LE CALCUL
DE LA DISTANCE ET DE L’AZIMUT AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE ,
PAR
Ch. M. SCHOLS.
A. Enumération des formules.
§ 1. Dans l’ouvrage publié, en 1880, par M. le professeur Helmert, Die mathematischen und physikalischen Theorieën der hôheren Geodàsie^ Fauteur expose l’avantage qu’il y aurait à exécuter la compensation des erreurs, dans un réseau de triangles, suivant la méthode des observations indirectes, en prenant pour inconnues les longitudes et' latitudes géographiques.
L’application de cette méthode ramène à chaque pas le problème de déterminer, au moyen des latitudes et de la différence de longitude de deux points , leur distance et leurs azimuts réciproques. Pour ce calcul, M. Helmert renvoie (p. 496) aux solutions du problème en question données aux pages 157 et 313. La première a rapport aux azimuts astronomiques et à la corde, la seconde aux azimuts géodésiques et à la longueur de la ligne géodésique. Aucun des deux systèmes de formules ne
Archives Néerlandaises, T. XVII. 7
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possède la simplicité qui serait nécessaire pour l’emploi fréquent auquel elles sont appelées.
Cette considération m’a engagé à reprendre une étude que j’avais commencée antérieurement sur ce sujet, et je me propose de faire connaître ici quelques-uns des résultats très simples auxquels mes recherches ont conduit. Les formules trouvées sont de telle nature que, pour tous les côtés de triangles susceptibles d’être mesurés, le calcul est aussi facile que si les points étaient situés à la surface d’une sphère. Quand les distances sont plus grandes et que ces formules ne suffisent plus, les corrections à introduire sont si simples, qu’on les trouve, pour ainsi dire, sans calcul.
Les azimuts dont il sera question dans ce qui suit, sont les azimuts dits astronomiques , c’est-à-dire les angles compris entre les sections verticales et les plans méridiens; pour le but que nous avons en vue, l’emploi de ces azimuts est plus commode que celui des azimuts géodésiques.
En premier lieu, je donnerai les formules propres au calcul des azimuts et de la corde, formules applicables jusqu’à des distances égales à la dixième partie du rayon de l’équateur , soit jusqu’à 638 kilomètres. Pour les formules ultérieures, relatives aux azimuts et au calcul direct des longueurs des arcs elliptiques, je devrai m’en tenir provisoirement à des distances assez courtes, mais dans lesquelles, néanmoins, rentrent encore tous les côtés de triangles qui se prêtent à la mesure. Quant aux distances plus grandes, la recherche de la meilleure forme à donner aux formules m’occupe encore en ce moment.
§ 2. Imaginons d’abord que la surface terrestre soit sphérique, et prenons-y deux points et J.2 , avec les latitudes géographiques (jp, et 92 et la différence de longitude A; la convergence des méridiens l’azimut moyen A! et la longueur de la corde
K' sont alors donnés par les formules connues
tg \ U z=i sin | X sin sec ^ X sec ^ ^ ( 1 )
K sin A' = 2 R' sin \ X cos (2)
K' cos z=z2 R' sin 1 cos J- À , (3)
AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE
OÙ ~ I (qp2 + (jp I ) représente la latitude moyenne, (5 = — cp j
la différence de latitude et E' le rayon de la sphère.
Si pour A.^ on prend toujours le point qui a la latitude la plus grande, est constamment positif, et si l’on donne aussi toujours le signe positif à A , on obtient l’avantage que a' et A'^ sont toujours positifs et moindres que 90° tant qu’on reste
sur le même hémisphère, de sorte qu’il devient impossible de se tromper quant aux signes. Seulement après que le calcul est achevé , on doit faire attention aux signes pour déduire de A' et a' les azimuts demandés.
