordes respectives. De cette façon on a affaire à des quadiilalères rectilignes. On en obtient la surface en les divisant en deux triangles, au moyen d'une diagonale et en calculant celle de chacun d'eux, et on en détermine le centre de gravité par la construction indiquée dans la figure 231. Les diagonales étant tracées, on porte en o'R sur l'une d'elles une longueur égale au segment oS déterminé par l'autre. Si T est le milieu

Fin. 231.

222 PLAFONDS ET VOUTES

de cette dernière, MP, le centre de gravité, est en G au tiers de To à partir de T. En effet, les surfaces MoNP et Mo'PR sont équivalentes, composées des triangles MoN, NoP ; Mo'R, Ro'P, égaux deux à deux comme ayant même base et même hauteur. En les retranchant du quadrilatère de part et d*autre du triangle Mo'P, on ne change pas la position du centre de gravité cherché, qui se confond alors avec celui G de ce triangle placé au tiers de sa médiane To'.

On obtient par un tracé identique le centre de gravité des quadrilatères, tels que m'unCrC qui s'appuient sur les voussoirs, pour lesquels on néglige également l'adhérence du mortier, et qu'on suppose agissant uniquement par leur propre poids au-dessus de chaque voussoir, ce qui est l'hypothèse la plus désavantageuse.

Le joint de rupture est nn situé au tiers du demi-arc à partir de la naissance. Dans la formule (I), Srf sera la somme des produits des surfaces s^, S2»%,«<4» Jes voussoirs 1, 2, 3, 4, situés au-dessus du joint de rupture, par les distances rf<> ^21 ^3» ^'4» ^® leurs centres de gravité à l'axe n et des produits des surfaces .«?'<, .s''2, s\jS\, des portions de surcharge 4', 2', 3', 4', qui s'appuient respectivement sur chacun d'eux, par les distances fr4,rf'2,rf'3, r/'^, de leurs centres de gravité au même axe n. D'ailleurs, h sera mesuré en Dn4, et on aura pour la poussée capable d'empêcher la rotation autour de n :

On évaluera F' de la même façon, mais en prenant les dislances des centres de gravité, et du point d'application de la poussée à l'arête A autour de laquelle tend à tourner la demivoûte. On devra trouver ainsi : F' ^ • F.

Épaisseur du piédroit. — Pour être certain de l'équilibre, il faudra encore vérifier si F' est supérieur à F, à la base du piédroit de la voûte, de façon à empêcher la rotation de ce dernier, augmenté du tiers inférieur de la demi-voûte, autour de l'arête extérieure du joint de base du piédroit. On réalisera cette condition soit en chargeant le piédroit d*un massif

de maçonnerie s'élevant au-dessus de DE, soit, ce qui est préft^rable, en augmentant son épaisseur.

Si la voille supportait d'autres poids que ceux que nous avons considérés, il faudrait les faire entrer dans le calcul précédiMit au m^me titre et de la môme façon, c'est-à-dire avec leurs bras de levier.

La valeur de F' pour le joint AB sera, en général, supérieure à F, et, par conséquent, la rotation autour de A n'est pas à craindre dans les circonstances ordinaires de la pratique. Il n'en est pas de même de la rotation du piédroit autour de l'arête extérieure de son joint de base, et il faut s'assurer avec soin que son épaisseur est sufQsante pour s'y opposer. Si nous appelons H la hauteur de ce piédroit jusqu'en AB, X son épaisseur, h la hauteur DB4, S la surface de la demivoûte et D la distance horizontale de son centre de gravité à l'arête B, la condition d'équilibre autour de l'arête de la base sera :

F(H + /0= S(I) + x) + Hx. I

[Moment del rMoment de lai TMomenl dal la poussécj | demi-voûte J [^ piédroit j

équation du second degré, d'où on tire :

On suppose souvent H infini dans les circonstances ordinaires, où elle dépasse la largeur de l'ouverture, car, si la valeur de x croît avec celle de H, c'est dans une proportion d'autant moindre que cette hauteur est plus grande relativement à l'ouverture, et (l'ailleurs on a ainsi un surcroît de stabilité, ce qui est toujours préférable, étant donnés les charges et les mouvements imprévus auxquels la construction peut avoir à résister.

La formule (Vj devient alors :

x—s'E\ (VI)

expression dans laquelle F est évalué en prenant pour unité de densité le poids de l'unité de volume de la maçonnerie.

284 PLAF0ND8 ET VOUTES

Au lieu d'empêcher le renversement du piédroit, en lui donnant une forte épaisseur, on pourrait s'opposer à ce mouvement au moyen d'autres voûtes ou parties de voûtes dont la poussée agirait en sens inverse de celle de la voûte qu'on veut consolider. Ce sont des ouvrages de ce genre qu'on peut voir à Textérieur des cathédrales gothiques et de certaines églises romanes, et auxquels on donne le nom d'arcshoHtants» Mais, lorsqu'on use de ce moyen pour faire équilibre à la poussée, il convient de s'assurer que l'efTort exercé par les arcs-boutanls ne sera pas assez grand pour provoquer une rupture de la partie supérieure de la voûte, soit par l'ouverture du joint de l'axe du côté de l'extrados, soit par le soulèvement du voussoir du sommet.

Ce qui précède peut donner une idée des procédés dont on dispose pour empêcher la rupture de la voûte par renversement en dehors.

Dans le cas où elle pourrait se rompre par glissement le long des joints, on s'y opposera en maintenant supérieure à la poussée la valeur de F' tirée de la formule (ÏV) :

F- = Sf,

dans laquelle on fait ^=: 0,50, c'est-à-dire la plus faible valeur que puisse avoir ce rapport dans les divers cas se présentant en pratique. Ce mode de rupture est d'ailleurs très peu fréquent, et il n'est à craindre que pour les voûtes ayant une épaisseur très grande relativement à leur ouverture.

