CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ET DEL’AZIMUT
log X = 3,6924972.9 =a
log [IJ
log sin =9,9216830.0 =6
log sec 5 = 98.0
log c,
log a — 3,6141963.4
log [2]
%iV^a)'cl"= 1,4912311.7
logX "" = 3,6924972.9
log C2
log cos = 9,7405680.1
log [3]
+ Cj; =T — 26
log C3
log S sin = 4,9242924.2
log [5]
log sin A,^ ' =9,8451111.8
log S = 5,0791812.4
log cos 2 (\i
log Cr,
log R^^^^arcV=z 1,4903485.0
logi3 = 3,4426331.0 =d
log [4]
log cos J X = 9,9999690.4
log e^
log S cos = 4,9329537.0
log cos A, ^ =9,8537724.6
log S = 5,0791812.4
log s sin =. 4,9242924.2
log S cos = 4,9329537.0
log tg A^^ = 9,9913387.2
AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE
ûl 2 5
Pour les azimuts, nous trouvons les mêmes valeurs que précédemment; sur la distance 6', de 120000 mètres, il y a une différence de 3 millimètres , accord aussi satisfaisant qu’il soit possible de l’obtenir avec des logarithmes à 8 décimales. En appliquant les formules (31) — (33) avec B z= c’est-à-dire
sans corrections, on trouve pour les azimuts les mêmes valeurs
que dans le premier calcul du § 5; pour la distance, 120000^^,022 , ou 22 millimètres de trop.
Les logarithmes de arc 1" et de arc 1", employés
dans le calcul ci-dessus, sont tirés des y,Rechnungsvorscliriften fur die trigonometrische Abtheilung der Landesaitfnahme. Formeln und Tafeln zur Berechmmg der geographischen CoôrdÂnaten aus den Richtungen und Langen der Dreiecksseiten. Erste Ordnung^ Berlin, 1878”, où l’on trouve, avec huit décimales, les logarithmes des réciproques de ces quantités , pour les latitudes de 47° — 57°, croissant chaque fois d’une minute.
§ 8. Pour s’assurer jusqu’à quel point il est permis d’appliquer le développement dont nous venons de faire usage, il suffira de développer les termes en qui sont indépendants de e‘^. On trouve alors que dans les logarithmes de a, de S sin et
de S cos A ont été négligés respectivement les termes suivants de l’ordre s^ :
JL Ft
cos
sm
■œ cos‘^cp — 30 1“^ i3^ sin^œ
126 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ET DE l’aZIMUT
2^ L* 10>l’cos’()p^,— 10|3*— 30|Î^J,2— j . (42)
Il en résulte pour l’erreur de | •
1 sincp J-
MÔ^r) >(44)
pour l’erreur de A :
1 r-sin^ A cos A
28S0^R' L cos^ (f
sin ii . cos ^ A
ru rn
et pour l’erreur de S:
~ — £ î — r (1 — cos^ w ) sin^ A — (20 cos"^ cp —
2880 cos ^ (T L
• 1 3 cos ^ (jp ) sin * A^^H- (30 cos ^ — 23 cos ^ q) .^) sin ^ J • • (40)
A l’aide de ces formules, nous avons calculé les deux tableaux suivants , dans lesquels, pour 100000 M et pour 8'=200000 M, sont consignées les valeurs maxima des erreurs de ^ , A.^^ et
iS, suivant les formules (35), (36) et (37), respectivement (38) et (39), pour différentes latitudes. Pour les valeurs de inférieures à celles qui se trouvent dans ces tableaux, les valeurs maxima des erreurs de « et de A sont au-dessous de 0 ", 00005
et celles de S au-dessous de 0,5 millimètre.
AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE
S ~ 100000 mètres.
Valeurs maxima des erreurs de
0 mm.
CO
S = 200000 mètres.
Valeurs maxima des erreurs de
1 mm.
CO
128 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ET DE l’aZIMUT
De ces tableaux , il est facile de déduire jusqu’à quelle latitude les formules en question peuvent encore être appliquées , avec un degré donné d’exactitude, pour des distances maxima de 100000 et de 200000 mètres.
