H A LORENTZ2Z

$ 1. L’aberration de la lumière qui, selon la théorie de l'émission résulte directement de la composition de deux mouvements rectilignes est beaucoup moins facile à expliquer dans la théorie des ondulations. Tandis que le mouvement de particules lumineuses émises par un astre peut être considéré comme indépendant du mouvement de la terre, il n’en sera pas de même de la propagation d’ondes lumineuses si le milieu dans lequel elle s’opère est lui-même entraîné par notre pla- nète. Dans la théorie ondulatoire on est done conduit à considérer en premier lieu dans quelle mesure l’éther participe au mouvement des corps qui le traversent. L’examen de cette question n’intéresse pas seulement la théorie. de la lumière, il a acquis une importance bien plus générale depuis qu’il ; est devenu probable que l’éthèr joue un rôle dans les phé-

nomènes de l'électricité et du magnétisme. | $ 2. Fresnel !), comme on sait, a admis que l’éther, près

1) Ann. de Chim. et de Phys., T.IX, p. 57, (Oeuvres complètes, II, p. 627) ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXI. 7

de la terre, ne participe pas au mouvement de celle-ci, de sorte que les vibrations lumineuses émanées d’une-étoile se propagent jusqu’à la surface de notre globe sans être en rien affectées par son mouvement. Soit S À (fig. 1) la direction dans laquelle nous arrive le mouvement lumineux de l'étoile S; perpendiculairement à cette direction plaçons un écran opaque V,, percé d’une ouverture &, b,. Nous supposerons que cet écran soit entraîné par la terre dans son mouvement, que nous nous représenterons dirigé, dans la figure, de gauche à droite; ce mou-

vement n’affecte point l’éther environnant. Tous les points de l’ouverture sont atteints au même instant par une vibration provenant de S; ils deviennent alors, d’après le principe de Huygens, de nouveaux centres d’ébranlement pour l’éther situé derrière V,, et en chaque point de ce milieu le mouvement lumineux est le résultat de l’interférence des mouvements émis par les différents points de l'ouverture.

Dans la théorie de la diffraction on fait voir que, lorsque l’écran est immobile, l'intensité lumineuse n’a une, valeur appréciable qu’à l’intérieur du cylindre ayant a, b, pour base et dont les génératrices a, c sont parallèles à SA, du moins si, comme je le supposerai, la largeur de l'ouverture est très orande en comparaison de la longueur d’onde.

Lorsque l'écran se meut, les choses se passent un peu autrement. Un point P, en arrière de l’écran, reçoit à, l'instant t un mouvement lumineux de tous les points du plan V, qui se trouvaient dans l’ouverture mobile au moment où ils devaient émettre une vibration pour qu’elle arrive en P à l’instant indiqué. Les points de VW, étant à des distances inégales

de P, la partie de ce plan à laquelle P doit son mouvement $ occupe une étendue qui ne coïncide ‘pas tout à fait avec la

largeur de l’ouverture. Considérons le cas où P se trouve à droite du milieu du faisceau transmis par l’ouverture. Si l’écran avait la position représentée par la figure au mosn à ment où partait de a, le mouvement lumineux qui arrivera en P à l'instant {, il est clair qu’au moment postérieur, où pour atteindre P à ce même instant une vibration doit partir de l'élément de l'ouverture situé le plus à droite, l'écran sera légèrement déplacé, de manière, par exemple, que le bord b, soit parvenu en b’,. Le point P reçoit par conséquent, au moment té, le même mouvement lumineux que si l'écran était immobile, mais que l’ouverture eût la largeur a ,b',. De ce qu’on vient de rappeler concernant la diffraction par une ouverture immobile, il suit alors que l’intensité lumineuse en P sera appréciable ou non, suivant que l’angle a, b', P est aigu ou obtus. P est donc situé à la limite de la lumière et de l’obscurité, lorsque la perpendiculaire abaïssée de P sur le plan W, passe par Le point où le bord droit de l'ouverture se trouvait à un moment qui peut être représenté

par t — / , Lt désignant la longueur de cette perpendicu-

laire et À la vitesse de propagation de la lumière. Une condition analogue existe pour l’autre bord du faisceau lumineux.

Soit maintenant V, un second écran, pourvu d’une ouverture a,b, égale à a, b,, et cherchons à placer cet écran de façon que tout le M cent lumineux transmis par &, b, soit recueilli en a, b,. Désignons par L la distance des L écrans. L’ouverture a, b, doit alors, à l'instant {, occuper une position telle que les perpendiculaires abaissées de ses bords sur rencontrent les bords de &, b, dans la situation qu'ils avaient

au moment 7. Il suit de là qu’à un même instant les

deux ouvertures doivent être placées l’une par rapport à l’autre de la manière indiquée par la fig. 1, et déterminée par l’équa-

tion tg a,a,c = si g désigne la vitesse avec laquelle l'écran

est transporté de gauche à droite.

On est conduit ainsi, dans l’hypothèse de l’éther immobile, à l'explication connue qui réduit l’aberration à la composition de deux mouvements rectilignes.

Si nous nous représentons la figure entière emportée avec la terre, les ouvertures «a, b,, «a, b, conservent toujours la position indiquée dans la fig. 2. Le mouvement lumineux transmis à un certain moment par a, b, se retrouve alors successivement dans les sections ef, gh, etc. du cylindre oblique &, b, a, b,.Ce cylindre détermine donc le mouvement relatif de la lumière par rapport à la terre; nous pouvons lui appliquer la dénomination de faisceau lumineux relatif, et aux droites qui le limitent, telles que a, &, et b, b, celle de rayons relatifs.

$ 3. D’après ce qui vient d’être dit, l'hypothèse de Fresnel rendrait immédiatement compte de l’aberration observée, si l’on déterminait le lieu des corps célestes au moyen de deux écrans opaques à petites ouvertures qui, étant parallèles à la direction dans laquelle ils se déplacent, n’impriment aucunement leur mouvement à l’éther. Mais nous faisons usage de lunettes, c’est à dire d'instruments qui sont fermés de tous Ncôtés et c’est là ce qui rend nécessaires de nouvelles considérations. |

Il est facile de montrer, en effet, que si la lunette en son entier, avec toute la matière qu’elle contient soit dans son tuyau soit dans le verre de ses lentilles, participe au mouvement de la terre, une aberration telle que nous l’observons ne saurait exister, même si, pour l’éther extérieur à l'instrument, l'hypothèse de Fresnel est admise. Pour le faire voir, je suppose (fig. 3), que l'objectif O de la lunette soit limité du côté antérieur par une face plane. Si à l’intérieur de la lunette tout est en repos relatif, le mouvement lumineux y sera entièrement déterminé dès qu’on connaîtra les ébran-

Fig. 2.

lements que cette face antérieure reçoit; si tous ses points sont constamment affectés par des vibrations de même phase, le mouvement lumineux sera concentré au foyer principal F de l'objectif.

Supposons maintenant que l’axe de la lunette soit dirigé sur le lieu réel d’une étoile et que l'instrument se déplace avec la terre dans une direction perpendiculaire à cet axe.

Les ondes lumineuses G de l'étoile, sont alors parallèles à la face antérieure de O, de sorte que la phase sera effectivement la même pour tous les points de cette face ; la circonstance que la face glisse le long des ondes ne change rien à cette égalité de phase. L'image de l'étoile devrait donc se former en Æ, tout comme si la lunette était immobile. Or, de fait, il se forme à une certaine distance à côté de F.

