L-=z sin A\ sin A 2 = -A^(^sin^ A' — sin^ J

sin X sin X

— P__sin{A , — (igN

2 sinX 2 2 sinX

^ iYo— iY, P sin{A\-\-A\) N. — N. P ' , / /oan

Q=z -A L £ ^ — £■ » — JÈL^sin\a cos\a .(20)

2 sinX 2 2 sinX ' ^ ^

AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE

ces deux formules deviennent:

tg A, — ^ -

ta A, — — --

Introduisons maintenant encore l’azimut (astromomique) moyen et la convergence a des méridiens sur l’ellipsoïde, et

représentons par A et Ô les différences entre ces quantités et les quantités correspondantes et u sur la sphère ; nous

avons alors les relations suivantes:

a —a' -h S qui, combinées avec (15) et (17), donnent:

Aj = A + d (25)

En substituant ces valeurs dans (21) et (22), on obtient:

(P -f- Q) sin (A — 1^) = L cos (A — ^ d)

{P — Q) sin (A+4^) =: L cos (A + 1 ^),

d’où , par l’addition et la soustraction , suivies de la division par 2, on tire :

P sin A cos J ô — Q cos A sin ^ ô = L cos A cos ^ d P cos A sin I ô — Q sin A cos j ^ = — L sin A sin ^ d.

De celles-ci se déduisent immédiatement les deux relations sui-

vantes:

P sin \ d cos ~ d zz: Q sin A cos A (26)

Archives Néerlandaises, T. XVII. 9

134 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ET DE l’aZIMÜT

§ 11. Représentons l’angle que la tangente à la section verticale A 2 fait avec la corde par 4 s, et la corde elle-même par K; est alors l’angle au centre de l’arc de cercle passant par Qt A 2 -t qui en A^ est perpendiculaire à la normale de ce point , et A j i> est par conséquent égale k K sin \ s De la fig. 3 résulte, pour cette même ligne A^D:

A^DznA ^ R J — R J F — FD zzz N ^ — CR, sin 9, — CG cos 9, ~ — {N 2 sin cp2 — p) sin qj^ — cos cp 2 cos 1 cos cpj z=

= iV'j — F~2 (jp 2 SW (]P , + COS (p 2 cos cp^ cos Fj A- P sin cp ,

d’où l’on déduit, en ayant égard à (12):

K sin \ s^ =z N ^ cos s p sin cp ^ (28)

Si l’angle que la tangente en à la section verticale A 2 A, fait avec la corde A2 est représenté par J «2 ? sorte que ^2 soit égal à l’angle au centre de l’arc de cercle A2 A, , qui en A 2 a la même tangente que la section verticale A 2 A,, on trouve d’une manière analogue, ou plus simplement en permutant entre eux les indices 1 et 2 et en ayant convenablement égard aux signes:

K sin i §2 = -^2 — -^1 S' — P sin cp2

En posant

on déduit de (28) et (29), si l’on prend la demi-somme et la demi-différence et qu’en outre on tienne compte de (5) et (6):

K sin i 5 cos i (7 = — P i ^.^g ~

sinl

sin Â cos A

=2 P sin‘^ 4- S'

K cos \ s sin ^ 0 -A ^ (1 -f- cos s') — p cos ^ ^ sin cp^^ =.

- — - sin i a cos i a']

sinl ' ' J

co.ç^ [ s'— 2 Q co.9^ |s',

AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE

relations qui donnent, par la division:

tg \sctg \6 = ^ tg ‘^ \ s

De la fig. (3) il suit aussi:

A 2 Z> = iT cos I 5 , ==

cos A ^ ’

ou, en substituant la valeur de Z> 6^ donnée par (14) :

sin A' ;

rr . r AT V sin A\~i . ,

K cos L s , =\ N 2 — -4-7 rr- ^

L sinlcosA\A

cos A' J cos A J *

sin X cos A'

Pour cos A J nous pouvons écrire , en tenant compte de ( 1 5) et ( 1 6) : cos A, z=cos{A\ -f- Aj)=z cos cos Aj(l —tg.A^ ig = N.

zzzcosA' J cos A ,

2 — — ^ sin A' 2 cos A' ^ sin A' , sin A' ^ tgA ,

sin X sin X

sin A' O cos A'

sin X

iVo—

P sin A',

z=z cos A' ^ cos A ^

sin X cos A'

expression qui transforme la formule précédente en :

K cos ^ s, = — sin s'.

cos A,

Tout à fait de la même manière, on trouve:

rr , P — Q . ,

K cos ^ S2 = sm s ,

cos A 2

En remplaçant maintenant Sj , Sj , A,, A 2 par leurs valeurs suivant (24), (25) et (30), nous pouvons écrire pour les deux dernières équations, si, en outre, nous les multiplions respectivement par cos A, et cos A2I

K cos s — i o) cos (A — Y + Q)

K cos (y s 4- 1 (t) cos (a -h î ê) (P — Q) sin s\

136 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ET DE l’azIMUT

d’où , par l’addition et la soustraction , jointes à la division par 2, on déduit:

K cos -J- (T cos A cos J ô 4- sin ^ s sin ^ a sin A sin i P sin s'

K [sin J- s sin | cf cos A cos *- ô' + cos \ s cos ^ a sin A sin §]'=Q sin s'.

