CZ=-T

dR,

K d /K\ = dr\r)’

Tr^

valeurs qui satisfont réellement aux relations qui doivent exister entre 5, (7, etc. •).

§ 15. D’après (6), la force qui agit sur l’élément ds peut être regardée comme composée de trois forces, dont la première est une attraction

*) Il faut, pour cela, poser dans les formules de M. Korteweg 4 = 1, vu que dans nos équations tout est exprimé en unités électromagnétiques.

H. A. LORENTZ. LES FORMULES DE l’ÉLECTRODYNAMIQUE. 97

COS f

tandis que la seconde et la troisième ont respectivement les directions de s et d s' et sont données par

-r-T ds dS'

Si l’on pose i?, = 0 et i?3 = — il ne reste que l’attraction, dont la valeur devient

L r ds ds' r ds Os'J

On a alors retrouvé, si l’on pose encore iT = 0, la loi d’Ampère.

Comme on le sait , M. Stefan a établi une théorie qui embrasse celles d’Ampère et de Grassman. Cette théorie n’admet pas de couples, et suppose que toutes les actions électrodynamiques sont en raison inverse du carré de la distance. Cela revient à poser a S

II est à peine besoin de dire que, au lieu de la loi de Grassmann, on aurait pu prendre tout aussi bien, comme point de départ de la théorie générale, la loi d’Ampère ou quelque autre. La recherche de l’action secondaire serait restée tout à fait la même.

§ 16. Quand on se pose la question de savoir si les fonctions iî,, i?3 , K, dans (6) et (7), peuvent être déterminées de telle sorte que pour l’action mutuelle de deux éléments de courants il existe un potentiel, on trouve que cela n’est pas possible, ainsi qu’on pouvait d’ailleurs le prévoir en tenant

98 H. A. LORENTZ. LES FORMULES DE l’ÉLECTRODY^N AMIQUE.

compte des expériences bien connues sur la rotation électrodynamique. Pourtant, si l’on envisage la question d’une manière un peu différente, l’établissement d’un potentiel devient possible. A cet effet, on distinguera, comme le fait M. Korteweg, des éléments de courant complets et incomplets. Un élément de la première espèce forme un tout limité; l’électricité en mouvement y tombe au repos à l’une des extrémités, tandis qu’à l’autre extrémité l’électricité se met en mouvement. Dans un élément incomplet, au contraire, l’électricité entre à l’une des extrémités et sort à l’autre. Un courant fermé pourra être considéré, à volonté, comme formé d’éléments complets dont les terminaisons de courants se neutralisent réciproquement , ou comme composé d’éléments incomplets; une portion mobile d’un pareil courant ne pourra toutefois être regardée que comme une somme d’éléments incomplets, puisqu’il ne s’y trouve pas de terminaisons de courants.

Il suit de là que dans les développements des § § précédents l’élément actif d s peut aussi bien être complet qu’incomplet , mais que ds peut seulement être incomplet, vu qu’on a fait usage de l’expérience d’Ampère et de von Ettinghausen. Dès que l’élément qui éprouve l’action est complet, il y a lieu d’admettre des actions non comprises dans (6) et (7). Aussi M. Korteweg ne trouve-t-il, dans ce cas, que deux relations entre les sept fonctions inconnues, de sorte que cinq de ces fonctions restent indéterminées; il montre que celles-ci peuvent alors être choisies de façon qu’il existe un potentiel.

§ 17. Si l’on a adopté la méthode des §§ 9 — 12, on pourra maintenant raisonner de la manière suivante. L’action que l’élément ds' (qu’on peut se figurer complet ou incomplet) exerce sur l’élément incomplet ds, sera donnée par (6) et (7). Si s devient complet, il ne pourra s’ajouter à cette action que des forces agissant sur les extrémités de s ; ces forces sont donc les seules que nous ayons encore à considérer.

D’abord , de l’hypothèse que le renversement du courant entraîne aussi le renversement de l’action électrodynamique, on

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peut déduire que les forces agissant, au même point du même élément , d’abord sur une origine puis sur une terminaison de courant, sont égales et opposées. Nous n’avons donc à nous occuper que des forces agissant sur des terminaisons de courants.

En introduisant ensuite l’hypothèse que l’action éprouvée par un courant non fermé, à terminaisons, approche de zéro quand la longueur diminue indéfiniment , et cela quelque forte que soit la courbure du conducteur, on peut démontrer que l’action de ds sur une terminaison de courant, placée au point P, doit être indépendante de la direction du courant auquel cette terminaison appartient, et par conséquent ne peut dépendre que de. la place de P par rapport à ds.

Or, si l’on décompose cet élément en une composante {d s') , suivant la ligne de jonction P' P et une composante {ds')^ perpendiculaire à la première, il suit de l’hypothèse des images spéculaires, que chacune de ces composantes ne peut exercer, sur la terminaison de courant située en P, qu’une force dans sa propre direction.

On pourra représenter ces forces respectivement par T [d s) , et P, T et P, étant des fonctions inconnues de r. Si

l’on introduit en outre la nouvelle fonction P — P, =: P^ , l’action peut aussi être conçue comme formée d’une force P, d s' dans la direction de d s et d’une force {d s') , dans la direction de {d s') , . Les composantes de la force totale deviennent donc

Les forces qui agissent sur les deux extrémités de c? 5 étant alors transportées au milieu de cet élément, il en résulte une force

100 H. A. LORENTZ. LES FORMULES DE l’ÉLECTRODYNAMIQUE. et un couple

ds' ’^is' r Jds V '

ds ds' r )~ds\

ds ds\

etc.

En ajoutant enfin ces expressions' à (6) et (7), on obtient les valeurs les plus générales qui puissent être admises pour les composantes de la force et du couple , quand d s est un élément complet. Les résultats sont de nouveau conformes à ceux de M. Korteweg, de sorte que, après son étude approfondie, il nous paraît superflu de montrer encore que les fonctions /?, , i?3 , iT, r, et 2^2 peuvent être choisies de manière qu’il existe maintenant un potentiel.

vL .1 . - ma-

Arcfiives Neerl. t. xvii

■V Wisselingh del

AmandüthAmst

Arciiives Neeii. t xvï]

pi II,

Ainand,Liih.Amst.

DES

Sciences exactes et naturelles.