iVj P cos cos

2 2sin^^cos'^ .}s'

P cos P cos [sin^ | s — sin'^ J-|9) 2 sin I (i 2 sin /5 cos^ ^ s'

C05 sin { f? cos

')"m rr~' —

2 s^n^^ cos^ I s

Occupons-nous , en premier lieu , des quantités

pcoscp..^ N2~hN^ pcos(p^^

^ et — qui dépendent seulement des

2sin\^j 2 2 sin ^2 P

latitudes et 9^ deux points.

Nous développerons ces' quantités en séries y oii elles seront exprimées exclusivement en fonction de la latitude moyenne 9.^ et de la demi-différence de latitude | [j , et nous étendrons ces séries un peu plus loin qu’il ne serait nécessaire pour les déductions ultérieures , parce que les expressions dont il s’agit trouvent leur application dans beaucoup d’autres cas.

Si nous remplaçons 90 par (9^^^+ J- 1^), nous obtenons pour iV2 l’expression

\/ l—e^sin^{(f'^^+\[i) \/ X—e’^ sin^ cp .—e‘^ sin\^i{sin2^> ^^pos\^^cos2(p ,,^sin\^)

ou, en divisant le numérateur et le dénominateur par \/l — sin‘^ (p et en posant , pour abréger ,

1 — sin"^ CD ^ ’

l’expression :

N 2 = ^—w sin 1 {sin 2 cp.^ cos \ ^ cos2 <p^^^ sin | [3)

en appliquant à celle-ci la formule du binôme , et en posant pour un instant

sin 2 9 cos 1 15 + cos 2 9^^ sin 1 zz: a? ,

140 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ET DE l’aZIMÜT

elle devient

5 ^+1 2 “Ht 6 5 -h

l w ^ sin ^ ^ ^ i |5it* ^ 4- yWf iv^sin^ -jr J

Pour développer N^ , il n’y a qu’à changer le signe de ^ ; en faisant alors

sin 2 cp^ cos I [i — cos 2 sin | /5 =z ^ ,

on trouve :

N^zizN.^^ j^l — 4 w sin } |5 i/-h I sin^ J (5 — y\ sin^ 2 2/^ +

+ yVs ^ I ^ ~ âVe " 2 ^ + tWî w^sin^^fy^ — J

puis, en prenant la demi-somme et la demi-différence de iV, et N ^ :

E^±K>=N \\+{wsin\^^-^ ■^- 2 >«| 21 2

2 ~ +T-V(-3sm3.<,î^^

z=N . livsin^

^^x^y — y)-^\w^ sin'^ \^{x‘^ — +

-h|f W’ 3 sin ^ {(^(x ^ —X ^ y-hxy ‘^—y^ ) +tVs ^ ^ J ^ -;r ^ y ^ ^ ^ + J

Introduisons maintenant de nouveau les valeurs de x et de y, remplaçons, entre lès parenthèses brisées , cos^ ’ ^ par (1 — sin^ .](!) et ordonnons suivant sin y |5 ; il vient :

~2 sin^ •- 15 1 cos2cp^^^-h | ^^’sm^ 2g) j + ^ sin^||5 j cos 4 (]p^^ H-