On est donc bien forcé, même pour ce cas très simple, de renoncer à l’idée que tout ce qui est contenu dans la lunette participe au mouvement de la terre. L'hypothèse requise pour expliquer dans ce cas l’aberration observée a déjà été établie par Fresnel. Elle revient à admettre que l’éther libre, inter- ” posé entre les molécules d’un corps, par exemple du verre dont est formé l’objectif, ne partage pas le mouvement que la matière pondérable possède en commun avec la terre, et qu'en conséquence, lorsque des ondes lumineuses se propagent dans une matière pondérable, leur vitesse de propagation par rapport à cette dernière ne devra être compo- sée qu'avec une partie de la vitesse doht sont animées les molécules pondérables. La fraction qui représente cette partie,

. A n°? EEE S 4 1 .

le coefficient d'entraînement de Fresnel, est nn | désig- , l n !

nant l'indice de réfraction absolu du milieu quand üil se

trouve en repos. | En réalité, ce n’est que cette dernière supposition, con-

cernant la mesure dans laquelle les ondes lumineuses pren-

nent part au mouvement de la matière pondérable, qui est

nécessaire pour expliquer l’aberration qu’on observe avec une lunette et ce n’est que pour servir de fondement à cette supposition que l’hypothèse sur la manière dont se comporte l’éther libre interposé entre les molécules pondérables a été introduite par Fresnel. En tout cas, pour que les ondes lumineuses n’exécutent pas en entier le mouvement de la matière pondérable, il est certain qu’il doit exister, dans un corps transparent, quelque chose qui ne possède pas ce mouvement, ou qui ne le possède qu’en partie. D'ailleurs, la parfaite perméabilité des corps pour l’éther est déjà implicitement comprise dans l’hypothèse fondamentale de toute la théorie de Fresnel; ce n’est qu’en admettant cette perméabilité pour la terre entière, qu’on peut se représenter l’éther en repos jusqu’au voisinage immédiat de la terre.

Fresnel ne laissa pas d'indiquer quelques conséquences de sa théorie. En premier lieu il donna l’explication de l’expérience par laquelle Arago avait montré que, lorsque la lumière d’une étoile traverse un prisme, les rayons relatifs ($ 2) sont déviés suivant les lois ordinaires de la réfraction, de sorte que tout se passe comme si la terre était immobile et que ces rayons relatifs fussent des rayons absolus. En second lieu, Fresnel remarqua que, si le coefficient d’entraînement à la

L'ÉTOES y Lol valeur 1— —-, l'aberration observée n’éprouve pas de mon

dification lorsque le tuyau de la lunette est rempli d’un liquide (expérience de Boscovich). |

Après Fresnel, divers savants ont examiné les conséquen-

ces auxquelles conduisent ses hypothèses et les ont comparées avec les résultats de quelques expériences. Je ne cite-

rai que Stokes !), Hoek ?), Veltmann *) et Ketteler 1).

$ 4 Bien que M. Stokes ait contribué à développer la théorie de Fresnel, l’hypothèse fondamentale de ce dernier lui parut si peu admissible, qu’il rechercha si l’aberration ne pourrait être expliquée aussi bien si l’on suppose que l’éther, au voisinage de la terre, soit entraîné par celle-ci. Dans son premier Mémoire *) sur le phénomène, il conclut qu’on peut, en effet, donner une pareïlle explication à la seule condition d'admettre que le mouvement de l’éther comporte un potentiel de vitesse.

M. Stokes fait d’abord remarquer que le mouvement de l’éther doit influer sur la direction des ondes lumineuses émises par un corps céleste. Soit, en effet, P Q (fig. 4) une de ces ondes, à un moment & où le mouvement lumineux a déjà pénétré dans l’espace où l’éther est entraîné par la terre. Le principe de Huygens fera connaître la position de cette onde après l’élément de temps dé. Si les vibrations lumineuses constituaient le seul mouvement qui existe dans l’éther il se serait formé durant le temps df, autour d’un des points P de P Q, une onde élémentaire sphérique, ayant P pour centre et Adt pour rayon, À étant de nouveau la vitesse avec laquelle la lumière se propage

Fig. 4.

1) Phil. Mag., Vol. 28, p. 76 (1846); Mathem. and Physical Papers, I, p. 14.

2) Astr. Nachr., T. 54, p. 145 (1860); Recherches astron. de l'Obs. Œ Utrecht, 1re livraison (1861).

3) Astr. Nachr., T. 75, p, 145; T. 76, p. 129 (1870); Pogg. Ann.,T.150, p. 497 (1873).

4) Différents Mémoires, publiés dans Pogg. Ann., T, 144, 146 et 147 (1871 —1873), furent ensuite réunis par M. Ketteler dans son Astr. Undulationstheorie (1873). |

5) Phil. Mag., Nol. 27, p. 9: Papers, 1, p. 134.

dans l’éther immobile. Mais nous venons de supposer que l’éther se meuve avec la terre. De quelque manière que ce

mouvement varie d’un point à l’autre, dans l’espace infini-

ment petit dans lequel se propagent durant le temps dé les vibrations parties de P, la vitesse pourra toujours être regar- dée comme ayant partout la même valeur et la même direction. Nous devons alors nous figurer que, en même temps que l’ébranlement s'étend autour de P suivant une sphère, cette sphère entière se déplace avec l’éther dans lequel elle est engendrée. L’onde élémentaire devient donc (si nous supposons la figure elle-même immobile dans l’espace) la sphère S, décrite avec le rayon À dt autour de P’ comme centre; P P' étant le chemin parcouru, dans le temps dt, par l’éther qui d’abord se trouvait en P. !

Construisons de la même manière les ondes élémentaires . correspondant aux autres points Q, etc. de l’onde P Q; la surface enveloppe P, Q, de toutes ces sphères nous donnera la position de l’onde après le temps dt.

Cette surface sera généralement courbe, même si l’ondeP Q était encore plane; maïs pour les parties des ondes qui peuvent entrer dans nos instruments nous pourrons négliger cette courbure. Quant à la direction de P, Q,, elle serait la même que celle de PQ, si sur toute l’étendue de l’ondé la vitesse de l’éther avait la même grandeur et la même direction, et que PP" et QQ' fussent par conséquent égaux et parallèles. Dès que cela n’est pas le cas, l’onde a changé de direction , et en se propageant plus loin elle subira, pendant chaque élément de temps, une nouvelle rotation semblable. Elle atteint donc la surface de la terre avec une autre direction qu’elle ne possédàät lorsqu’elle se mouvait encore dans l’éther immobile, en dehors de l’influence de la terre. Si maintenant, près de la surface terrestre, l’éther a le même mouvement que celle-ci, si par conséquent tout est en repos relatif dans l’espace où sont installés nos instruments d’observation, nous attribuerons à la lumière la direction perpendiculaire aux ondes telles qu’elles arrivent

, MOUVEMENT DE LA TERRE ETC. ii

dans cet espace, et cette direction différera de celle où l’étoile se trouve en réalité. enr

& 5. Pour que cette déviation concorde avec l’aberration qu’on observe il est nécessaire de supposer que dans le mou-

vement de l’éther les composantes de la vitesse, u, v, w, puissent

être conçues comme les dérivées partielles, par rapport aux coordonnées %, y, z, d’une même fonction. Pour le faire voir, considérons une partie À B (fig. 5) de la surface terrestre, assez petite pour qu’elle puisse être regardée comme plane; sup-

posons que la vitesse de la terre soit dirigée parallèlement

à cette surface, et prenons l’axe des æ dans cette direction. Nous devrons | alors admettre, d’après les idées de pouf a M. Stokes, que l’éther possède, près Bleue x de AB, une vitesse égale en grandeur et en direction. L’aberration oban 33 | B. servée dépend de cette vitesse ou, 0 X ce qui revient à la même chose, de

la différence des valeurs de w à la surface terrestre et à quelque distance de cette surface, dif- . férence qui est déterminée par les valeurs du coefficient diffé-

Fig. 5.