Si l’on calcule avec des logarithmes à 7 décimales, on peut, pour une longueur maximum de 100000 mètres, employer ces formules jusqu’à environ 85° de latitude, sans commettre d’erreur notablement plus forte que celle pouvant résulter d’une erreur d’une unité de la dernière décimale. Pour une distance maximum de 200000 mètres , on peut encore faire usage des formules jusqu’à 75° au moins, c’est-à-dire jusqu’à une latitude plus élevée que toutes celles où des triangulations ont été exécutées, jusqu’à ce jour.
Exige-t-on un plus haut degré d’exactitude , veut-on , par exemple, avoir les azimuts à un dix-millième de seconde près et les distances à un millimètre près, on peut, pour une distance maximum de 100000 mètres, appliquer ces formules jusqu’à la latitude de 70°. Pour une distance de 200000 mètres, il n’est alors permis d’aller que jusqu’à 40°. Toutefois, jusqu’à la latitude de 55°, et par conséquent aussi pour toute l’étendue des Pays-Bas, l’erreur peut s’élever tout au plus à 0", 0002 pour l’azimut et à 2 millimètres pour la distance.
Bien entendu, pour atteindre ce degré d’exactitude dans le calcul, il faut faire usage de logarithmes à 10 décimales.-
B. Développement des formules.
§ 9. Passant à la démonstration des formules ci-dessus communiquées , nous considérons d’abord la Terre comme une sphère, sur laquelle sont situés les deux points A ^ et ^ ^ titudes géographiques (f, et et la différence de longitude X. Si, comme il a été indiqué précédemment, nous prenons toujours
AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE
pour A -2 le point qui a la latitude la plus grande, il pourra se présenter deux cas , qui sont représentés dans les fig. 1 et 2, PI. 3. Le triangle sphérique, formé par la ligne de jonction des deux points et par les portions de méridiens comprises entre ces points et le pôle P, a pour côtés: — 90° — qp, ,
Ao P = 90° — q^2 et Aj A2 = s' et pour angles A, P Aj =
P A , A , z= A \ = A J- « ' et A , A , P= A' , = 1 8O0 - A\^— «
oii A'^^ désigne, l’azimut moyen et a la convergence des méridiens.
Posons encore la latitude moyenne j(cpo =
différence de latitude les analogies de Gauss
donnent alors immédiatement:
cos I s' sin ^ a' sin \ lsin (1) .
cos \ s' cos i a = cos I ^ cos 4 A (2)
sin I s' sin A\^ z=z sin \ X cos (3)
sin 1- s' cos z=z sin ^ ^ cos ^ X (4)
Le rayon de la sphère étant représenté , en outre , par R\ la longueur de la corde A, A 2 par K' et la longueur de l’arc A, A 2 par S', on a:
K z=z 2 R' sin J- s'
d’où se déduisent facilement les formules (1), (2), (3), (28), (29) et (30) de la section A.
La solution pour une surface sphérique est , de cette manière , entièrement donnée ; pour le développement ultérieur , nous avons encore besoin de quelques autres formules relatives à la sphère, formules que nous allons faire connaître.
En multipliant (1) par (2) et (3) par (4) on obtient:
sin 4 «' cos 4 «' cos- 4 s' = sin 4 X cos 4- X sin cos 4 (5 . . (5)
sm cos A,^^^ sm^ 4 ~ ^ cos 4 ^ cos sin 4|5, . . (6)
130 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ETDEL’aZIMüT
et en divisant ces mêmes expressions Tune par l’autre :
tg \a = tg sin <f^^sec > ^ (7)
*.9 U «os <Pm «osée (8)
ces deux dernières expressions donnent à leur tour, par la division :
tg { a z= tg /? tg tg A' (9)
De la règle de*s sinus il suit , en outre , ,
cos (f , sin s' cos cp ^
sin A' 2 sin ï sin A! ,
tandis que la formule de la cotangente donne :
ctg A' J
sin (jp 2 cos Cf) , — sin q) j cos cp 2 cos À cos cp 2 sin 1
et la formule du cosinus:
cos s' z=z sin cp , sin cp2 + cos cp ^ cos cp 2 cos X (12)
§ 10. Soient maintenant, fig. 3, P O B2 l’axe de la Terre ellipsoïdale, A^ P et A2 P les méridiens de A^ et de A2 ; si on trace alors les deux normales A^ B^ et ^2 -^2 ? ^ •
ja;
sin"^ q)j
sin’'- qp2