Dans les différents cas que nous venons d'examiner, il est toujours bon d'avoir un excédent de résistance destiné à prévenir les accidents qui résulteraient des mouvements ultérieurs de la construction et des charges ou efforts éventuels auxquels la voûle peut être soumise. En conséquence, le rapport de la résistance à la poussée est toujours supérieur à 1, et on le porte même à 2 pour les voûtes oh Ton veut avoir une très grande solidité. Ce rapport, appelé coefficient de stabilité^ entrera dans les formules (V) et (VI) qui vont devenir, si nous le désignons par r :

et :

X = }/'2rZ (VIII)

L'excédent de résistance a pour effet de déplacer le point d'application de la poussée, qui n'est plus sur l'arête de l'intrados, mais à l'intérieur du joint. Ce changement est nécessaire, d'ailleurs, pour éviter l'écrasement du voussoir dans le voisinage de l'arête pressée.

Épaissear à la clef. — La partie supérieure d'une voûte déterminant sa poussée, on aura intérêt à lui donner le moins d'épaisseur possible. Cependant, on a vu que la rupture pouvait se produire au sommet, sous la réaction des piédroits, laquelle agira avec d'autant plus d'intensité que l'ouverture de la voûte sera plus grande. On conçoit donc qu'il y aura un certain rapport entre cette dernière dimension et l'épaisseur à la clef. Des formules empiriques, que nous empruntons au Traité cV Architecture de L. Reynaud, permettent de fixer cette épaisseur sous réserve de la modifier ensuite suivant les circonstances particulières. Soient E l'épaisseur à la clef, et l'ouverture :

Pour les voûtes légères n'ayant à porter que leur propre poids :

Pour les voûtes supportant des planchers :

Pour les voûtes exposées à de fortes surcharges : E = 0",30 + 4. 0.

Pour les voûtes supi)orlant des pressions considérables î

AnCHITEGTLRfe. 13

PLAFONDS ET VOL'TES

Os diverses valeurs no sont guère que des points de départ qu'on esl souvent obligé de modifier lorsqu'on a calculé la poussée. Ce sont aussi des moyennes qui peuvent ^tre réduites lorsqu'on se sert de matériaux très résistants et qu'on augmente dans le cas contraire.

Méthode graphique pour vérifier la stahilité d'une voûte. — Courbe des pressions. — Les remarques et les calculs qui précèdent ont l'avanltige de donner une idée exacte des efTorLs qui agissent dans une voûte, des mouvements qu'ils peuvent y déterminer et des procédés qu'on a à sa disposition

Fio. -232.

pour y remédier. Mais dans la pratique on emploiera avec avantage la méthode suivante, due à l'ingénieur Méry, plus simple et plus expéditivo. Soit une demi-voûte soumise à une poussée horizontale F api)liquée en 6* sur le joint rt6 {fig. 232). Nous pouvons chercher quels seront l'intensité, la direction et le point d'application de la pression exercée sur un joint quelconque, mn par exemple. Cette pression, en effet, est la

résultante de la poussée F connue et du poids P du voussoira6fRn proportionnel à sa surface, qu'on peut obtenir par le procédé graphique indiqué plus haut, ainsi que son centre de gravité gf, point d'application de ce poids. Les directions de ces deux forces se rencontrent en o. Faisons or = sF ; op =z gfp. La pression sur le joint mn est oR, diagonale du rectangle construit sur les deux composantes, appliquée en u sur ce joint.

On aurait la pression sur un autre point quelconque mn' et son point d'application en composant de la même façon la force R et le poids P' du voussoir mnintî. Ces deux droites se coupent en c ; à p<artir de ce point, portons les valeurs oR et g'V respectivement sur chacune d'elles; cR' est la pression cherchée, et m' son point d'application.

Il est donc possible de déterminer pour tous les joints qu'on voudra les points, tels que s, m, u ; la ligne qu'ils déterminent est la courbe des pressions. On voit que la rotation est impossible si cette courbe est comprise entre l'intrados et l'extrados de la voûte. Il n'y aura pas davantage écrasement si elle passe à tous les joints aune distance suffisante de l'intrados ou de l'extrados. Enfin, on n'aura pas à craindre le glissement lorsque, pour un joint quelconque, la pression qui s'y exerce fait avec la normale un angle inférieur à celui qui exprime le frottement pour le cas le plus défavorable.

Dans le cas de l'équilibre limite que nous avons supposé pour les calculs exposés plus haut, la courbe des pressions est bmn, tangente, suivant le point d'application des pressions et le mouvement des voussoirs, en 6 et n, k p^ «33

l'extrîidos, en m à l'intrados (fig. 2.33).

En pratique, on ne peut supposer ce cas extrême, auquel les voussoirs s'écraseraient dans le voisinage des arêtes subis-

PLAFONDS ET VOUTES

saut la pression. On est obligé de faire passer la courbe à une certaine distance de Tintrados et de l'extrados de la voûte, et Ton peut, par une série de tiUonnoinents, déterminer exactement ses divers points de rencontre avec les joints. Mais on évite, en général, cette recherche en s appuyant sur des résultats d'expériences, qui fixent comme une solution convenable, d'assujettir la courbe des pressions à passer à chaque joint dans son tiers central, c'est-à-dire dans le segment du milieu, lorsqu'on a divisé le joint en trois parties

écaies.

Dès lors, voici la marche à suivre dans la recherche des proportions d'une voûte donnée. On trace l'intrados, dont la courbe est déterminée par les convenances particulières de l'enceinte à couvrir (fig. 234) ; on fixe l'épaisseur de la clef au moyen d'une des formules qui ont été indiquées plus

haut, et on trace Tex-

trados de manière à augmenter progressivement l'épaisseur de la voûte du sommet vers la naissance.

Le joint vertical de l'axe ab est divisé en trois parties égales et on prend comme point d'application de la poussée le point de division 6, le plus rapproché de l'extrados. Le joint de rupture mn normal à l'intrados est situé au tiers de la demivoûte en plein cintre (il serait à la naissance pour le cas d'une portion d'arc plus p(;lite qu'une demi-circonférence ot dans une position intermédiaire, s'il s'agissait d'une anse de panier) : il est divisé de mémo en trois parties égales, et on prend comme point d'application de la pression le point de division m le plus rapproché de l'intrados. Ces points

Fig. 234.

appartiennent à la courbe des pressions. On peut en déduire la poussée, et pour cela on fera en sens inverse la construction de la figure 232. Le procédé graphique ayant fourni le poids du voussoii abmn et de ses surcharges, P, et le centre de gravité g, point d'application de cette force, on prolongera gP jusqu'à la rencontre o de l'horizontale 6'r, direction de la poussée ; on portera en op la longueur gV représentant le poids P à l'échelle de l'épure ; on mènera par p une parallèle à 6V jusqu'à la rencontre de om\ direction de la résultante des pressions sur mny et on aura en oR la valeur de la poussée.