à OU . NT rentiel si l’axe des 2 est choisi comme le montre la 0 Z

figure. La rotation que l’onde P Q subit d’après les raisonnements de M. Stokes et par laquelle elle prend par exemple la position P, Q,, est due, au contraire, à l’inégalité des vitesses normales à l’onde qui existent dans les différents points de cette dernière. Lorsque les ondes sont d’abord exactement perpendiculaires à l’axe des z, et qu’ensuite, après avoir subi une légère rotation, elles le sont encore à peu près, cette

rotation dépend des valeurs de <= , et le raisonnement

UF EN de M. Stokes ne conduira à l’aberration observée que s’il y a À w

quelque relation entre les dérivées 25 et em Or, tel est Le | | 2 œ

cas quand il existe un potentiel de vitesse : les deux expressions sont alors égales l’une ‘à l’autre.

Par un calcul simple M. Stokes démontre que, si udæx + vdy+wdz est une différentielle totale, la rotation des ondes considérée au $ 4, donne lieu dans tous les cas à une aberration telle qu'on l’observe.

$ 6. Cela exige toutefois que, près de la surface terrestre, l’éther ait exactement la même vitesse que la terre. Et voilà que s'élève une difficulté, car cette condition est incompatible avec l’existence d’un potentiel de vitesse.

L'hydrodynamique nous apprend, en effet, que le mouvement d’un fluide incompressible qui s'étend, autour d’une surface fermée, jusqu’à l'infini, est entièrement déterminé dès qu’on sait qu’il y a un potentiel de vitesse et lorsqu’en outre en chaque point de cette surface, la vitesse dans la direction de la normale est donnée, la vitesse devant d’ailleurs être 0 à une distance infinie. Nous pouvons appliquer. cette proposition au mouvement de l’éther qui environne la terre, même sans lui attribuer aucune des propriétés des fluides ordinaires, car la proposition est indépendänte de ces dernières ; nous admettons seulement l’incompressibilité de l’éther, mais c'est ce qu’on fait dans toutes les théories optiques.

En posant donc la condition qu’il existe un potentiel de vitesse et qu’en chaque point de la surface terrestre la composante normale de la vitesse soit la même pour l’éther et pour la terre, nous avons déjà complètement défimi le mouvement du premier. Mais alors, en direction tangen-

Fig. 6. . tielle, sa vitesse différera de celle de la terre. G |

Considérons cette dernière comme une sphère de rayon ÆÀ (fig. 6), supposons qu’elle se meuve avec la vitesse g suivant l’axe des x, prenons le centre pour origine des coordonnées, et désignons par r la distance au centre d’un point exté-

rieur; les vitesses en ce point seront alors d’après les conditions précédentes :

ADR 6). ge nds)

=; À dx dy no drd2

Cet état de mouvement est évidemment symétrique autour de l'axe des x; en se bornant à ce qui a lieu dans le plan æy, on a w= 0 et, si 4 est l'angle que » fait avec OX:

5 di

u—= =" g (3 cos? Ô — 1), Re ME AR À 2 7 > A

par conséquent, à la surface de la terre:

= 596 cos? O — 1), 0 = 3 g sin 0 cos 0.

De là on déduit facilement qu’en un point À l’éther aurait par rapport à la terre une vitesse relative

SRE = Ô CL:

dans la direction À B.

__ Je laisserai de côté la question de savoir si le mouvement dont il s’agit sera stable !); ce quiest sûr, c’est que, si l’éther . se meut de facon qu’il existe un potentiel de vitesse, il devra s’y produire des courants parallèles à la surface terrestre, les courants. les plus forts se trouvant aux points du grand cercle dont le plan est perpendiculaire à la vitesse de la terre. Il est vrai que s! dans toutes les observations l’objectif de la lunette était protégé contre ces courants par des paroïs imperméables l'explication de M. Stokes pourrait encore être admise. Mais ce n’est pas dans de telles conditions que les observations astronomiques sont faites.

1) Voir Stokes, Phil. Mag. Vol. 29, p. 6 Fe ao p. 153) et Vol. 32, p. 343 (Papers, II, p. 8).

Sans doute on peut imaginer des états de mouvement de

l’éther, dans lesquels l’accord voulu des vitesses à la surface .

terrestre est complètement réalisé. Tel est, par exemple, le mouvement représenté par les équations:

2 2 L'AET ROM. Lo Re; Hu A À n° 4 rs 3 r—R cr? — R?

ste Lt dde —, w=- Rgxz .

. Les vitesses prendraient ces valeurs si l’éther était un fluide à frottement intérieur (quelque petit que fût d’ailleurs le coefficient de frottement), et qu’il ne pût glisser sur la surface de la terre.

Pour faire voir qu'avec ce mouvement de l’éther la non- .

existence d’un potentiel de vitesse ferait complètement échouer l’explication de l’aberration, nous n’avons qu’à considérer une onde plane @ (fig. 6), d’abord perpendiculaire à l’axe des y

et se propageant vers la terre le long de cet axe. D’après la

théorie de M. Stokes, l’aberration serait alors proportionnelle

à l’intégrale 0x0 = [ dx “4

prise le long de l’axt des y; l’aberration observée, au contraire, est proportionnelle à

Or, pour la première intégrale on trouve + ! g, tandis que la seconde a la valeur — g.

M. Stokes a encore cherché à concilier l’existence d’un potentiel de vitesse avec le repos relatif de la terre et de l’éther ambiant, en attribuant à l’atmosphère une influence sur le mouvement de l’éther.

Après avoir exposé les raisons qui pourraient faire admettre

que dans le mouvement de l’éther il existe un potentiel de vitesse, il continue ainsi !):

,I1 ressort donc, de ces vues sur la constitution de l’éther, que

WA + UAY + WAZ « .., . , «+ à «1. (0)

doit être une différentielle exacte, à moins que cela ne soit empêehé par l’action de l’air sur l’éther. L’action mutuelle de l’éther et de particules matérielles nous est trop inconnue, pour que nous puissions tirer, en cette matière, quelque conclusion bien probable; je me bornerai à risquer la conjecture suivante. Concevons qu’une portion de l’éther soit remplie d’un grand nombre de corps solides, placés à intervalles, et supposons que ces corps se meuvent avec une vitesse très petite en comparaison de celle de la lumière; le mouvement de l’éther entre ces corps sera encore tel que (a) soit une différentielle exacte. Maïs si ces corps sont suffisamment nombreux et rapprochés, ils devront imprimer à l’éther interposé entre eux soit leur propre vitesse tout entière, soit une partie considérable de cette vitesse. Or les molécules de l’air peuvent jouer le rôle de ces corps solides. Il peut donc arriver que (a) soit une différentielle exacte et que néanmoins l’éther, près de la surface terrestre, soit en repos relativement à la terre. La seconde de ces conditions n’est toutefois pas nécessaire pour l'explication de l’aberration.”

