T (P (^OS^ A

L \1 — J mi 1 ^2 m

1 — 4 -h 2 -h sin^ q)^

(1 — sïn^ (jp )

-''sin^'A —

-î P . P cos^ A

(1 — sin^ (f)^

( 1 + 2sm 2 (jp^^) ( 1 - e 2 )co« M (2— e 2 + 2« ^ sm 2 ^ sin ’ q,Jcos ‘ ^ J .(16)

La dérivée de cette expression , par rapport à devient

nulle pour z=z 0 , pour = 90° et pour la valeur de A^^ déterminée par l’équation

^ (1 +2sin^^J{\-e^)

cos^ A =: Z

2(2 — -f- 2 sin^ cp. — S sin‘*‘ (p, )

Pour =: 90°, l’expression (16) devient toujours nulle; pour 4 =0, elle devient:

■jl swi^ + 4 sin^ -3e^ sin> (jp^^)

/ 'iW

et pour 4^^^^ donné par la formule (17):

(1 + 2sin^ w)

2 — e^ + 2 sin^ a — 3 e‘‘ sin* op

ÏJt * f 'I /l T î

AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE

Ces deux expressions acquièrent leurs valeurs extrêmes pour (jP^^ 0 et z=z 90°, savoir

et

la dernière de ces quantités est la plus grande , de sorte que l’erreur maximum, que l’emploi des formules (8) et (9) peut donner pour la corde , est exprimée par

valeur qui pour K =: 100000 mètres est égale à 23 millimètres, correspondant tout juste à une unité de la 7^ décimale du logarithme.

On voit donc que les erreurs commises sur et lorsqu’on

calcule ceux-ci à l’aide des formules (8) et (9) , n’atteignent , jusqu’à des distances de cent mille mètres , qu’une valeur à peu près égale à la faute qui peut résulter de l’emploi de logarithmes à 7 décimales. Ces erreurs restent aussi notablement au-dessous de celles qui sont à craindre dans les mesures, de sorte que les formules peuvent être appliquées avec sécurité à tous les côtés de triangles mesurables, sauf à quelques côtés excessivement longs , qui ne se présentent que très rarement.

Les valeurs maxima des erreurs, telles que nous venons de les trouver, ont lieu pour les latitudes = 0 et = 90°;

pour d’autres latitudes , ces' erreurs peuvent être encore beaucoup moindres. C’est ce que montre le tableau suivant, qui donne l’erreur maximum, calculée d’après (15) et (16), pour une distance de 100000 mètres, à des latitudes différentes, de 5 en 5 degrés.

108 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ET DE l’aZIMUT

Erreur maximum de

secondes.

millimètres.

§ 4, Si l’on veut atteindre un plus haut degré d’exactitude dans le cas des distances ci-dessus considérées , ou bien exécuter le calcul pour des distances plus grnndes, il faut tenir compte des termes négligés. On y parvient le plus facilement en appliquant, dans le calcul, certaines corrections aux logarithmes; les formules peuvent alors être écrites ainsi:

AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE

Ksin A z=z2 N sin if X cos w .g, (18)

K cos = 2 R ^ sin ^ ^ cos ^X. (19)

où l’on a, à des quantités du 6® ordre près,

log = — [1] sin‘^ f /5 sm- + .} [1] sin^ ^§cos2 . . (20)

log q2 = — [1] sin"^ | X cos^ | [1] sm^ ^ |3 cos 2 cp^^^ . . (21)

[l] = i¥-— -10’ loy[l] = 4,465 %^[1] = 4,164.

La constante [1], qui entre dans ces expressions, est déterminée de manière que les corrections se trouvent en parties de la 7e décimale, prise pour unité.

Lorsqu’il s’agit seulement de l’azimut, non de la longueur de la corde, les deux termes contenant cos 2cp^^ peuvent être

supprimés, ces termes n’ayant pas d’influence sur l’azimut.

Pour des distances encore plus grandes , allant jusqu’au dixième du rayon de l’équateur, ou 638 kilomètres, on peut encore très facilement tenir compte des termes du 6^ ordre. IL convient alors de partager les termes de correction en deux groupes , l’un comprenant les termes qui influent sur l’azimut , l’autre formé des termes qui n’ont d’influence que sur la longueur de la corde. Ces derniers termes ne sont introduits qu’après qu’on a calculé l’azimut; il est surtout nécessaire de procéder ainsi, parce que l’un de ces termes dépend directement de l’azimut et peut donc difficilement être calculé d’avance.

Le mieux est, dans ce cas, d’écrire les formules de la ma-

nière suivante:

Kq sin A.^^=i 2 sin 4 X cos (22)

Kq cos A,^^ zzi 2 sin 4 ^ cos ^X.q^^ (23)

110 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DELA DISTANCE ET DE l’aZIMÜT