Divisons ces expressions l’une par l’autre, et divisons le numérateur et le dénominateur du premier membre par cos J- s cos ^ (7 cos A cos i ; il vient :

tg î^tg + tg A tg i 8 Q \ + tg \ s tg ^ r> tg A tg \ 8 P'

équation qui , étant résolue par rapport à tg \ s tg a , donne : ^9 2 ^^9 1 ^ — -5 — 77-7 — 7-7 — r-v-

P—QtgAtg^Ô

Remplaçons encore, dans le numérateur de cette expression, la quantité P par sa valeur tirée de (26), et, dans le dénominateur, la quantité Q également par sa valeur tirée de (26); on obtient ainsi , après une réduction simple :

P cos^ i d

Cette formule donne avec (32), par la multiplication et la division, suivies d’une extraction de racine:

tg'^s=ztg\ S' (34)

cos ^0

tg‘a = 9cigis' ^ ; (35)

P COS ï- d

pour cette dernière nous pouvons aussi écrire, en ayant égard à (26):

tg\c,z=etg\^^9^-, (36)

sm A

ainsi se trouvent déterminés 5 et o, et par suite aussi s^ et

AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE

§ 12. L<a longueur de la corde s’obtient le plus facilement au moyen de (31); en divisant cette expression par (34) on trouve :

K cos { s cos ' (T = 2

cos A

sin .] s' cos I s' cos \ ô ,

et par conséquent :

cos

. , cos \ s' cos I ô

sin I s' ± ^

cos J- s cos J- (J

Pour le calcul , il est plus facile de déterminer d’abord la valeur de K sin A et de iT cos A .

in lU

Pour sin A^^ et cos A.,^ nous trouvons , eu égard à (23) et à (27) :

sin A.^^ = sin{A' A) sin A' cos A A ctg

= (P+L ctg A:,^+ Qtg{8 ctg A' J

COS A,^^=: cos {A' A) z= cos cos A (1 — tg A tg A'

= ^9 — Q tg \ 3 tg A' J

expressions dont on déduit, en les multipliant par (37) et en tenant compte de (3) et de (4) :

K sin A 2 (P+L ctg A' ,^^+ Qtg\^ ctg Étos A^z= 2 {P—L tg Q tg | 8 tg

COS I s' cos J- d cos I s cos \ (J

sin \ A cos q>

cos l- s' cos I ô cos ^ s cos I (7

sin I f? cos I X

§ 13. Les formules établies jusqu’ici sont absolument exactes; elles se prêtent mal , toutefois , au calcul .direct , raison pour laquelle nous devrons développer en séries quelques-unes des quantités qui y entrent. Cela sera le cas surtout pour les facteurs :

138 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DELA DISTANCE ET DE l’ AZIMUT

P L ctg A Q tg ctg A ^ , P — Ltg — Qtg\Stg

COS i s cos i ô cos i s cos I (T

ainsi que pour le rapport^ qui, joint à (26), détermine la correction 5 réclamée par «' ; les valeurs de P et de L séparément sont moins nécessaires.

De (18), (19) et (20), il suit:

, iV^+iVj P , + ptgA'^^^cos‘^\atg'^\a

P-\-Lcta A = sin'^ la ctq A

^ ^ 2 sinl 2 2 2tg ^Icos^Ug'^A

P-LtgA' =

, iV,+iV,

iV.-iV,

cos i atgA',=

sinl ^ >n 2

iV^H-iVi ptgA cos^'-^a'

stnla coslazz:

2 sinl ‘2

2tg ^ Icos^ i A

]V J — iV , ^ tgA'^ cos ^ ja' tg\a'

2tg ^lcos‘^\l tgA'^

et si l’on tient compte des relations (2), (8) et (9), d’où l’on tire

cos Y ^ ^ cos y cos II cos ^ s'

cos (p

tg J- 1 sin \ |5 tg\a

^9 T ? ^9 fm >

ces expressions se transforment en :

sw^ 1

iV.+iV, pcosœ^^ , ..

P-\-LctgA' = — ^ tq^ œ (40)

^ 2 2smi|5^ ^'^cos^is'

AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE

P-Lt(jA'„^ =

iV, + iV,