Pour le moment cette dernière assertion peut être laissée de côté, car dans la théorie de M. Stokes, sous la forme que nous avons examinée jusqu'ici, la condition dont il s’agit est bien dûment nécessaire. Et quant à la difficulté qui nous occupe, je ne crois pas qu’elle puisse être levée par les considérations qu’on vient de lire. Assurément, si une partie d’une onde, assez petite pour pouvoir passer entre les molécules d’air sans en rencontrer une seule, pouvait se propager sans que la diffraction lui fit perdre entièrement son caractère, la direction de cette partie subirait, lorsque l’onde pénètre de l’espace

1) Phil. Mag., Vol. 29, p 8 (Papers I, p.155).

céleste dans l’atmosphère, la rotation nécessaire pour expliquer l'aberration. Mais des ondes lumineuses, capables de se propager comme telles, doivent avoir une largeur bien des fois supérieure à la distance mutuelle des molécules de l'air. Or, : si l’on veut appliquer à de pareilles ondes les raisonnements de M. Stokes, il faudra entendre par w, v, w les valeurs moyennes que les composantes de la vitesse présentent dans un élément de volume qui contient un grand nombre de molécules. Ces vitesses moyennes sont de nouveau, en général, des fonctions de x, y, z, mais pour ces fonctions il n’est pas nécessaire qu’il y ait un potentiel de vitesse, même lorsque tel est le cas pour les vitesses réelles de l’éther. Quand même la relation pi — PEER 0 y O æ

pour ces dernières vitesses, alors que dans ces coefficients différentiels dx et dy sont infiniment petits par rapport à la distance des molécules, cette relation peut ne pas se vérifier lorsque x et v sont des vitesses moyennes et que par dx et dy on entend simplement des distances très petites, mais égales à des multiples élevés de la distance moléculaire.

Si, pour prendre un cas simple, nous remplaçons la terre par une surface plane, au-dessus de laquelle s'étend une atmosphère; si nous admettons que cette surface plane se meut avec l’atmosphère suivant une direction située dans le plan et parallèle à laquelle nous choisissons l’axe des #, et si enfin nous prenons l’axe des z perpendiculaire au plan, les vitesses moyennes en question seront u = f(2), v=w—=0, de sorte qu'il n’y aura pas pour elles un potentiel de witesse. Avec ces vitesses moyennes on ne peut expliquer l’aberration, et effectivement, lorsqu'une large onde normale à l’axe des z se propage le long de cet axe, les points du plan x y recevront des vibrations de même phase, tous les éléments de l’onde pouvant se transmettre de la même manière à travers l’atmosphère. ;

$ 7. Après avoir exposé la théorie que nous venons de

résumer , M. Stokes nous fait connaître une autre manière de voir !). Lorsque (fig. 4) l’onde PQ s’est propagée, comme il a été dit, jusqu’en P,Q,, on peut appeler PP, un élément du rayon lumineux, et un nouvel élément P,P, de ce rayon sera trouvé de la même façon, en considérant comment, pendant un second élément de temps, le mouvement vibratoire se propage à partir de P,Q,. Or, M. Stokes démontre que, dès qu’il existe un potentiel de vitesse, l’enchaînement des éléments PP,, P,P,, etc. forme une ligne droite. Et, dit-il ensuite, ,la propagation rectiligne d’un rayon de lumière, qui à priori semblerait très susceptible d’être altérée par le mouvement communiqué à l’éther par la terre et les corps célestes qui le traversent, est tacitement supposée dans l’explication de l’aberration telle que la donnent les traités d'astronomie; une fois cette supposition justifiée, tout le reste suit comme d'ordinaire.” M. Stokes est évidemment d’avis que l’aberration se trouve expliquée de cette manière, même si l’éther, près de la terre, est en mouvement par rapport à celle-ci. C’est là, paraît-il, ce qu'il a en vue, dans la dernière des phrases citées au $ précédent.

Je pense toutefois que la théorie modifiée de M. Stokes, c’est à dire la théorie qui n’exclut pas un mouvement relatif de la terre et de l’éther ambiant, ne parvient pas à expliquer l’aberration avec la seule donnée que les rayons lumineux se’ propagent er ligne droite. En effet après l’avoir obtenue on se trouve au même point où la théorie de Fresnel nous place dès le début. Si le lieu des astres était déterminé au moyen de deux écrans à petites ouvertures qui se déplacent par rapport à l’éther dans une direction parallèle à leurs plans ($ 2), la théorie ne laisserait plus rien à désirer. Mais elle est insuffisante dès que nous faisons usage d’une lunette fermée de toutes parts. Si l’on admet qu’à l’intérieur de cet instrument tout est en repos relatif, la théorie de M. Stokes, tout

1) Papers, DODr TOUS

aussi bien que celle de Fresnel, est incapable de rendre compte du phénomène.

Soit, en un point de la surface terrestre, a b (fig. 7) la moi du mouvement relatif de l’éther par rapport à la terre. Nous pouvons alors nous figurer une étoile située dans une direction telle, que les ondes lumineuses qu'elle nous envoie, après avoir subi la rotation mentionnée au $4, atteignent la terre avec une direction G'parallèle à ab. Prenons maintenant la lunette dont il fut question dans le $ 3, et plaçonsla de manière que son axe soit perpendiculaire à G. Les divers points de la face antérieure de l'objectif seront alors constamment frappés par des vibrations de même phase, et, si dans la lunette tout est en repos relatif, le mouvement lumineux devra se concentrer au foyer principal F, quelle que soit la direction du rayon lumineux en dehors de l’instrument. Par la lunette on verra donc l'étoile dans une direction perpendiculaire à G&, et l’aberration qu’on observe dépendra de la rotation par laquelle les ondes ont acquis la direction G. Par conséquent elle ne serait identique à l’aberration réellement existante qe si, près de la terre, l’éther ne se mouvait pas par rapport à rcéRee -C1.

Une hypothèse accessoire doit donc de nouveau être faite, et comme le cas offre beaucoup d’analogie avec celui dont il a été parlé plus haut ($ 3) à l’occasion de la théorie de. Fresnel, il était tout naturel d’essayer si l’on ne pourrait résoudre la difficulté en introduisant dans la théorie modifiée de M. Stokes l'hypothèse de Fresnel sur l’entraînement des ondes lumineuses par la matière pondérable.

$ 8 Je reconnus que cela est effectivement pates et c’est ainsi que je fus conduit à établir une théorie qui peut être regardée comme issue de la théorie modifiée de M. Stokes, et qui comprend en même temps celle de Fresnel comme

Fig. 7.

un cas particulier. Il peut y avoir quelque utilité, me semble-t-il, à faire connaître cette théorie plus générale.

