H. A. LORENTZ. LES FORMULES DE L’ÉLECTRODYNAMIQUE
d’une différentiation par rapport à s, l’action secondaire de ds' sur ds^ et en ajoutant à celle-ci l’action que nous avons appris à connaître au § 8 , on trouve pour la force totale , que d s éprouve de la part de d s\ les composantes ;
dx d s
dx
drx — “I
ds ds\
.etc.
Ces expressions deviennent encore un peu plus simples si au lieu de on introduit la fonction R^, à l’aide de la relation
ou de
= -J -dr.
Les composantes de la force deviennent alors
K cos h d'^Rn\ dR.dx dx']
Le couple qui agit sur d s pour composantes d iKr dz ^y~\)
Ô7 ) 7 Tb - ^ *^ * '^ * ’
§ 13. Ces expressions, avec les trois fonctions inconnues i?, , i?3 , iT, déterminent l’action la plus générale qui puisse être admise entre les deux éléments de courants. Elles reçoivent encore une simplification si l’on introduit la condition que l’action et la réaction seront égales et opposées. Par l’échange des lettres pourvues d’accent et de celles qui en sont dé-
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pourvues, (6) et (7) donnent les expressions relatives à l’action exercée par ds sur ds. Veut-on alors, en premier lieu, que les forces agissant sur les deux éléments soient égales et opposées , on doit avoir , comme on le trouve immédiatement ,
relation qui transforme (6) en
dRj dx d s' d s
dE, 0 s
Une seconde condition concerne les couples. Pour que l’action soit égale à la réaction , il faut que le système des deux éléments, quand ils sont liés invariablement l’un à l’autre , ne puisse prendre aucune rotation par l’effet des forces intérieures; le transport de toutes les forces en un même point ne doit donc donner lieu à aucun couple. Si l’on choisit pour, ce point le milieu de d s Qi qu’on fasse usage pour les forces des expressions (8), on trouve pour les composantes du couple
0 liT r dz dy^ ] ^ \Kr
dz'
^^^ds
dR^ dy ds d s
dR^ dy' d s ds
(/dR, dz
^^ds'
dR^ dz
ds d s d s d s
-)id'
Pour que le couple soit toujours 0, il faut qu’on ait:
L’égalité de l’action et de la réaction réduit donc les fonctions inconnues à une seule, jKj.
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§ 14. Les résultats que nous venons d’obtenir concordent de tout point avec ceux auxquels M. Korteweg est arrivé pour des éléments de courant „incomplets.” Pour l’action de pareils éléments , il introduit sept fonctions inconnues , entre lesquelles , lorsque l’égalité de l’action et de la réaction n’est pas admise, il trouve quatre relations, de sorte que, tout comme dans nos formules, il reste trois fonctions inconnues, indépendantes les unes des autres. Or il n’est pas difficile, en appliquant (6) et (7) à des cas particuliers, d’exprimer les fonctions de M. Korteweg en J?, , i?3 et iT; on trouve ainsi
dR^ dR,
dr d R
dr