On prendra comme épaisseur du piédroit la valeur tirée de la formule (VIIÏ), dans laquelle on peut faire r ~ 1,20.

Il sera bon de vérifier si les matériaux pourront en tous points résister à l'écrasement et, s'il y a danger de ce chef, les choisir plus résistants ou plus légers.

De même, si l'épaisseur trouvée pour les piédroits était trop considérable pour les circonstances du cas où l'on opère, on pourrait la réduire soit en employant pour cette partie de la construction des matériaux plus lourds, soit eu exécutant le sommet de la voûte en matériaux plus légers, soit en usant des deux moyens simultanément.

Afin de familiariser le lecteur avec les résultats du tracé piécédent pour les différents cas et de donner une idée des proportions qu'alTectent la voûte et les piédroits, nous y joindrons les deux exemples de la figure 235. La partie de gauche représente une demi-voûte légi'^re en plein cinlre, chargée de son seul poids. La partie de droite est une demi-voûle portant une surcharge uniforme. Les éi»aisseurs à la clef ont été calculées d'après les formules données précédemment.

Fio. 235.

PLAFONDS ET VOUTES

La figure 236 montre la forme qu'alTecte la courbe des pressions dans le cas d'une voûte consolidée par des arcsboutants et des contreforts. Cette voûte, si elle était isolée, ne pourrait tenir en équilibre, comme l'indique la courbe des

pressions sortant du piédroit en d. Grâce à l'arc-boutanl, cette courbe prend la foime mnocp, avec une bifurcation nop'y et ses deux branches demeurent à l'intérieur des piédroits.

Enfin, la figure 237 permet d'établir une comparaison entre des voûtes de différentes formes, ayant mêmes naissances et extradossées suivant une courbe. L'intrados de la première est une portion d'arc de cercle ; celui de la seconde, un plein cintre; celui de la troisième, une ogive. La courbe des pressions est pour ces trois voûtes assez différente. C'est pour l'arc surbaissé qu'elle occupe la position la plus favorable à

la répartition des pressions sur les différents joints, tandis qu elle s'écarte beaucoup plus tantôt de l'extrados et tantôt de l'intrados dans le cas de l'ogive, où la répartition se fait plus inégalement, ce qui exige pour la voûte plus d'épaisseur. Dans le cas de la figure les reins de la voûte ne sont pas changés : si elle était extradossée horizontalement, la courbe serait plus capricieuse encore et accuserait la tendance au soulèvement du voussoir du sommet.

La figure 237 montre également que, pour la voûte en ogive, la répartition des pressions est très irrégulière. Elle aura, par suite, une plus grande tendance à la déformation que les autres, et l'expérience a montré, en effet, qu'après le décintrement les mouvements y sont plus à craindre, à moins qu'elle n'ait été exécutée avec la plus rigoureuse précision.

On peut remarquer le ressaut plus ou moins considérable que présente, dans les différents cas précédents, la courbe des pressions au joinl de naissance ; cette brisure est due à la surcharge du piédroit ; elle ne se produit pas lorsque l'extrados se prolonge sur toute l'épaisseur de ce dernier, comme cela a lieu en abc pour Tare surbaissé de la figure 237, dont la courbe des pressions mnp est continue.

Courbe des centres de gravité. — On conçoit que, pour ces différents profils de voûte, les déformations ne seraient pas à craindre, et les pressions seraient mieux réparties, si

Fio. 2;i7,

PLAFONDS ET VOUTES

Ton modifiait les courbes extérieures, de façon que celle des pressions passât par les centres de gravité des voussoirs. C'est ce qui a lieu, en particulier, lorsqu'on adopte, pour le profil de la voûte chargée de son propre poids, la courbe appelée chaînette. Mais cette courbe nVst pas applicable dans le cas des voûtes destinées à porter des surcharges.

Des procédés analytiques permettent de déterminer pour ces dernières le profil à adopter, pour que la courbe des pressions passe par les centres de gravité des voussoirs et devienne la courbe des centres de gravite. On peut également l'obtenir d'une façon suffisamment approchée parla méthode graphique et à l'aide de tâtonnements successifs. On trouve, par exemple, que, pour une voûte chargée en son sommet, la courbe la plus favorable est analogue à l'ogive, ce qui était à prévoir à l'inspection de la ligure 237.

PoaMées des différentes voûtes. — Toutes les considérations qui précèdent se rapportent à des voûtes en berceau ; mais elles sont applicables également aux autres voûtes avec quelques modifications qui varient à chaque cas particulier et que nous allons examiner successivement.

C'est pour les voûtes en arc de cloître que les procédés et les calculs précédents s'appliquent avec le moins de changements. Considérons ipg. 238) une voûte de ce genre.

Elle peut être divisée en deux parties ABoCl) et ADoBC appartenant chacune à un cylindre différent, qui se comportera comme une voûte en berceau.

La rupture d'une pareille voûte pourra se produire suivant les génératrices dont la projection est indiquée dans le plan et aussi suivant des lignes brisées telles que mn composées de tronçons de directrices et correspondant à des joints. On vérifiera que la voûte peut résister à la poussée capable de produire la première rupture à l'aide de la courbe des pressions tracée comme dans les exemples précédents, avec cette

Fio. 238.

seule (lifîérence qu'ici le berceau considéré étant compris entre deux plans non parallèles, ceux des arêtes, on aura à calculer pour chaque voussoir son volume et non plus seulement la surface de sa section par un plan normal aux génératrices. Il est à remarquer que, dans le cas de la voûte en arc de cloître, la disposition est particulièrement favorable à la stabilité, puisque le volume des voussoirs diminue à mesure qu'on s'approche du sommet, là même où se trouvent ceux qui déterminent la poussée, laquelle sera d'autant plus faible. Le piédroit, s'il n'avait à résister qu'à cette action, pourrait donc être de moindre épaisseur que dans le cas d'une voûte en berceau continue. Mais le second mode de rupture dans le sens des directrices fait intervenir un autre genre d'effort qui modifie ce résultat. Il est évident que, s'il y a disjonction suivant mn par exemple, la partie Bmn s'appuyant sur la portion contiguë du berceau ABo augmentera sa poussée sur le piédroit AB.