Je suppose donc que l’éther, qui entoure la terre, soit animé d’un mouvement, dont je ne rechercherai pas les particularités, mais auquel j’attribuerai un potentiel de vitesse. A la surface de la terre ce mouvement peut être différent de celui de la matière pondérable. J’admettrai de plus que l’éther contenu dans un corps transparent participe au mouvement de l’éther extérieur de sorte qu'au dehors et au dedans d’un tel corps les composantes de la vitesse de léther peuvent être représentées par des fonctions continues et qu’il en est de même du potentiel de vitesse. Quant aux corps opaques, nous n'introduirons aucune hypothèse; nous pouvons admettre que l'éther s’y comporte comme dans les matières transparentes, mais nous pouvons aussi le supposer en repos par rapport aux molécules du corps opaque. La chose se laisse encore exprimer de la manière suivante. Concevons, d’abord, que tous les corps transparents aient été enlevés de nos appareils d'observation et de l’espace dans lequel ils sont placés. Quel que soit le rôle qu’on veuille attribuer aux corps opaques, qu’ils soient perméables ou non pour l’éther, on pourra alors se représenter dans ce. dernier un mouvement, où il y a un potentiel de vitesse dans tout l’espace en dehors des corps opaques. Si, par exemple, la paroi d’un tuyau de lunette est imperméable, nous admettrons qu'à l’extérieur du tuyau, et à l'intérieur près de l’orifice, l’éther possède le même mouvement que prendrait un fluide incompressible, sans frottement, dans lequel le tuyau se déplacerait. Lorsque ensuite les corps transparents sont remis à leur place, nous supposerons qu’il n’en résulte aucun changement dans le mouvement de l’éther, c’est-à-dire que l’éther intermoléculaire se meut dans ces corps de la même manière que le faisait d’abord l’éther libre qui occupait la même place.

Enfin, je ferai une hypothèse sur la propagation de la

lumière dans un corps transparent à travers duquel l’éther se

déplace. La vitesse relative que possède par rapport à ce dernier

la matière pondérable variera en général d’un point à l’autre mais peut être regardée comme constante dans un espace infiniment petit. Je supposerai que la fig. 8 soit renfermée dans un tel espace et j’admettrai qu’elle est en repos par rapport à l’éther, de sorte a eur. 9 y que la matière pondérable se déplace à

travers la figure. Soient « b la direction

de ce déplacement, r sa vitesse, À la vitesse avec laquelle la lumière se propagerait si la matière pondérable et

l’éther étaient en repos relatif. Dans ce

dernier cas, le mouvement lumineux

partant d’un centre de vibration s’étendrait, durant le temps dt, dans toutes les directions jusqu’à la distance À dt. Je suppose maintenant que, dans le cas actuellement considéré, l’onde élémentaire sphérique de rayon A dt, qui se forme autour de P, est entraînée avec une vitesse kr égale à une fraction déterminée de la vitesse r de la matière pondérable de sorte que, si la droite P P' est menée parallèlement à ab et prise = krdit, c'est autour de P° comme centre qu'on devra construire une sphère avec le rayon À dé. Il convient de remarquer que l’éther et la matière pondérable pourront prendre part, l’un et l’autre, au mouvement lumineux; l’hypothèse revient à ceci que, si à l'instant é un ébranlement existe dans l’éther et la matière pondérable qui sont alors au point P de la figure, ce même ébranlement se trouve

au moment é + dé dans l’éther et la matière pondérable qui 4

occupent alors les points de la surface sphérique.

Cette hypothèse, d’ailleurs, n’est autre que celle de Fresnel; celui-ci, il est vrai, admettait que l’éther est immobile et que la matière pondérable seule se déplace, mais on peut commu-

niquer au système entier une vitesse quelconque sans rien

changer au mouvement relatif des ondes lumineuses par rapport à l’éther.

Pour le coefficient d'entraînement # je prendrai la valeur admise par Fresnel, savoir k=1— —

nm? ?

n étant l'indice de réfraction absolu du milieu considéré, dans l’état de repos.

Je démontrerai maintenant que les hypothèses introduites permettent d'expliquer l’aberration et quelques autres phénomènes qui s’y rattachent. La théorie de Fresnel rentrera dans celle que je vais exposer, car le repos est un cas particulier d’un mouvement avec un potentiel de vitesse; on n’a qu'à prendre ce dernier —0, ou constant. Les raisonnements suivants s’appliquent également au cas où, dans un point de la surface terrestre, l’éther possède la même vitesse que la terre. Dès que cette circonstance se présente, ce qui peut arriver dans une partie restreinte de la surface du globe, on peut accepter la théorie primitive de M. Stokes, mais elle sera encore comprise dans celle que je ferai connaître. Seulement, dans le cas du repos relatif de l’éther et de la matière pondé:rable, on pourrait se passer de l'hypothèse sur l’entraînement des ondes lumineuses.

. $ 9. Dans l'application des hypothèses que je viens d'indiquer les vitesses de l’éther et de la matière pondérable seront regardées, au moins dans les premiers paragraphes, comme assez petites par rapport à la vitesse À de la lumière pour que nous n’ayons à en conserver que les premières puissances. Ces vitesses, en effet, se présenteront toujours divisées par À, ou bien les termes

. qui les contiennent se trouveront à côté d’autres quantités où entre le facteur À. Or, la vitesse de la matière pondérable sera celle de la terre, et la vitesse de l’éther sera du même ordre

- de grandeur; la vitesse avec laquelle la terre accomplit sa

révolution autour du soleil étant environ 10000 fois moindre

que la vitesse de la lumière, les termes que nous négligerons ne pourront avoir aucune influence appréciable sur la plupart des phénomènes. Au $ 26, toutefois, nous devrons conserver les termes du second ordre.

Pendant que la lumière traverse l’espace où l’éther se trouve entraîné par notre planète, le mouvement de cette dernière autour du soleil ne change pas sensiblement de direction ni de vitesse; c’est pourquoi nous remplacerons toujours ce mouvement par une translation uniforme, dirigée suivant la tangente à l'orbite.

Quant à la rotation de la terre autour de son axe, j'en ferai complètement abstraction; un point de l’équateur possède, en vertu de ce mouvement, une vitesse 650,000 fois plus petite que celle avec laquelle se propage la lumière.

On peut simplifier de beaucoup les raisonnements si l’on considère toujours les mouvements relatifs par rapport à la terre :). Toute la matière pondérable est alors, dans les cas dont nous traiterons, en repos relatif; l’éther, au contraire, se déplace: suivant l’hypothèse de Fresnel, avec une vitesse égale et opposée à celle de la terre, suivant la nôtre d’une manière plus compliquée. Ayant supposé l’existence d’un potentiel de vitesse pour le mouvement absolu nous devons admettre la même chose pour le mouvement relatif, car ce dernier s'obtient par la combinaison du mouvement absolu avec une translation qui possède elle-même un potentiel de vitesse.

Conformément à ce qui a été dit nous supposerons que les figures prennent part au mouvement de la terre, et nous emploierons des axes de coordonnées qui y participent également. Nous désignerons par le potentiel de vitesse pour le mouvement relatif, par u,v,w les composantes de la vitesse, de sorte qu’on a:

1) C'est surtout M. Veltmann (Z.c.) qui le fit remarquer.

La vitesse elle-même sera représentée par 0; elle a la même orandeur que » dans la fig. 8, mais une direction opposée.

Il est clair que le mouvement de l’éther sera constamment le même dans un point déterminé de nos figures. Par conséquent, y, w,v,w,e sont des fonctions de #,y,2, mais non deé.

Quand on adopte l'hypothèse de Fresnel, y devient une fonction linéaire de æ, y, z.

