COS A
cos A/ COS A
p—weos’ cfi^^sin^ A^~j^ + . . (65)
devient :
AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE
Cette expression étant
inrroQuice
Q 1 — w cos"^ œ sin^ A r
cos’^-if sinA' cos A' ^ 1
^ Pl-e» “ ”* 1—wcos^q,^^ L
-U) cos 2 sin^
sin^ ^Icos'^ (p^
ou , si l’on substitue en outre la valeur de ^ donnée par (55), et qu’on ait égard à l’équation (6) :
— - ^ sin ^^cos^^sinlXcos^Xsec"^ Is'sincp^^cos ' —wcos'^ cp^^sin — sin^ i ^ tg- sin^ | X cos"^ ()p,J +T, ,
in^ A
D’après cette formule , pour la distance considérable de du rayon de l’équateur , | d atteint tout au plus une valeur de 0"00015; cette quantité étant négligeable, il est toujours permis de prendre a’ au lieu de «.
Il ne sera pas nécessaire d’entrer à ce sujet dans plus de développements ; nous pouvons nous contenter de renvoyer à l’ouvrage déjà cité de M. Helmert, où la question est traitée en détail au § 8 (règle de Dalby) du Chap. 4, page 50. Notons seulement que la quantité considérée par M. Helmert est d même , donc le double de la correction ^ à employée ci-dessus.
§ 16. Pour le développement du facteur avons , d’après (34) et (35) :
cos I s cos i d cos i s cos ^
nous
cosU'cosX^ô
cos^s
= ^cos^}s'cos^ T^(l+ = ^ cos-^s'cos^^ô-hsin^^s'cos^A =
= ^1 — sin^ l~s' sin^ A — =z — sin^ ^s' sin^ A-j- T ^ /^zzr
= 1 — I sin^ 1 s' sin^ A
148 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ET DE l’AZIMÜT
\/ 1+^5'" ï'^= \/ 1+ ctg‘^\s'cos’^\+T,
IT COS ‘-nO -L
cos J- (J
et par conséquent :
cos ^ s cos ^ ^ ^ ^ g/ ^ ^ I s' COS^ A + Tj 2 î
cos I s cos J- (J
en substituant encore les valeurs de A, s' et suivant (4), (55) et (64), on obtient, à des quantités du dixième ordre près:
cos J
cos
H- 2 sm^ L 1 cos^ (jp J -f- I tc^ sm^ i ^ ^9"^ y o •
§ 17. Développons maintenant les logarithmes des deux facteurs qui entrent dans les formules (39) et que, pour abréger, nous représenterons par V et TT, savoir:
P+L ctg + QtgiS ctg A'^'^ ^ ® ^
COS 1 s cos ^ (T
nous trouvons , aux termes du 8® ordre près , en vertu de (51),
(52), (59), (60) et (67) :
log V:=zlog -i-M w sin^ }cos + I w sin^ 2 (p^\—Mw sin ^ | /5 sin ^ —
^ J sin cos ® cos ^ + T ^
log Wzzi logR^^-\-Mwsin'^\^ j \cos 2 wsm’^2^>
sin^^lcos^œ
4-ilf sin^ ^ S sin^ l X cos^ cp — M sin‘^ l X cos^ œ sin^ J- s'-
I g2 2 1 2 J ^2 2 'Tm 2
sm^ I ^ cos® w cos^ A +T..
AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE
Les termes du 8^ ordre, négligés dans ces expressions, sont: pour log V :
— j M IV ^ sin ^ cos 2 — '^Mw ^ sin } (5 sin ^ + Mw ^ sin \ cos2 sin ^ H-
+ Mw ^ sin Lj (5 il cos4(p^ — > sin ^ (p:^J2cos2(p^^— 1 ) j —Mivsin {-^sin ^ {stg ^ | s sin ^ +
) sin^ 1 1 sin‘^ 8 cos'* œ sin^ œ cos^ A —
pour IPF ;
- 4- M I I Mn ^ ^ cos ^ œ -h
Vl— eV
sin^ I (5 sin- J- À co.9"^ | co5 2 (p^,^4- J ilf sin^ J- 15 co^ 4
-J Mw^ sin^ I (? cos- 2
to sin'^ 4- sin^ l X cos^ cp -
1 l cos^ w
- - sin'^~S sin ^ i À cos ^ op sin ^ |s' — M
sw^ 4 ^ sin^ œ cos'^ œ cos^ A
sin ^ \Xcos ^ cp sin ^ \ s ta ^ 4s' ■
il/l
- ^ siw ^ 4^cos " <p,/os
+4-Mc^
Si, de même que nous l’avons fait dans la première section^ nous ne tenons compte que des termes qui ne dépassent pas le* sixième ordre, les expressions pour log F, et log W peuvent encore être simplifiées. Partageons en outre les termes dont elles se composent en trois groupes, l’un contenant ceux qui sont communs à log F et à log W et qui par conséquent n’ont pas d’influence sur la valeur de A^^^^ groupe que nous repré-
terons par logq^^ les deux autres formés des termes qui entrent seulement dans l’une des deux expressions, groupes que nous désignerons par log et log q^; nous pouvons alors poser: Archives Néerlandaises. T. XVII. 10
eelw
150 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ET DE l’aZIMÜT
d’où découlent les formules (22), (23) et (24) de la section A.
Parmi les termes de log nous pouvons comprendre:
\Mwsin ^ ^^cos2cp^^ Mw"^ sin sin ^ 2 — \M ^ y”~ — 2 ^ ^ ^ ^ ^ ^ A
Dans le' premier de ces termes, nous écrivons pour iv la valeur :
1 — sin^ cp 1 — 1 — sin'^ cp 1 — N
Dans le second terme, nous pouvons prendre pour une
valeur constante ; en prenant la valeur , nous négligeons
un terme du 8® ordre, savoir
. \ l—e‘^—(l—e‘^sin‘^cp y
Msin‘^ \PiSin‘^2(p f w'^ — \:=zlMsin‘^\^sin’^2Œ
=" -|ilfsm2||55w^2(jp^^g®(l— 25m^(jp J-hT, Q=^—~Me^sin‘^\^sin^2i:p^.^cos2(p^yrT^ 0 ,
qui doit être ajouté tant à (68) qu’à (69).
Pour log nous pouvons donc écrire:
i«9 i,=iM I ? 2(jp,„4- 1 M sin"- ^ (î 2 qp —
— 1 ilf l ) sh
[1] sin'^ I /9 sin"^ [2] cos'^ [1] sin’^ \ lcos^ cp.^ [3] cos^ cp^^cos^ ^^^ ;(70)
sin‘^ \ l cos^ cp^^ cos^ z=z ^ [1] - — sin^ ^ ^ cos 2 cp^
^in
c’est la formule (27) de la section A.
Pour les termes de log q ^ il reste maintenant, en premier lieu :
AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE
Mw ^ sin - sin ^2cp — Mivsin ^ sin ^ 9,^= — Mw sin ^ sin ^ cp^J^ 1 + tvcos ^ 9,^) =
= — Me"^ sin^ (? sin^ cp
1 — sin^ ^in~^
(1 sin"^ (pV
(1 — sin"^ op cos^ œ
z= — M sin^ \ psin^ cp^
1— {l—e^sin^(pj^
En négligeant un terme du 8® ordre, on peut donc écrire pour cette expression :
sin‘^ 1 sin^ cp ,•
tandis que le terme négligé , qui doit être ajouté à (68), est :
H- M e® sin"^ { /? sin’^ cp^^ cos'^ (jP^ + Tj 0 . . . . (71)
Le second terme qui fait partie de logq^ est:
— M w sin^ 1 ^ sin‘^ | s' sin^ cp^^.
Dans ce terme du sixième ordre noue pouvons remplacer w par une constante; pour la facilité du calcul, nous prenons la
constante et négligeons ainsi un terme du 8® ordre, lequel
doit être ajouté à (68) ; ce terme est :
-M sin ^ i (5 sin ^ i s sin ^cp^^ ^ “2 ^ ~ '* ^ i^sin ^ -^ssin ^ cp^^cos ^ + T , ^ .
En posant encore sin""- i s =2 sin"^ } ^ cos ^ y ^ H- sin^lXcos^ cp^^, nous trouvons pour log :
log q^ := — M ^ ^ sin^ ^ (5 sin'^cp^^ — M ^ sin^ ^ ^ sin’^cp^^ sin"^ \ ^ cos'^ —
— M sin"^ I (5 sin^ cp^^ sin^ J- X cos^ cp^^'^ (72)
’est la formule (25) de la section A.
