f ^osin 4 g)^^-sin 2 sin^ 2 ; +y% sin^ | cos 6 g^^-f

+ |n;sm6g.^sm2g.^4-||ic‘-^ sini(p^jin^ 2 g, ^+110 2 g^^| + j (44)

AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE

— Kl rz= N 4 îvsinl 2 '

|5 cos I f? sin 2(jp^^ 1 + sin }^^\l cos 2 5 lo sin ^ 2 j +

+ îv^ sin ^ .}|? j I (3 cos ^ 2 — sin ^ 2(f + -y-| iv sin ^ 2cp^^^cos 2<p^^^ 4- w ^ sin ^ 2 9,^ | 4- 4- ic ^ sin ® 4(5 1 T'I ^ ^ +11 ^’(5sm ^ 2(p^cos ^ 2(jp^^ — sin ^ 2(p^ J 4-

2 ()P,^ cos 2 <ip^^+yVî\ «<'’ «*w“2 (jpj 1 + J (45)

sin^

En introduisant, dans la formule (13), pour (p ^ et q> 2 les valeurs cp^ — J (5 et 4- 4 (5 , on trouve :

p=«2 sin L (S) JVj sin — { (3)J =

= e‘‘ ^(iVj+iV',) cos <f^sin J ji +(N^—N^) sin<f,^^cos [ (î j ;

si l’on substitue ici pour la valeur

ÎV

1 4- sin ^ (p

, qui résulte

cos Cp ,

de (43), et qu’on multiplie par , il vient :

2 sin 4- (5

pcoscp..^ piV2+^l -^2 — , sin COS qj

2 sin 4 (5 L

2 l-\-ivsin^q) 2

ciff

1 4- w sin

expression qui , à l’aide des valeurs ci-dessus trouvées pour l j\r j\T. . iY

— ’ et — * , donne , après quelques réductions :

osqp r

^=Njocos‘^q>.^^\+wsin'^ |,îj|(2 cos2 + -J îc sm' 2 q»,J +

pcosçp.

sin^ 4 (^ i 1(4 2 ^ ^ A 2 cos 2 1) +

+tA 2 qp j -h sin^ I Ÿe (8 cos^ 2 9 , — 4 cos^ 2(p — 4 cos 2 9. 4-1) +

If w sin^ 2 cp^ (6 cos^ 2 qp, — 2 cos 2 — 1) 4-

+ ÎÎ-Î**’ (6 cos 2 (f, — 1) + /jYî «»’ 2 qp j

142 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ET DE l’aZIMÜT

En retranchant encore cette expression de et en ayant

égard à la relation

iV fl — IVCOS'^ œ )= iV

in' ^ m' m j

e^sin^œ

on obtient :

2+iV^i sin ^ 1 cos 2 (p H- f m; sm 2 (p | +

2 2smi/? L

I w ^ ^ j cos 4(jp^^ +{ivsin 4(p,^sm2(p^^^ + ^ ^ I + fV ^ ^ 1 +

+ Imin6(p^^sm2(p,^^+§ltp^sm4,fjm^2<p^^+-illw^sm^2<f^^^ j .... (47)

§ 14. Si nous ne développons que jusqu’aux quantités du dixième ordre près , — e, s\ |5 et A cos étant considérés comme des quantités du premier ordre, — les expressions ci-dessus obtenues peuvent être écrites de la manière suivante: *)

JV -\-N r

— ^"2 — - 1 + 2- T (^(cos2 cp,^-h I W sin^ 2 cp^^^ [ +

I tc^ sin^ \ ^ cos 4<f^^+ o j (48)

^'i +fWsin^î?\cos2cf^ + lwsin'‘2(i,J +

I to‘‘ sin'^ i |î cos 4 (jp^^+ T, „ J (49)

1 + J- ÎV

pCOSqj

-z=zR

2smt

pcoscp P "l

sifi ^ —S

Pour l’expression dans la form. (40), nous pouvons écrire

cos^-|s

sw^ i|5 + sin^^s'-\- sin^\^ sm'^^ s' s\

et en transportant cette valeur, ainsi que (48) et (50), dans (40),

) r, „ et Te représentent des termes de 10e et de 6« ordre.

AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE

nous trouvons:

P-\-Lctg A j^l + J sin ^ ) cos 2 (jp^^ +| iv sin ^ 2 j — iv sin sin^

+i(?^ sin^ 1(5 ] I cos 4 cp^ — \ sin^ cp,^ (2 cos 2 — 1) j — iv sin'^\^ sin s' sin^ cp^^^ —

— w sin^ } sin^ } s' \ s' sin^ H- Tj q J (51)

Pour l’expression dans la form. (41), on

COS^ i s'

peut écrire:

(sin ^ jXcos ^cp^+sin^ {-^cos ^ sw ^ i(3)( 1 4- sin ^ j-s' + sin ^ {s'tg ^ js')=z

= sin^ ^kcos^q).^ — sin^ sin^ j^X-i-sin^ jX cos^ (p ^sin ^ { s' — sin‘^ i sin ^ ^ sin ^ \ s' +

4- sin ^ cos ^ q)^sin ^ |s' tg ^ — sin ^ |/?sin ^ sin ^ js' tg ^ js'.

Cette valeur étant introduite dans (41), le dernier terme devient du 10® ordre et peut par conséquent être négligé ; en substituant aussi, dans cette même formule, les expressions (49) et (50), et en tenant compte de la relation

N œzzzN Z .■■. 0 — Z ’

m ml — e^sm^o) 1 —

on obtient :

ri i c^

P—L tgA\ =zR^ 1^1 +T losin'^^^yos 2(f^-hj'wsin^2(p^^^ — \—e^ sin^ ^Xcos^ cp^