$ 10. La fig. 8, qui se trouvait en repos relativement à un élément de volume de l’éther, doit subir une modification . maintenant que la figure se déplacera avec la terre. Si nous Fig, 9. conservons la même position au point P, qui à rapport à l'instant t, la partie de la figure qui correspond au moment {+ dé doit être déplacée de la quantité o dt dans la direction de la vitesse 9. On obtient ainsi la fig. 9. Tandis que dans la fig. 8 le centre de la sphère s’est avancé, à partir de P, dans la direction de r sur une distance kr dt, il s’est déplacé, dans la fig. 9, dans la direction de o sur la distance (1— k) odt = odt, où l’on a

TT n?

À cette quantité aussi bien qu'à celle que nous avons désignée par £, il convient de donner le nom de , coefficient d'entraînement”. En considérant les mouvements relatifs par rapport à l’éther, on peut parler de l’entraînement des ondes lumineuses par la matière pondérable, mais si l’on envisage les mouvements relatifs par rapport à cette matière, il est également permis de dire que les ondes sont entraînées par l’éther.

En l'absence de matière pondérable, dans l’espace céleste,

les ondes lumineuses partagent complètement les mouvements

de l’éther; c’est ce qui sera exprimé par les valeurs 4 = 0, x = 1:

$ 11. Le mouvement lumineux, émané d’un astre que nous supposerons en repos, pourra être décrit le plus simplement à l’aide d’un système de coordonnées à axes également immobiles; veut-on ensuite rechercher ce que devient ce mou-

vement dans le voisinage de la terre, et employer à cet effet

la méthode du $ 9, il est nécessaire de passer à des axes de

coordonnées qui sont liés d’une manière invariable avec la terre.

Soient x’, y’, z' les coordonnées relatives aux axes fixes, %, y, z, celles qui ont rapport aux axes mobiles, et supposons ces axes choisis de telle sorte que, la terre se déplaçant avec la vitesse g, on ait

DE RR UILU = Ver

Dans le voisinage de la terre, mais à une distance encore assez grande pour que l’éther y soit en repos, le mouvement lumineux émis par une étoile sera représenté par l’équation

œo = à cos 2x N [ie ÉRERNRE ET EURE JE .(1)

où w est une quantité qui mesure le dérangement d'équilibre, N le nombre des vibrations par unité de temps, tandis que

«, B, y sont les angles que la direction de propagation fait

avec les axes positifs. Ce mouvement lumineux pourra être représenté aussi par l'équation

w —acos27x N° [Fe IP Er a 10)

si l’on pose

et À — g cos « —=:4", .+ 15 2NOI0NNNRESS

Dans un point dont les coordonnées x, y,2 ont des valeurs déterminées, et qui par conséquent se déplace avec la terre, l’ébranlement parcourra toutes les phases, non AN fois par seconde, mais NV” fois. C’est précisément cette modification du nombre des vibrations qui peut être déduite du principe de Doppler.

La quantité 4’ est la vitesse relative des ondes lumineuses par rapport à la terre. | À partir d'ici nous appliquerons la méthode exposée au $ 9. Dans l'étude de la propagation des ondes l’équation (2) pourrait servir de point de départ; nous pourrions en déduire les expressions qui représentent les vibrations dans le voisinage de la terre, là où l’éther est en mouvement. Ces expressions contiendraient toujours x, y, 2 et elles

seraient des fonctions périodiques de {, avec la période :

Mais ce sera surtout la direction des ondes dans le mouvement donné par l'équation (2), dont nous ferons usage dans les paragraphes suivants; la normale des ondes coïncide avec la direction déterminée par «, 5, y, dans laquelle l’étoile se

trouve réellement par rapport à la terre.

$ 12. Le principe de Huygens peut nous servir, de la même manière qu'au $ 4, à rechercher comment, à partir d’une pareille onde plane, ou en tout autre cas, les vibrations se propagent dans un espace pour lequel on admet les hypothèses du $ 8. Nous supposerons cet espace occupé par une matière pondérable homogène, de sorte que le coefficient d’entraînement x aura partout la même valeur; s'agit-il du mouvement dans l’espace céleste ou dans l’air, si l’on veut négliger la réfraction atmosphérique, il suffira de poser x = 1.

Considérons, en premier lieu, l’extension d’un mouvement

- lumineux à partir d’un centre À (fig. 10), soit que la matière

pondérable qui se trouve en À émette elle-même la lumière,

soit qu’en ce point l’éther et, s’il y en a, la matière pondérable

reçoivent les vibrations d’une source quelconque. Un ébranle-

ment parti de À se sera étendu, après un temps infiniment petit, jusqu’à la surface d’une!

onde élémentaire s,, telle que celle dont nous avons parlé au $ 10. Des points p, q, etc. de cette onde procèdent, durant l'élément suivant du temps, de nouvelles ondes élémentaires, et l'enveloppe s, de celles-ci est la nouvelle position de l’onde. En continuant ainsi, on trouve toutes Les positions successives d’une onde qui s’étend autour de À; soient S et S’ deux quelconques de ces positions, situées à une distance infiniment petite l’une de l’autre.

Pour déterminer le temps dans lequel le mouvement at teint un point B, arbitrairement choisi, je considérerai en- Fig, 41. core une fois, fig. 11, l’onde élémentaire déjà représentée dans la fig. 9 et qui se S (0) £

D can orme autour de P durant le temps dé. En un point quelconque Q de cette onde l’ébranlement arrive comme s’il s’était propagé suivant la ligne droite P Q avec la

vitesse

Fig. 10.

os 40 nord 7 dé:

En désignant par 9 l’angle que PQ fait avec la direction de la vitesse o, c’est-à-dire avec P P’, nous avons

P°Qr= PQ1-—-2POXx EP P' 108 0: "PAPE ou, après division par dt? |

A?=B?—2B:oc080+%:?0?,

par conséquent, si nous nous bornons à la première puissance de », De A imp 080,2 unless ete)

et, si nous voulons retenir les termes qui contiennent o*,

B=A+x0c08 0 — LPO NEO)

Dans les premiers paragraphes suivants 1l ne sera fait usage que de l’expression (5). La vitesse qu’elle représente dépend de la direction de P Q; d’ailleurs sa valeur est différente pour des éléments de même direction, maïs qui sont tracés à partir de points différents de l’espace, du moins si en ces points o n’a pas la même direction et la même grandeur.

Revenons à la fig. 10. On remarquera que les points de deux ondes successives S et S”’ sont, deux à deux, liés de telle sorte que l’un de ces points, m, situé sur S, peut être regardé comme le centre de vibration de l’onde élémentaire qui au second point » est tangente à S’. Nous donnerons à de pareils points, tels que m et n, ou f et g, le nom de points conjugués. Pour toutes les droites qui joignent des points conjugués de S et S” le temps, nécessaire au mouvement lumineux pour les parcourir avec la vitesse B est le même, et ce temps est celui dans lequel l’onde se transporte de S en S”. Pour toute droite m h, au contraire, qui, menée entre S en S’, ne joint pas deux points conjugués, le temps que le mouvement lumineux mettrait à la parcourir avec la vitesse B, sera plus long que celui dont il vient d’être parlé. En effet mh coupera la surface de l’onde élémentaire émanée de m en quelque point e, à l’intérieur de S”, et le temps en question sera déjà pour me le même que pour mn. |

Supposons maintenant que de À en B soient menées un grand nombre de lignes. Parmi celles-ci il y en aura une qui coupera en des points conjugués toutes les ondes situées entre À et B, et le parcours de cette ligne demandera moins

de temps que le parcours de toute autre ligne, qui ne passe

pas dans toute son étendue par des points conjugués des.

ondes successives. À cette ligne, parcourue en un temps mi-

nimum, je donnerai le nom de rayon lumineux; le temps

exigé pour le parcours d’un pareil rayon lumineux est celui dans lequel les ondes s'étendent de À à B.