Supposons, pour fixer les idées, que les points soient situés sur l’hémisphère nord et qu’on compte les azimuts à partir du
nord , en allant vers l’est , on aura :
1® lorsque le point A.^^ le plus élevé en latitude^ est le plus oriental (PI. 3, fig. 1):
Azimut A^ A^^ A' — ^a' (4)
„ A,A,=z\io^-^A\^^\u' (5)
2® lorsque le point A^^ le plus élevé en latitude^ est le plus occidental (PI. 3, fig. 2) :
Azimut A^ A^-=z 360° — (fi)
§ 3. Prenons maintenant la Terre ellipsoïdale et exprimons les quantités correspondant à cette forme par les mêmes lettres I que ci-dessus , mais sans accents.
Pour la convergence des méridiens , on peut continuer à la calculer par la formule (1) relative à la sphère; même quand il s’agit de distances égales’ au dixième du rayon de l’équateur, l’erreur sur \ oc n’est encore que de 0',00015 (règle de Dalby, voir Helmert, p. 150). Pour l’azimut moyen et pour la corde, il en est autrement ; on peut toutefois , pour des distances jusqu’à 100000 mètres, avec un degré d’exactitude égal à celui qui est généralement atteint dans les calculs par logarithmes à sept décimales, appliquer les formules (2) et (3) légèrement
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modifiées; il suffit, en effet, de remplacer dans (2) le rayon par la normale pour la latitude moyenne, et dans (3) par le rayon
de courbure pour cette même latitude moyenne ; on a ainsi :
A et a étant calculés , les azimuts se trouvent de nouveau
au moyen des formules (4) et (5) ou (6) et (7).
on obtient les formules exactes en multipliant chacune des premières par un facteur qui ne diffère de l’unité que par des quantités du quatrième ordre , l’excentricité étant considérée comme une quantité du premier ordre. *)
En ce qui concerne les termes dépendant du carré de la
distance , ces facteurs sont :
publié dans le Vierteljahrschrift der astronomischen Gesellschaft , Heft 3, 1881, et repoduit par le ZeiUchrift für Vermessungswesen , 1881, p. 359, il est dit par méprise que M. Helmert considère e* comme quantité du premier ordre. De même que ce savant, je prends e pour grandeur du premier ordre, ce qui, lorsqu’il s’agit de grandes distances, convient le
K sin = 2 sin i A cos K cos A =2 R sin l 3 cos l X
Les formules (8) et (9) sont des formules d’approximation ;
Si l’on tient compte de ces termes, on trouve pour l’erreur de , calculé par (8) et (9),
1 + — 2 e‘^ sin'^ q)
Dans un article sur l’ouvrage' ci-dessus cité de M. Helmert, article
mieux.
AU MOYEN DE LÀ LONGITUDE ET DE LA LATITUDE
et en remplaçant X et ^ par leurs valeurs en K, savoir
X cos (f) .^ = sin A
K K 1 — e'^ sin^
l’expression de l’erreur devient:
(Ï—Ji~y ~Wl ~ ^ 'f J %n —
— (1 — e^) cos^ cp sin^ A \sinA cos A .... (15)
Cette expression s’annule pour A^^^ = 0, pour A,,^ zz: 90® et pour A égal à environ valeurs entre lesquelles se trouvent
un maximum positif et un maximum négatif. Elle acquiert les plus grandes valeurs possibles pour zz: 0, A^^^ z= 60°, et pour
œ z=90°, A =30°, à savoir
et
Si nous prenons K zz: 100000 mètres, ces valeurs maxima deviennent respectivement
— 0',0277 et -h 0',0275.
Dans le calcul par logarithmes , on trouve A^^^ au moyen du
log tg ; une erreur dans celui-ci exerce sur la valeur exacte de l’angle l’influence la plus grande lorsque l’angle est de 45°; dans ce cas, une erreur d’une unité sur la septième décimale du logarithme donne pour l’angle une erreur de
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et l’on voit par conséquent que la valeur maximum ci-dessus assignée à l’erreur de l’angle, calculé par (8) et (9), correspond à une erreur d’un peu plus d’une unité sur la septième décimale du logarithme.
De (10) et (11) on déduit encore, pour l’erreur de iT,