Pour s'assurer de la stabilité dans l'hypothèse où cette rupture est possible, il suffit de diviser la voûte ABoCD, par exemple, en un certain nombre de tranches par des plans normaux aux génératrices et de faire l'épure successivement pour chaque tranche. On trouvera ainsi des épaisseurs différentes pour le piédroit; on atteindra évidemment le maximum au milieu de AB el, à la limite de la division, ce maximum serait précisément l'épaisseur correspondant au piédroit d'une voûte en berceau de même portée.

Il faut bien dire que ce dernier genre de rupture n'est à craindre que pour des voûtes de grande portée construites en matériaux offrant peu de cohésion. Cela montre en même temps qu'il sera bon de' relier avec le plus grand soin toutes les parties d'une voûte en arc de cloître.

Dans le cas d'une voûte en arc de cloître avec plafond, la marche à suivre serait la môme, mais il faudrait, au préalable, calculer la poussée de la partie plane sur les parties courbes.

S'il s'agit de voûtes d'arête, les conditions sont différentes. Considérons une série de ces voûtes formant portique, comme dans le fragment représenté par la figure 239

La portion de voûte AoBo', par exemple, exercera sur les

PLAFONDS ET VOUTES

Fio. 239.

piédroits A et B une poussée supérieure à celle d'un berceau continu s'appuyant sur les mêmes points, puisque les voussoirs sont ici d'autant plus volumineux qu'ils sont plus près du sommet. La valeur de cette poussée sera déterminée à l'aide du même procédé qui a déjà été exposé pour les voûtes en berceau. Les deux joints de rupture étant projetés en mm\ nn\ on voit que les portions des voûtes incidentes mopy nor,m'opy nor\ comprises entre les sommets o et d et les lignes de l'upture, mp, nr, m'p\ nr\ prolongeant les joints de la voûte principale, viennent s'appuyer sur celle-ci et augmenter sa poussée. Mais, en revanche, les portions \mpCs, BnrD^ AmyE.s', Bn'rVt', s'appuyant sur les piédroits, y exercent des poussées égales deux à deux dont la résultante verticale s'ajoute à la surcharge de ces piédroits et augmente la stabilité de la construction.

On voit par ces quelques explications quelles sont les opérations auxquelles il y aurait lieu de procéder pour vérifier la stabilité d'une voûte d'arête et en déduire les proportions à affecter à ses différentes parties. En pratique, on les simplifie beaucoup en substituant aux portions des voûtes incidentes qui s'appuient sur la grande voûte, le prolongement de celte dernière supposée en berceau continu. Il est certain qu'on doit augmenter l'épaisseur ainsi trouvée pour les piédroits, puisque, au lieu d'être dos murs pleins, ils se réduisent à de simples piles A, B, C, D, E, F.

Dans une succession de voûtes d'arête analogue à celle qui est représentée par la figure 239, les proportions de ces piles sont déterminées en partie par les convenances de la décoration et en partie par des considérations relatives à la stabilité. C'est leur largeur qui est fixée par les premières, tandis que leur épaisseur se déduit de la formule (VII) modifiée de la façon suivante. Si L est la distance d'axe en axe de deux piédroits, et l la largeur de chacun d'eux, on multiplie S et F

par le rapport - et on tire leur épaisseur de l'équation :

S L , . //S L\2 . , ^ L /, , /i\ 2SD L

ou, plus généralement, toutes les fois que H égale ou surpasse l'ouverture, de la relation :

2rF . Y

Quant aux piédroits qui terminent à chaque extrémité une série de ces voûtes, et qui sont exposés au renversement en dehors, n'étant pas contrebutés, comme les intermédiaires, par les voûtes contiguës, leurs dimensions peuvent être également déterminées par ces formules. Mais, en général, on n'a pas à faire ce calcul, car des considérations d'un autre ordre conduisent l'architecte à donnera ces parties extrêmes des proportions plus fortes même que celles qu'exigerait la stabilité seule, afin que l'œil soit pleinement rassuré à cet égard. En architecture, en effet, il faut que les formes et les proportions soient fortement expressives et qu'à la seule inspection d'un édifice et sans avoir à se livrer à de longs raisonnements ou à des recherches préalables, l'esprit du spectateur reçoive l'impression nette et certaine de sa solidité. Sans doute, pour certaines constructions très hardies, on n'a point égard à celte considération ; mais, même dans ces cas exceptionnels, il en résulte pour l'esprit une certaine crainte et pour l'œil une certaine fatigue, et, quels que soient, d'ailleurs, les mérites de pareilles œuvres, on ne peut les admirer sans réserve.

La stabil-ité des voûtes sphériques se vérifiera à l'aide du procédé déjà employé pour les voûtes qui précèdent. En les

Fio. 240.

236 PLAFONDS ET VOUTES

divisant par des plans méridiens en un certain nombre de segments ou fuseaux, comme l'indique la figure 240, on voit que ces fuseaux se font équilibre deux à deux, A et A', par exemple. Si les plans qui les déterminent sont suffisamment rapprochés, on pourra confondre les arcs de cercle ainsi interceptés avec des lignes droites, et la tranche considérée, avec une surface cylindrique dont elles seraient les génératrices. La voûte sphérique se trouvera remplacée par une voûte en arc de cloître sur plan polygonal régulier, et son cas est ainsi ramené à un autre précédemment étudié.

Si cette voûte, au lieu de reposer, comme nous Tavons supposé, sur un mur continu, était supportée par des points d'appui isolés, Tépaissèur de ces derniers se déduirait de la môme formule que nous avons donnée pour les voûtes d'arête, dans laquelle L serait le développement total de la base, et/ la somme des largeurs des faces intérieures des piédroits.

