TT

+ (1 4-8sm^qp^)(l — e^)cos^A^^ — (6— 2e^ +4e^sm^qp^^ — 8e^sm^9^^)cos^ A J .(34

Comme la fonction arbitraire R n’entre pas dans la partie périodique de l’erreur, la valeur maximum de l’erreur' ne peut être abaissée, par le choix de cette fonction, que jusqu’à la moitié de l’amplitude de la partie variable. Cette valeur, expri-

AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE

mée en millimètres, est donnée, pour 5 = 100000 mètres , dans la deuxième colonne du tableau qu’on trouvera plus loin.

Les valeurs de R les plus faciles pour le calcul sont : R = R^^

et R =z N : les colonnes 3 et 4 du tableau contiennent les

erreurs maxima qui restent alors dans S pour une distance de 100000 mètres. On voit que pour les latitudes au-dessous de 35° à 40° la valeur R = R^^ est la plus avantageuse, pour

les latitudes au-dessus , la valeur R

On pourrait employer aussi le rayon moyen \/ R^^ , mais

celui-ci ne donne un très léger bénéfice, comparativement aux deux valeurs précédentes , que pour les latitudes de 35° à 40°.

Adopter pour R une valeur constante n’offre un certain avantage que pour les grandes latitudes ; la valeur — ~ — est alors à

recommander, comme le montre la colonne 5 du tableau.

Si l’on voulait réduire partout les erreurs maxima au minimum de la colonne 2, il faudrait pour chaque latitude donner à R une valeur différente, ou choisir pour cette quantité une fonction compliquée de ce qui n’est pas à conseiller: d’une

part, parce que l’erreur maximum ne peut être que peu diminuée de cette manière, d’autre part, parce qu’il est impossible d’augmenter ainsi l’exactitude de On fait alors beaucoup

mieux d’^introduire dans le calcul quelques termes de correction, ce qui permet de trouver les valeurs de A^^ et de S, simultané-

ment, avec une précision bien plus grande.

Il ressort toutefois des chiffres contenus dans le tableau suivant, que pour les valeurs de R auxquelles il se rapporte,

c’est-à-dire pour R . N et

on atteint, même quand les

distances vont jusqu’à 100000 mètres , une exactitude équivalente à celle qui résulte de l’emploi de logarithmes à 7 décimales.

120 CH. M. SOHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ET DE l’aZIMUT

Demi-îimplitiide de l’erreur.

Erreur maximum pour :

millimètres.

lOo

§ 7. Lorsque, pour les distances considérées dans ce qui précède , on veut obtenir un plus haut degré d’exactitude , ou lorsqu’on se propose d’appliquer le calcul à des distances plus grandes, on doit tenir compte des termes de correction négligés jusqu’ici. Remettant à plus tard la recherche de la meilleure forme à donner dans ce cas aux équations , nous nous conten-

AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE

terons maintenant d’introduire ces corrections sous une autre forme, qui convient parfaitement quand les distances ne sont pas d’une longueur démesurée.

Pour résoudre ce problème, aussi quand il s’agit d’une surface sphérique, il est avantageux, lorsque les distances ne sont pas excessives , de développer les formules en séries , de façon qu’on n’ait pas à faire entrer dans le calcul les sinus des petits angles, mais ces angles eux-mêmes, exprimés en secondes.

Dans l’hypothèse de la sphéricité de la surface terrestre, on peut alors écrire:

log «' rz: log (X sin cp,^^ sec (j) [1] cos ^ cp^ (35)

log {S' sinA'^J-=:log {R'arcl 'Xcos(p,J — [2] sin^ (p^-j- [3] /5^(36) log (S' cos A',J = log (B'arc l"[Uos X)-h [4] cos^ . . . (37) où et X sont évalués en secondes, et où les constantes

[2] = [3] =: [4] = arc^ 1" log [2] = 4,62872—10.

Quand on applique ce même développement aux formules (31) — (33), on n’a qu’à remplacer dans (36) et (37) R par ^

ou par Dans le calcul sous cette forme, on peut toutefois

apporter facilement les corrections de l’ordre en employant, au lieu des constantes [3] et [4] , une valeur qui varie lentement avec œ et dont on dressera d’avance le tableau, et en intro-

duisant un petit terme de correction dépendant de cos 2 le

même qui entre aussi dans les formules (20; et (21).

La première opération ne donne donc pas plus d’embarras que dans le calcul sphérique ; seul, le dernier terme de correction doit

ont les valeurs suivantes, les corrections étant exprimées en parties de la 7^ décimale, prise pour unité:

log [1] —4,92975— 10.

122 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ET DE l’AZIMUT

être calculé à part, mais, pour cela, des logarithmes à trois décimales suffisent. S’il s’agit seulement de calculer l’azimut, non de trouver la valeur entièrement exacte de la distance , on peut même négliger ce terme, attendu qu’il n’a pas d’influence sur l’azimut.

Les formules (36) et (37) peuvent alors être écrites ainsi:

S sin log{N^^^ arc V>1 cos (p.J— [2] 9,^4+ [^] -h [5] cos 2

S cos log{R^^^ arc 1" |5 cos i ^) + [4] cos^ (jp^^+ [5] ^/^cos 2 (39)

où

I2]=— 10’’ arc^ 1"

[31= —10" arc^ LYl— 6 ^ 24 ^ 1—e^

[41= - 10" arc‘^ l"(l-6 ^ ^ 24 ^ 1—

[5]= — 10" — art'^ V ^ 8 l~c^

(pj

La formule (35), pour les motifs mentionnés plus haut (voir § 3), peut rester telle qu’elle est ‘).

Pour le calcul de la corde', un développement semblable à celui qui vient d’être donné se recommande moins, parce qu’en fin de compte on a toujours besoin du sinus. L’application des termes de correction n’en deviendrait d’ailleurs pas plus facile, vu que toutes ces corrections, ainsi qu’il ressort immédiatement des formules (18)- (21), devraient être calculées séparément; seulement pour le calcul de »<, on pourrait employer avec fruit la formule (35).

Dans le problème que nous traitons ici et où l’on a finalement besoin de l’arc, non du sinus, le développement en série est mieux à sa place. Il ne convient pas de développer cos i l dans les formules (3,7) et (39), car le calcul n’en serait pas simplifié et l’exactitude de la formule diminuerait notablement. (La valeur maximum de l’erreur de 4^^^, par exemple, deviendrait 14 fois plus grande).

AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE

Pour les valeurs de log [3] et de log [4] je donne ici un petit tableau s’étendant de (jp^^ = 30° à = 60°, qui , à l’aide

d’une interpolation facile, suffit à tous les besoins du calcul

diff.

log [4]

diff.

log [4]

diff.

log [3]

diff.

Comme application, nous reprendrons le problème déjà traité plus haut, avec la distance de 120000 mètres.