CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ETDEL’AZIMUT
Parmi les termes de log trouve — M
sin'^ ^ s\ qu’on peut mettre sous la forme:
— M — ^in'^ \lcos‘^ sin‘^ ^[3 — ; le dernier de ces termes, savoir
sm^ i 1 cos’^ cp sin^ ^ /5 ,
est du 8® ordre et doit être ajouté à (69). Les autres termes,
sin -^Xcos^ H- M sin - ^ sin ^ J- X cos
réunis à — M
1^2 ^ 1^2 donnent , après une réduction simple :
logq^zzz — M ^ ^sin‘^ \ X cos’^ — M ^ sin^ \X cos^ sin'^ 4- Xcos"^ q
sin"^ \ (3 sin‘^ q sin^ ^ X cos^ q ;
c’est la formule (26) de la section A.
§ 18. Pour juger du degré d’exactitude des formules ci-dessus développées , nous devons considérer les termes négligés du 8® ordre. Partageons l’ensemble de ces termes en trois groupes, les mêmes que pour les termes précédents, et mettons-les, en négligeant des termes du 10® ordre, sous la forme la plus simple; nous obtenons ainsi le tableau suivant. Les chiffres placés derrière chacun de ces termes en indiquent les plus grandes valeurs positives et négatives , pour une distance égale au dixième du rayon de l’équateur, ou 638 kilomètres, en parties de la dixième décimale, prise pour unité.
Termes du 8® ordre dans log q^ :
\ M sin^^ i sin^ q^^ cos^ + 0,60 — 0,00
M sin^ -J- s' sin"^ q^^ cos^ q^^ cos^ H- 0,30 — 0,00
-{- Me^ sin^ ^ s' sin - q^^^ cos^ q^ cos"^ A,^^ + 0,48 — 0,00
— M e'^ sin^ | sin^ q cos^ A -h 0,00 — 0,45 -
AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE
Termes du 8® ordre dans log :
J- M sin
M sin^
sin‘^
cos"^
qp sin^
A^^cos'^
An
M sin^
cos'^
sin^
M sin^
sin‘^
cos''-
M eA sitA
sin’^
ra
cos^
An
Termes du 8^
' ordre dans
log Î3 :
\ M sin
s'il-
> sin'^
‘ op COS^'
■ gjcos^
An
M sin^
sin^
cos^
An
M sin^
cos^
sin^
A , cos^
An
\ M sin
s' sin"^ qj
, cos
ul
-> <jP,„ cos
rn
-g M 6® sin
s' sin ^ 2
cos"^ A
En
prenant
les
sommes de
ces valeurs maxima
et
minima des
termes du 8® ordre , on trouve :
log <72 - — 1,05
log -f- 1,24 — 1,40
Or, logtgA^^ contient log q^ — logq^’^ l’erreur la plus forte que pourrait y produire l’omission des termes du 8® ordre serait donc :
si toutes les valeurs maxima étaient atteintes simultanément. Mais il s’en faut de beaucoup que -tel soit le cas. Par exemple, des deux termes principaux qui entrent dans les sommes en question , avec les valeurs + 0,60 et — 0,60, le premier acquiert cette valeur maximum -pour g, izi 90^, 0, conditions dans
lesquelles le second s’annule; le second prend sa plus forte valeur pour — 0 , M 90^, alors que le premier s’évanouit. L’influence totale de ces deux termes ne peut jamais dépasser 0,60,
1 54 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTAÎfCE ET DE l’aZIMUT
de sorte qu’il faut déduire au moins 0,60 du chiffre 2,43 cidessus trouvé, dont il reste par conséquent tout au plus 1,43. Si l’on considère maintenant que pour produire dans une
différence de 0",0001 il doit y avoir dans la dixième décimale de logtg A. ^ une différence de 4,21 unités, on voit de suite que
l’omission des termes du huitième ordre ne peut pas donner lieu à une erreur d’une demi-unité de la quatrième décimale de la seconde, ou de 0', 00005. En réalité, cette erreur sera encore beaucoup moindre, car c’est seulement pour des angles de 45° que la différence de 0",0001 résulte d’une différence de -4,21 unités de la dixième décimale du logarithme ; pour d’autres azimuts , une pareille différence dans log tg donne dans l’angle une différence plus petite. Parmi les termes négligés dans/o^^j et logq^, les principaux n’acquièrent leur valeur maximum que pour ^4^ = 0 ou .4,^^ z=i 90°, c’est-à-dire, alors que leur influence sur A^^ même es4 la plus faible possible. Il sera superflu,
toutefois , de chercher à évaluer l’influence réelle des différents termes sur car il ressort déjà suffisamment, de ce qui
précède, que, pour les distances en question, l’erreur est si petite qu’on peut hardiment la négliger dans tous les cas.