Considérations sur l'emploi des voûtes. — Les méthodes qui viennent d'être étudiées pour vérifier la stabilité des différentes voûtes ne sont qu'approximatives, mais les résultats qu'elles fournissent sont sutiisants pour les cas les plus ordinaires et les plus fréquents. Du reste, on ne leur demande, le plus souvent, surtout en architecture, que des indications comprises entre des limites avssez larges, à savoir que telle voûte projetée présentera une soHdilé convenable sans un trop grand excès de résistance. L'architecte, en effet, doit se préoccuper presque toujours de l'économie autant que de la stabilité, et, en ce qui concerne le cas que nous examinons, rechercher quelles sont les formes et les dispositions de voûtes remplissant le mieux les conditions requises pour l'édifice à construire, et exigeant la plus petite quantité de matériaux.

Les voûles, on peut s'en rendre compte parle nombre et la variété de leurs formes, se prêtent à des combinaisons très diverses, et parmi elles il est très important de chercher les plus avantageuses pour un cas proposé. Il faut, dans cet esprit, choisir celles qui permettent, par exemple, de reporter tout ou la plus grande partie des efforts aux points où

d'autres raisons exigent en même temps une plus grande masse ou une plus grande résistance.

Voûtes gothiques. — Les architectes du moyen âge se sont montrés très habiles dans Tagencement de leurs voûtes pour satisfaire au double point de vue de la stabilité et des conve-

nances de leurs édifices. On sait que la voûte principale de leurs cathédrales était consolidée extérieurement par des arcs-boulants (fig. 241) reportant la poussée sur des piles très chargées que surmontaient souvent des clochetons ou autres ouvrages massifs destinés à en augmenter la résistance. Ils en profitèrent pour établir latéralement, entre les

238 PLAFONDS ET VOITER

points d'appui du vaisseau central et les piédroits des arcsboutants, des voûtes plus légères et de moindre portée, et pour se servir de ces piédroits comme murs de refends séparant de petites chapelles ou des niches, selon les proportions de Tédifice. C'est en particulier la disposition adoptée à la cathédrale de Paris, et on y admire la concordance parfaite entre les nécessités de la construction et les convenances de distribution de Tédifice.

Afin de diminuer le plus possible le poids des voûtes et la quantité des matériaux employés à leur exécution, les architectes usèrent d'un procédé analogue à celui dont il a été question pour les voûtes romaines. Les arêtes formées par la rencontre des voûtes et les parties renforcées par des arcs doubleaux étaient exécutées en matériaux de choix offrant une grande résistance, tandis que les parties intermédiaires étaient formées par une maçonnerie plus légère, de moindre épaisseur.

La face supérieure des arcs-boutants était très souvent creusée en forme de canal destiné à Técoulement des eaux pluviales. Cette disposition, qui parait fort ingénieuse au premier abord, parce qu'elle emploie pour un but utile une partie de la construction, déjà motivée par d'autres raisons, présente le grave inconvénient de favoriser, par les infiltrations, la destruction de ce membre si important dont dépend, en somme, toute la stabilité de l'édifice. D'ailleurs, par suite de sa situation à l'extérieur de ce dernier, il est exposé sur toutes ses faces aux intempéries, dont l'action est si funeste à la conservation des ouvrages en maçonnerie.

Les arcs-boulanls, tout en indiquant un sentiment très juste des efforts auxquels sont soumises les voûtes et de leurs conditions d'équilibre, constituent donc une disposition des plus défectueuses, au point de vue de la durée des édifices. Nous sommes obligés par cela même à restreindre l'admiration qui peut être due à l'architecture du moyen âge, à cause de son originalité incontestable et de son adaptation parfaite aux mœurs et au sentiment religieux de cette époque. Son élude ne sera point sans fruit cependant pour ceux de nos lecteurs qui pourront s'y livrer, en se libérant par avance de tout préjugé et de toute idée étroite, et en tâchant

d*en dégager l'esprit pour l'appliquer aux conditions et aux circonstances actuelles, bien plus que d'y chercher des formes à copier et des modèles à suivre servilement.

DKCORATION

Considérations générales. — Toute décoration rationnelle dépend du système adopté pour la construction, puisqu'elle consiste à marquer par des saillies convenables les différentes parties constitutives. Cependant on ne pourra appliquer aux voûtes dans toute sa rigueur ce principe qui s'adapte si parfaitement aux murs et même aux arcades. Pour ces derniers, on conçoit très bien que l'indication plus ou moins prononcée de blocs de pierre, au moyen des joints apparents, des refends et des bossages, donne l'impression de la solidité, car, dans ces ouvrages, toutes les parties utiles sont visibles, et le spectateur se rend compte sans effort des actions qui s'y produisent et des résistances qu'on leur oppose. II n'en est pas de même pour les voûtes, dont l'œil ne voit que la face intérieure, etdont il ne peut évaluer au premier aspect ni l'épaisseur, ni la résistance des piédroits, ni aucun des moyens artificiels employés pour on maintenir l'équilibre. Indiquer il l'intrados d'une voûte les pierres qui la composent par des refends et des bossages contribuerait donc à effrayer le spectateur et non à le rassurer, car, ne pouvant se rendre compte du procédé qui retient à la partie supérieure de l'édifice ces blocs d'apparence très massive, il en craindrait constamment la chute.

Arcs doubleaux. — Mais d'autres considérations permettent de concevoir un système de décoration en rapport avec la construction. Lorsqu'une voûte porte une charge, un plancher, par exemple, il y a des points où s'appuient, par de plus fortes poutres ou tout autre moyen, des poids plus considérables qui exigent plus de résistance. Rien ne sera donc plus rationnel que de l'accuser par des arcs doubleaux en saillie sur l'intrados. Plus ces arcs seront larges, saillants et rapprochés, plus ils indiqueront de solidité, et l'esprit admettra parfaitement que les parties intermédiaires soient plus

PLAFONDS ET VOUTES

H a SL—H

Kio. 242.

Uîg^ies, ayant à supporter de moindres efforts ou même n'étant chargées que de leur propre poids. Cet effet sera encore augmenté si la retombée de chaque arc doubleau correspond au som-

-i : „.,„ — i. -„^ met d'une saillie

de la partie verticale du piédroit, un pilastre ou une chaîne de bossages. Les portions de voûtes comprises entre deux arcs consécutifs seront, selon le degré de richesse de l'édifice ou de la salle, lisses ou ornées d'encadrements à moulures (fig. 242) ou, dans l'un et l'autre cas, de jieintures à fresques ou de sculptures en basrelief. Ce mode de décoration, il faut en convenir, présente peu de variété et, sans le secours des oinements peints ou sculptés, il garde un aspect pauvre et froid.