La forme du rayon lumineux se laisse aisément déduire de ce qui vient d’être dit. Soit ds un élément d’une des lignes

vitesse 9 de l’éther dans son voisinage; le temps nécessaire au parcours de cet élément sera:

dé un ds 3 ÉE if #IUC0S CDS

B'T'A + ubcos Di A A?

et le temps exigé pour le parcours de la ligne entière, dont nous désignerons la longueur par l:

she Fe. + [ecos 0 ds.

Le facteur o cos @ étant la vitesse de l’éther dans la direction à de ds peut être représenté par ia Il en résulte que l'intégrale du second membre a pour valeur g8—4, si nous distinguons par les indices À et B les valeurs du potentiel de vitesse aux points À et B.

Dans l’expression ainsi obtenue

Lo (pr —y4) À A? 2 2 )

le dernier terme est le même pour toutes les lignes menées de À en B. Pour le rayon lumineux, il faut done que le premier terme, et par conséquent /, devienne un minimum; le rayon est par conséquent une ligne droite.

Par une autre voie et pour le cas de x = 1, M. Stokes a déja obtenu ce résultat. On y arrive encore si, au lieu de

supposer un centre unique À, on commence par une onde S, de forme quelconque. Si S, est une des positions postérieures de cette onde, et À B une ligne par laquelle S,,8, et toutes les positions intermédiaires sont coupées en des points conjugués, cette ligne sera parcourue par la lumière dans un temps minimum, d’où il suit de nouveau qu’elle est une ligne droite.

$ 13. Des considérations analogues à celles du paragraphe précédent peuvent servir à la recherche du changement de direction qu'un rayon lumineux éprouve lorsqu'il passe d’un milieu dans un autre. Soit V la surface de séparation, de forme quelconque, de deux matières pondérables, toutes les deux homogènes, de sorte que la vitesse de propagation À et le coefficient d’entraînement %# ont dans le premier milieu partout les mêmes valeurs 4, et «,, et pareillement dans le second milieu partout les mêmes valeurs 4, et *,. Dans ce cas général est compris celui où d’un côté de V se trouve l’éther libre.

Supposons qu'à partir d'une onde quelconque, dont la partie que nous avons à considérer se trouve encore tout entière dans le premier milieu, le mouvement lumineux se propage vers la surface limite. Le principe de Huygens nous permettra de nouveau de suivre à pas infiniment petits le progrès des ondes, et cela même après qu'elles ont déjà pénétré partiellement dans le second milieu. Dans ce dernier cas, l’onde est composée de deux parties, qui rencontrent la surface de séparation suivant la même ligne, mais qui en chaque point de cette ligne font entre elles un certain angle, et qui seront généralement de forme différente. L'ensemble de ces deux parties sera toutefois désigné, dans ce qui suit, comme une onde unique. Dans l’étendue qu’on en considère cette onde peut être coupée par la surface de séparation suivant une ligne unique qui se termine aux bords de l’onde ou bien suivant une ligne qui rentre en elle-même, ou enfin

suivant deux ou plusieurs lignes, de l’une ou l’autre nature,

Le premier cas se présente, par exemple, lorsqu'une onde plane et limitée tombe obliquement sur une surface plane; le second cas, lorsqu'une pareilie surface est rencontrée par une onde sphérique; enfin, une surface cylindrique peut être coupée, par une onde plane, suivant deux lignes droites.

Dans tous les cas, pour déduire de l’une des positions 8 de l’onde brisée la position S' qu’elle occupe au bout du temps dt, on doit construire deux ou, à strictement parler, trois espèces d’ondes élémentaires. En premier lieu, autour des points de S qui se trouvent déjà dans le second milieu, des ondes élémentaires semblables à celles dont ïl a été question au $ 10, et pour lesquelles on emploiïera les yaleurs de À, et de +, propres au second milieu. La surface enveloppe de ces ondes fournit presque toute la partie de S” qui est située dans le second milieu; il n’y manque qu'une étroite bordure, au-voisinage immédiat de la surface limite. En second lieu, nous avons à construire des ondes élémentaires, analogues aux précédentes, mais avec les valeurs que A et x possèdent dans le premier milieu, autour de tous les points de $ qui dans ce milieu sont assez éloignés de la surface limite pour que les ondes élémentaires correspondantes restent en deça de la surface limite. L’enveloppe de ces ondes-là est, jusqu’à une très petite distance de W, la partie de S” qui se trouve dans le premier milieu.

Restent encore les points de S qui sont si rapprochés de la surface limite que l’ébranlement qui en émane la franchit avant la fin du temps dt. Autour de ces points nous pourrions construire un troisième groupe d’ondes élémentaires, mais nous n’en avons pas besoin pour apprendre à connaître la surface S'. La considération, en effet, des ondes élémentaires qui sont situées en entier dans le premier ou dans le second milieu ne laisse indéterminée qu’une bande infiniment étroite de S', près de la surface limite, et nous pouvons combler cette lacune en prolongeant chacune des

parties déjà trouvées de S” par des plans infiniment petits,

qui se raccordent à la direction de la surface déjà obtenue.

Au reste, quand même une onde élémentaire tombe en partie dans le second milieu, la partie de cette onde qui est ‘encore située dans le premier milieu n’en aura pas moins la forme indiquée au $ 10. Donc, dans la construction précédente on pourra encore employer de telles ondes à la seule condition que leur point de contact avec la surface enveloppe tombe en dedans du premier milieu ou sur la surface limite même. En opérant ainsi, on obtient dans toute son étendue la partie de S’ située dans le premier milieu.

Les points de deux ondes successives sont de nouveau conjugués deux à deux, et en nous bornant à ceux de ces points qui se trouvent soit tous les deux dans le premier milieu, soit tous les deux dans le second, nous pouvons dire que toutes les lignes droites qui joignent deux points conjugués, qu’elles soient situées dans le premier ou dans le second milieu, sont parcourues, avec la vitesse B indiquée au $ 12, dans le même temps.

Mais si une ligne droite est menée entre deux points non conjugués de $ et S’, de façon toutefois qu’elle soit encore contenue tout entière dans le même milieu, le parcours de cette ligne demandera plus de temps que le parcours d’une droite joignant deux points conjugués.

Imaginons, à partir d’un point À du premier milieu, une ligne qui, même après son passage dans le second milieu, joigne constamment des points conjugués. Soit B le point où ce ,rayon lumineux” rencontre. la surface limité, et C l’un des points qu'il atteint au-delà de cette surface. Si nous menons alors entre À et C quelque autre ligne, qui coupera la surface limite par exemple en B° où de même que ABC au point B elle pourra subir un changement de direction, le parcours de À B C exigera moins de temps que le parcours de 4 BC. Pour le reconnaître, on n’a qu’à interposer entre À et C une infinité d'ondes, en ayant soin qu’il en passe une par B et une par

B', et À remarquer que les éléments de À B'C ne joignent pas tous des points conjuguês d’ondes successives. Le rayon lumineux est donc, de tous les chemins allant de À à C, celui qui est parcouru dans le temps le plus court. Il suit de là, d’après le résultat du paragraphe précédent, que ce rayon doit être composé de deux lignes droites, et B sera celle des positions du point variable B' pour laquelle le temps, nécessaire au parcours de la ligne brisée À B'C, AeNre | un minimum. | D’après les formules du paragraphe préeiens il faut, pour

parcourir À B”, le temps Fe Â2 (pB —p4), . res + (7)

et pour parcourir B’ C, le temps

B'C À fs ar peur)...

yB! ayant dans ces deux expressions la même valeur puisque, suivant notre hypothèse, le potentiel de vitesse est une fonction continue.