La valeur maximum de l’influence des termes négligés dans log q^ et log q^ sur la valeur de log K est, comme on le reconnaît facilement, tout au plus égale au plus grand des deux termes, donc tout au plus égale à -f- 1,38 ou — 1,05; en y ajoutant la valeur maximum des termes qui ont seulement de l’influence sur log non sur , (3« groupe) , on trouve :
Pas plus que les précédentes, et pour des raisons analogues, ces valeurs maxima ne seront atteintes. Pour ne citer qu’un exemple , les deux termes qui dans la somme H- 2,62 figurent avec les valeurs 0,48 et 0,77, ne donnent jamais, réunis, la
AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE
valeur 0,48 + 0,77 1,25, mais tout au plus 0,90; de ce chef,
le nombre + 2,62 est donc certainement déjà réduit à + 2,27.
Or, pour obtenir dans la corde une différence de un millimètre, il doit y avoir dans le logarithme une différence de 6,81 unités de la dixième décimale. En aucun cas, par conséquent, la corde ne pourra être affectée d’une erreur atteignant un demi-millimMre.
Somme toute, nous voyons que, pour la distance de 638 kilomètres, les termes du 8e ordre sont encore parfaitement négligeables.
Pour montrer l’influence que ces termes du 8® ordre ont dans l’exemple Berlin — Kônigsbergen, traité ci-dessus, nous donnons
ici leurs valeurs en unités de la dixième décimale
L’influence sur log tg est donc: 0,051 — 0,004 0,047,
correspondant à:
et l’influence sur log K: -f- 0,041 -4- 0,096 — 0,137, correspondant à :
0,017 millimètre.
La valeur de J à suivant la formule (66), c’est-à-dire l’erreur de J « , est égale à :
§ 19. La longueur de l’arc elliptique S entre les points A, et développée ici que jusqu’aux quantités de l’ordre
€“^8^. Comme les deux arcs elliptiques et A^A^ ne
156 CH. M. SCHOLS. LE CALCUL DE LA DISTANCE ET DE l’aZIMÜT
diffèrent de la ligne géodésique que d’une quantité de l’ordre 5®, qui, même pour une distance de 1000 kilomètres, ne s’élève pas encore à un millimètre, nous n’avons à faire aucune distinction entre ces deux arcs.
Soit S J la longueur de l’arc de cercle mené par Aj et ayant en A, la même tangente que la section normale en ce point, et soit JR^ le rayon de cet arc de cercle; on aura:
En substituant pour la valeur qui résulte de (37) lorsqu’on y remplace K par 2 sin 5 5,, savoir:
sin s' cos i ô
cos A 2 sin ^ s, cos 5 s cos i o
nous trouvons :
^ P , sin s
COS A 5' sin s , cos | s cos { o
Eu égard au degré d’exactitude ci-dessus spécifié, nous pouvons remplacer — par 1 unité ; quant a 1 expression — —
cos
, il suffit de la développer jusqu’aux quantités
sm J- s , cos J- s
de l’ordre 5^ , ce qui en réalité revient à développer jusqu’aux quantités de l’ordre s\ vu que pour 0 on a 5:zi:5j=:5'
et que par conséquent tous les termes du développement ont au moins e’^ en facteur.
Nous trouvons ainsi :
SUl s
s' sinls^ cos l s
ou, en remplaçant 5, par 5 — a et en négligeant le terme , qui est de l’ordre s'^ :
AU MOYEN DE LA LONGITUDE ET DE LA LATITUDE
Pour on tire de (34) la valeur cos'^ A et pour s 6 de (33) la valeur 4^co5^A, ce qui transforme l’expression pré-
cédente en :
1 — sin'^ A — j— cos’^ A ,
de sorte que nous obtenons pour
s, = . s (l -i s"^ sin'^ A — I ^ cos^ aV . . (74)