Caissons. — Aussi a-t-on cherché de bonne heure une autre disposition assurément moins rationnelle, mais dont l'effet est tr^s heureux et se prête à beaucoup de richesse et de variété. Les caissons, dont les formes se déduisent si simplement de la construction primitive des plafonds et qui constituent pour ces derniers une décoration toute naturelle, ont été employés par les Romains pour les voûtes. A la rigueur, ils peuvent se légitimer, si l'on conçoit ces dernières formées d'arcs plus ou moins rapprochés reliés de distance en distance par des plates-bandes, et formant ainsi des compartiments fermés au moyen d'une maçonnerie plus légère.

Quoique l'explication (jue nous venons de donner n'ait pas été l'origine de l'emploi des caissons à la décoration des voûtes, cet usage n'en est pas moins consacré dans notre architecture, et nous allons en dire tiuehjues mots.

L(?s caissons des voûtes sont généralement de forme carrée ou rectangulaire, comme ceux des plafonds; mais ce sont «iouvent aussi dcb hexagones, des oclogones ou des lesangesi

3BBBE aDODD

lis constiluent des compartiments plus ou moins profonds, selon qu'on veut plus ou moins accuser rorncmentation ou qu'ils sont placés à une plus ou moins grande distance ; plus ou moins ornés, selon le degré de richesse de rédilice. Les plates-bandes ou co^es qui les séparent sont pour les mêmes raisons de largeurs variables sans ce- ï^^^n pendant dépasser le tiers de celle du compartiment.

La figure 243 montre une disposition de caissons carrés très simples. On peut remarquer Fio. 243.

que la côte qui se

trouve à la naissance est plus large que les autres. Cette précaution a pour but de supprimer le mauvais effet produit par la corniche marquant l'origine de la voûte, et dont la saillie cache une partie au spectateur placé sur le sol où s'élèvent les piédroits.

Les caissons carrés et octogonaux, qui sont les plus employés, sont souvent ornés d'une rosace, et les côtes qui les séparent portent des torsades, des entrelacs ou des feuilles de lauriers.

Exemples de caissons. — Les Romains, qui ont fait un grand usage de ce système de décoration pour leurs voûtes, y ont, en général, multiplié les ornements. La figure 24'ten donne un exemple tiré de l'arc de triomphe de Titus à Rome. Les caissons y sont traités avec beaucoup de finesse et une grande richesse. Les moulures qui forment l'encudrement sont toutes ornées d'oves ou de rais de cœur. Sur les côtes est sculptée unci légère toisade coupée [jar un petit fleuron à chaque intersection.

La côte horizontale de la naissance, très large à cause de la saillie de la corniche, est décorée d'enroulements de feuilles. L'arc doubleau de tête est également orné de feuilles, et chaque caisson présente en sou milieu une rosace saillante.

PLAFONDS ET VOUTES

l/arcliit(M:ture moderne a fait aussi un grand usage des caissons dans la décoration des voûles. La figure 245 repré-

Fi*i. 244.

sente un fragment de la grande voûte de l'arc de triomphe de l'Étoile, à Paris. A gauche, on voit la paitie inférieure de

l'arc doubleau de tête orné d'un encadrement fortement accusé et d'une succession d'entrelacs; la partie de droite représente des caissons carrés, de plus grandes dimensions que les précédents, et traités avec plus de fermeté, en raison de la grande hauteur à laquelle ils sont placés.

Pjq 245. '^^^ architectes de la

Henaissance introduisirent plus de variété dans la forme de ces ornements. La voûte du grand berceau de l'église de Saint-Pierre, à Rome, est dé-

Corée de caissons principaux de forme carrée avec rosaces,

Fio. 247.

séparés par des caissons rectangulaires et d'autres caissons

PLAFONDS ET VOUTES

carrés de moindre imporUmce, ces derniers, moins profonds que les auti^es, et ornés de sculptures allégoriques {fig. 246). Sur les côtes sont sculptées des feuilles de laurier avec fleurons aux points de rencontre.

Enfin, la figure 247 représente une combinaison de caissons octogonaux et de petits caissons carrés, analogue à celle qui a été adoptée pour les voûtes des bas-côtés entourant la base du dôme de Saint-Pierre de Rome, dont nous venons de citer la voûte principale.

Cette dernière disposition convient moins que les précédentes aux édifices d'un caractère sérieux ou sévère ; mais la variété de ses formes peut être, en beaucoup de cas, d'un agréable effet.

Voûtes peintes. — D'après ce qui vient d'être dit, les deux systèmes de décoration des voûtes, qu'on peut déduire des formes et des dispositions architectoniques consistent l'un, à indiquer une ossature et un remplissage au moyen des arcs

Fio. ,2'i8.

doubleaux ; l'autre, à diviser l'intrados en caissons, rappelant vaguement certaines constructions en charpente. Ces moyens ne conviennent pas toujours ou ne sont pas toujours suffisants, et on a recours, en bien des circonstances, à la peinture.

Dans ce cas, on se borne à diviser la surface à décorer sans avoir égard à' la construction et dans le seul but de produire un ensemble harmonieux et en rapport avec le caractère de Tédifice. C'est le cas, par exemple, de la voûte d'une des salles du Vatican, dont la flgure 248 représente un fragment. Elle fut dessinée et peinte par Raphaël.

Décoration des différentes sortes de voûtes. — Les procédés de décoration que nous venons d'examiner s*appliquent à toutes les voûtes, mais avec plus ou moins d'avantages, et il convient d'employer dans chaque cas les dispositions qui lui sont le mieux appropriées. Aussi, allons-nous dire quelques mots de ces dispositions pour les différentes sortes de voûtes.