La somme de (7) et (8) peut être représentée très simplement, à raison de la valeur que nous avons admise, au $ 10, pour le coefficient d'entraînement. Désignant, en effet, par, et n, les indices de réfraction absolus des deux milieux, on 4:

4 e AZ. ss 2 . 2 Mae MAS SES et l’on sait, de plus, que Ai 48 3 On en conclut que vite alfa 2 2 À, À;

tropes la même valeur. Celle-ci étant désignée par «, la somme de (7) et (8) sera :

Le a Fr — u (pc — pa).

Comme le dernier terme de cette expression est indépendant de la situation de B”, il faut simplement que :

k Mia Hole 4 (9) devienne un minimum lorsque B” occupe la position B. Mais il résulte de là que les droites À B et B C sont situées, avec la normale à la surface limite en B, dans un même plan, et que les sinus des angles qu’elles font avec cette normale sont entre eux dans le rapport de À, à 4,. Je puis me dispenser de donner ici la démonstration de cette conséquence. Bornons-nous à remarquer que de l’expression (9) a disparu tout ce qui est relatif au mouvement de l’éther par rapport à la matière pondérable. Alors même que tout est en repos, la manière dont le rayon passe d’un milieu dans l’autre est déterminée par la condition que (9) devienne un minimum; or, dans ce cas la réfraction obéit aux lois que je viens d’énoncer.

Que ces lois subsistent encore, pour les rayons relatifs, lorsque l’éther est en mouvement par rapport à la matière pondérable, c’est ce qui a été démontré d’une manière générale, d’abord par M. Stokes dans son Mémoire sur la théorie de l’aberration de Fresnel, puis par M. Veltmann. Ces savants prirent toutefois pour point de départ de leur démonstration l’hypothèse de Fresnel et leur méthode est différente de celle que j'ai employée.

Il importe de remarquer que le résultat obtenu dépend entièrement de la valeur qu’on attribue au coefficient d’entraînement. En effet la démonstration donnée est en défaut dès que wg' ne disparaît pas de la somme des expressions (7) et (8).

134 H. A. LORENTZ. DE L'INFLUENCE DU "e c 11 di SAS te RE : | pa Or, cela n’a lieu que si At TAC est-à-dire, si pour des 1 2

milieux différents x est inversement proportionnel à n?, si par conséquent cette quantité, qui dans l’éther libre doit

dr 1 être — 1, a dans tout autre milieu la valeur AE

La réflexion de la lumière peut être traitée de la même manière que la réfraction. Il y a cette différence que les ondes réfléchies s’entre-croisent avec les ondes incidentes mais cette circonstance ne change rien au raisonnement. On reconnaîtra aisément que les lois ordinaires de la réflexion ne cessent de s'appliquer aux rayons relatifs, et que pour arriver à cette conclusion on n’a besoin d'aucune hypothèse sur le coefficient d'entraînement. Il suffira d'admettre que dans le même milieu ce coefficient présente toujours la même valeur. |

$ 14. De ce qui précède, 1l résulte que le chemin des rayons relatifs est déterminé par les lois ordinaires de la réfraction, même quand la lumière parcourt successivement une série de milieux différents. Il en est encore ainsi dans le cas où les propriétés du milieu varient par degrés insensibles ce qu’on démontre directement de la manière suivante,

Considérons un milieu, l’atmosphère par exemple, qui est isotrope, mais non homogène. En étudiant la propagation des ondes dans ce milieu on peut de nouveau appliquer le principe de Huygens; seulement en construisant les ondes élémentaires de la manière indiquée au $ 10 on fera attention à ce que les quantités À et «x présentent, dans les différents éléments de volume, des valeurs différentes. Comme dans les cas précédemment traités le rayon lumineux, qui unit constamment des points conjugués, sera, de tous les chemins qui relient deux points À et B, celui qui est parcouru dans = le temps le plus court.

Or, pour un élément ds d’une ligne quelconque, le temps nécessaire est, comme au $ 12,

MOUVEMENT DE LA TERRE ETC. 135 e

da;cioryds » 0P Je

8 P 06 D TT OP TT de sorte que la ligne totale, menée de 4 en B, sera parcourue dans le temps

D’après l'hypothèse que nous avons faite sur le coefficient d’en-

traînement, Us a partout la même valeur «, quelle que soit

la manière dont les propriétés du milieu varient d’un point à l’autre. Pour le second terme de (10) on peut donc écrire

mu (ge — p4),

et puisque cette quantité est la même pour tous les chemins allant de À à B, le rayon lumineux sera la ligne pour laquelle le premier terme de l’expression (10), savoir

est un minimum.

Or, cette intégrale étant entièrement indépendante du mouvement de l’éther, il en sera de même de la marche du rayon lumineux relatif.

$ 15. Lorsque, à l’aide des lois simples que nous avons appris à connaître, on a déterminé le cours des rayons relatifs, on peut en déduire la forme d’une onde lumineuse dans ses positions successives; on se servira dans ce but du rapport qui existe entre la direction des ondes et celle des rayons.

Soit Q (fig. 11) le point où la surface enveloppe d’un système d’ondes élémentaires infiniment petites est touchée .par une de ces dernières dont le centre de vibration se trouve en P. Alors P Q est un élément du rayon lumi-

ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXI. Vipie 9

136 H. A. LORENTZ. DE L'INFLUENCE DU s *

neux et P'Q est normale à l’onde enveloppe. En se rappelant

les valeurs de P Q, P'Q et P P' on est conduit aux résul-

tats suivants.

Si, en quelque point P (fig. 12), une vitesse P'N = A, dirigée suivant la normale d’une onde, est composée avec une vitesse PE —%9o pap Æ rallèle à la direction dans laquelle l’éther

se meut par rapport à la matière pondérable, la résultante P S aura la direction du rayon lumineux et représentera précisément la vitesse que, plus haut, nous avons nommée B.

Ou bien : si cette dernière vitesse P S= B est composée avec une vitesse PE —=%0 opposée à la direction dans laquelle se déplace l’éther, la résultante indiquera la direction de la normale de l’onde. 176"-CES propositions découlent quelques conséquences.

a. Si 0 désigne de nouveau l’angle que P S forme avec P E, l'angle € compris entre le rayon lumineux et la normale à l’onde est déterminé par |

__*esin 0

sin € pes , A

ou, si l’on se borne à la première puissance de à , par

£ __#@ sin Ô er

b. Pour obtenir ce qu’on peut appeler la vitesse des ondes il faudra diviser par dt la distance, mesurée dans la direc-

tion de la normale, des positions qu’une onde occupe aux -

instants 4 et { + dt. En comparant cette distance avec la longueur d’un élément du rayon lumineux on trouvera pour la vitesse cherchée la valeur B coss. Si l’on néglige les

quantités du second ordre par rapport à “, il est permis de,