Lorsqu'on décore les voûtes en berceau au moyen de caissons, leurs côtes sont de largeur uniforme, sauf celle de la naissance, qu'on tient plus large pour des raisons déjà mentionnées. On s'arrange, dans la division de l'intrados, à avoir au sommet une rangée de caissons, comme cela est indiqué dans la figure 243. Si les murs sur lesquels s'appuie la voûte sont percés de portes ou de fenêtres, on ménage également un rang de caissons dans l'axe de chaque ouverture. Cette disposition s'explique par ce fait que les côtes sont censées représenter des parties principales plus chargées, et les caissons, des parties plus légères.

Les convenances exigent que les points où les piédroits sont le plus affaiblis supportent des charges moindres. Dans le cas où les points d'appui sont des colonnes, on divisera la partie de voûte comprise entre deux colonnes consécutives en un nombre impair de caissons, de manière à en avoir un dans l'axe de l'intervalle ; il sera bon de réserver également une côte au-dessus de chaque colonne. On observerait le même principe dans le cas des pilastres. Cependant, l'arc doubleau, s'appuyant sur une colonne ou un pilastre, peut être décoré de caissons qui se trouveront par conséquent dans l'axe du support, mais on peut dire alors que cette disposition représente une ossature de deux arcs reliés par des plates-bandes régulièrement espacées et comprenant entre elles un remplissage. D'ailleurs, ces considé-

PLAFONDS ET VOUTES

rations ne sont pas des règles absolues dans le cas des caissons de faibles dimensions, et on s'occupe bien plus de les distribuer régulièrement que de les rattacher d'une façon directe à la construction. Il est bon de s'y conformer, néanmoins, lorsqu'il s'agit de voûtes décorées par de grands compartiments qui, en raison de leur développement, frappent davantage le regard et accuseraient désagréablement toute discordance avec les divisions de la paroi verticale.

Ou n'a poini à tenir compte de ces observations lorsque les divisions doivent seulement servir d'encadrement à des panneaux peints, et il suffit alors que l'ensemble s'harmonise avec les autres pai Lies de la salle, tant au point de vue du nombre des compartiments qu'en ce qui concerne leur forme.

I.es voûles en arc de cloître se prêtent mal à la décoration par caissons, cà cause des formes tronquées qu'ils prennent dans le voisinage des aréles et qui sont d'un effet désagréable. Bien qu'il soit possible d'employer cette disposition, nous croyons préférable de ne pas la recommander. Mais souvent, dans nos édifices, ces voûtes sont combinées avec un plafond offrant un grand développement par rapport à la partie courbe, qui devient ainsi accessoire. On peut se dispenser alors d'accuser ses arêtes rentrantes et décorer la voussure décaissons distribués comme dans la figure 249, et destinés à recevoir des peintures ou de fines sculptures.

D'ailleurs, les nervures ou arcs

doubleaux s'appliquent très bien

dans ce cas, et leur position est

tout indiquée soit aux arêtes, soit dans le prolongement des

nervures planes qui encadrent le plafond

Pour les voûtes d'arête, l'emploi des caissons serait encore plus défectueux, et la décoration la plus simple et la plus

Fio. ?'iî).

fréquente, dans ce cas, consiste à accuser les arêtes au moyen de saillies ou îicj^ureSy dont la figure 250 donne un exemple. Ce procédé est tout à fait rationnel, puisqu'il indique une plus grande résistance là où il y a justement concentration des efforts des deux voûtes contiguës. Dans une série de voûtes d'arête, on sépare généralement deux voûtes consé-

Fio. 250.

cutives par un arc doubleau, dont on voit la moitié du profil à droite et h gauche de la figure 250, et sa présence s'explique par la nécessité de renforcer la construction au-dessus de chaque point d'appui, afin d'y reporter les charges.

Les architectes du moyen âge tirèrent un grand parti de l'emploi des nervures et les multiplièrent même, dans les voûtes d'une certaine importance, ailleurs que sur les arêtes. La figure 251 repré- .sente le plan réduit correspondant à l'élévation de la figure 250: ces deux figures rendent compte de la disposi- ^'o- -5*-

tion des nervures dans une voûte d'arête en ogive. Les têtes A et B ou piles engagées dans

248 PLAFONDS ET VOUTES

le mur sont reliées aux colonnes ou aux pilastres qui leur font face au moyen des arcs doubleaux AM, lYS. Ces deux l^tes sont, d'autre part, reliées entre elles au moyen desarrt formercts, tels que AB. Les arêtes sont marquées par des nervures diagonales ou croisées iVogive oA,oB. De chaque point d'appui partent d'autres nervures telles que Ao<, Boj, qu'on appelle tiercerons; dans la figure 25i, les tiercerons s'arrêtent à des points intermédiaires (>|, 02, régulièrement distribués sur la voûte, d'où parlent de nouveaux arcs qui les relient, d'une part, aux formerets ou aux doubleaux (ce sont, par exemple, Vo^, P02), d'autre part, au sommet (ce sont les arcs tels que oo^y 00 2) On appelle ces nervures des liernes. Quelquefois les liernes 00|, oo^ sont supprimées et Ao^, Boj se rencontrent, sur une nervure médiane placée en Po, MoN, et à laquelle on donne le nom de crête.

Toutes ces nervures étaient exécutées en pierre de taille de petites dimensions et décorées de moulures. Quant aux portions de voûte qui remplissent leurs intervalles, ce sont des surfaces dont la génératrice est assez mal définie, qu'on exécutait en petits matériaux ou même en une sorte de béton à bain de mortier.

Les points de jonction des nervures étaient marqués par de petits fleurons en saillie, et la clef était, en général, remplacée par une rosace sculptée à jour.

Assurément, quoiffue très rationnelle dans son principe, cette décoration a été souvent employée avec excès, et nous devons mettre en garde nos lecteurs contre la profusion de ces nervures, dont les combinaisons donnaient des dessins bizarres, très recherchés des artistes du moyen âge, mais que répudient nos goûts modernes et nos idées positives. Néanmoins on peut parfaitement s'en servir en ayant soin de n'en pas exagérer le nombre.

Ainsi qu'on le voit dans la voûte d'arête représentée par la iigure 252, où les nervures diagonales ont été remplacées par deux tiercerons qui forment au sommet un carré, il est possible d'en tirer un excellent parti décoratif.

En raison de leur forme simple et de leur régularité parfaite, les voûtes sphériques admettent tous les modes de décoration, sans présenter au regard ou à l'esprit aucune des discordances ou des formes désagréables qui résultent parfois, comme nous Tavons vu, de Tapplication des mêmes procédés aux autres genres de voûtes. Le plus rationnel de ces procédés, celui des arcs doubleaux, modifié pour s'adapter à leur forme, est en même temps celui qui leur convient le mieux et qui produit le plus grand effet. Ces arcs, plus larges à l'origine qu'au sommet, divisant l'intrados de la voûte en fuseaux dont la largeur diminue suivantla même progression de la base au sommet, offrent plus de variété que lorsqu'ils sont employés pour les berceaux cylindriques, et ils se relient plus directement à la construction dont ils indiquent nettement la forme, les dispositions et la résistance. De plus, ils viennent se réunir au sommet, oii l'on peut avoir un motif de décoration qui les relie et contribue ainsi à l'unité et à la richesse. Ce motif est généralement une rosace ou une couronne à jour supportant une lanterne.

C'est cette dernière disposition qui a été adoptée pour la voûte du dôme de Saint-Pierre, à Rome, dont nous donnons une moitié dans la figure 253. Le tambour qui supporte le dôme est décoré de pilastres accouplés au-dessus desquels s'appuie la retombée des nervures, par l'intermédiaire d'une corniche et d'une sorte de balustrade pleine présentant un ressaut à chacun de ces motifs, de façon à former socle pour les nervures, et couronnement pour les pilastres. Les fuseaux compris entre ces nervures sont décorés de compartiments peu profonds, encadrés de moulures et où sont exécutées de grandes figures en mosaïque coloriée sur fond or. La couronne supérieure encadre une ouverture circulaire au-dessus de laquelle s'élèvent le tambour et la voûte d'une lanterne. On peut voir, à gauche de la figure, le plan de l'un des supports du tambour du dôme avec le contrefort correspondant. Audessous de ce plan se trouve une coupe du profil des nervures dont la plate-bande centrale est ornée d'étoiles en or sur fond bleu.

On reprochera peut-être à de tels exemples d'être bien éloignés, par les proportions colossales, le caractère monumen-

aso

PLAFONDS ET VOUTES

FiG. 253.

tal et la richesse de rornementation, des ouvrages ordinaires dont un architecte peut avoir la direction. Nous pensons toutefois qu'il est bon de les placer sous les yeux du lecteur. Il y trouvera Tharmoiiie des formes et des proportions décoratives, leur adaptation au procédé de construction et le caractère de grandeur et de beauté qui en résulte. Or, ce sont là des qualités qu'on doit rechercher à tous les degrés de richesse des édifices, et même dans les plus simples, sans leur sacrifier, d'ailleurs, aucune des exigences particulières à chacun d'eux, au point de vue de sou utilité propre.

Sans revêtir un caractère aussi monumental que celui qui résulte de la décoration au moyen des nervures, la division en caissons convient très bien aux voûtes sphériques. De même que le procédé précédent, celui-ci y offre plus de variété et de richesse que dans les voûtes en berceau. Il y présente cette particularité que, les côtes verticales étant plus rapprochées au sommet qu'à la naissance, la largeur des caissons diminue suivant la même progression, et que, pour conserver à ces derniei^ une forme semblable avec des dimensions difféientes, il faut rapprocher les côtes horizontales à mesure qu'on s'élève. La largeur des côtes varie suivant la même loi.

Un procédé simple et ingénieux pour le tracé des caissons dans une voûte sphérique a ét<

Fio. 704.

lonné par le colonel Émy. Le voici

PLAFONDS ET VOUTES

en quelques mots. Si Ton considère une sphère idéale, cc\ placée à Texlérieur d'une coupole [fig, 254), et si on construit, avec le centre od de la coupole pour sommet, un cône tangent à cette sphère, il rencontrera Tintrados suivant un cercle. Indiquons sur le plan de la voûte la division on caissons que nous voulons adopter, et entre les prolongements des angles de deux nervures consécutives oa^ ob^ décrivons une circonférence cm tangente à ces deux droites. Menons ensuite o'v par l'arête supérieure de la côte de naissance que nous nous fixons d'après les considérations déjà données, décrivons une circonférence de même rayon que cm, ayant son centre en c sur la verticale cd et tangente à o'v ; enfin, menons la droite o'v^, tangente supérieure à cette circonférence ; o'v et o'v^ représentent les projections des génératrices extrêmes du cône t<Lngent à la sphère, dont le cercle cv est la projection. Il rencontre Tintrad os de la voûte suivant un cercle qui est inscrit dans le premier caisson, dont l'arête supérieure horizontale passera par conséquent en c. Du centre c, décrivons une circonférence cp, tangente aux droites oa^ et ob^J qui ont le même écartement que les deux arêtes extrêmes d'une côte verticale, et reportons la môme circonférence en c'^, sur la verticale cd, de telle sorte qu'elle soit tangente à o'V|. \a rencontre en f de 0V2, tangente supérieure à cette circonférence, avec Tintrados de la voûte, donne l'arête supérieure de la seconde côte horizontale. En continuant l'opération de proche en proche, comme l'indique la figure, on obtient la division cherchée: on s'arrête lorsque les dimensions des caissons et des côtes deviennent trop faibles, et il reste ainsi au sommet une petite calotte qui peut être décorée d'un caisson circulaire ou d'une rosace saillante. Les culs-de-four sur pendentifs se décorent de la même façon que les voûtes sphériques ayant pour directrice un quart de circonférence. Quelquefois la décoration de la calotte se continue sans interruption sur les pendentifs ; mais le plus souvent ces deux parties sont séparées par une cor-

FiG. 255.

niche et décorées différemment. Dans le premier cas, on peut employer soit les caissons, soit la peinture. Dans le second cas, on réserve les caissons pour la partie supérieure et on décore de peintures les pendentifs, où Ton se borne à tracer un cadre de moulures (/?(/. 255). L'emploi des surfaces peintes pour la calotte et pour les pendentifs peut produire aussi, dans ce cas, un effet satisfaisant.

Enfin, les culs-de-four de niche, aussi bien que les voûtes dont le plan est un cercle complet, peuvent être décorés par les procédés précédemment indiqués et au moyen des mêmes dispositions : elles ne sont autre chose, en effet, que des demi-coupoles.