Soit u—u une intégrale de her eu différentielle
d'u... L'du, du, CRM Pa
du mouvement troublé conservativement; l’ensemble des trajectoires
sera alors appelé un faisceau de trajectoires. Les écarts des différentes trajectoires d’un même faisceau restent donc toujours proportionnels entre eux. Si l’on a quelque part u' — 0, toutes les trajectoires du faisceau coupent en ce point la trajectoire primitive. À un tel point on donne le nom de foyer cinétique du faisceau.
Désigne-t-on ensuite par “#—=u"” une autre intégrale de l’éq. 17), n’appartenant pas au même faisceau de trajectoires, il est facile d'établir une relation entre les deux intégrales. On a, en effet:
in EU nur ds dus fau , du” ds? 2
PR Mer un U AR dN
210 D. J. KORTEWEG. SUR LA STABILITÉ d’où l’on déduit
k représentant une constante arbitraire, différente pour chacune des trajectoires du faisceau w = Cu”. De cette relation découlent immédiatement les théorèmes suivants :
Théorème I 1). Lorsque les trajectoires d’un faisceau à = Cu’ possèdent des foyers cinétiques, il y a, entre chaque couple ‘de ces foyers, un foyer unique de chaque autre faisceau de trajectoires. Fig. 2. - Soient, en effet, P, et P; deux foyers consécutifs de la trajectoire u—u, et P,S,, P, 5, les écarts, en ces Pa de la Heu u—=U"; On a alors :
PS, = RC t PS, = ——, . (21) Hi, CON (v 7 1e
Or, TR), (SE ) étant nécessairement de signe dif- À ,
fèrent, il y a entre P, et P, un nombre impair de foyers de uw”. Mais il ne peut y en avoir qu’un seul, puisque autrement, entre deux d’entre eux, il devrait se trouver un foyer de w. Théorème II. Aux divers foyers d'un même faisceau de tra- Jectoires on trouve toujours les mêmes rapports entre les écarts des autres trajectoires. | On peut démontrer ce théorème en appliquant la formule 21) à deux trajectoires différentes uv” et w”,ou bien en faisant usage de la relation linéaire or.
Cu’ + Cu + Cu = 0: 258 (22) 1) Ce théorème peut aussi être démontré à l’aide du principe de la
moindre action. Voir Thomson et Tait, I, $ 358 et suiv.; le théorème n y est pas énoncé, mais néanmoins virtuellement impliqué.
qui doit nécessairement exister entre trois solutions de l’équation différentielle 17).
Théorème III. Deux trajectoires w' et uw”, arbitrairement cho1sies, se coupent une seule fois entre chaque couple de foyers cinétiques d’un faisceau u = Cu’.
Cela résulte directement de ce que, entre chacun de ces couples, la trajectoire u—uw"—"u" doit posséder un foyer.
Définition d’une trajectoire périodique.
Nombre des foyers des trajectoires conservativement troublées.
8. Dans ce qui suit, une trajectoire sera dite périodique lorsque chaque fois, après qu’un arc de longueur définie $ — la période — a été parcouru, reviennent les mêmes valeurs de v,, de e, et des premières et secondes dérivées de V par rapport à w et à s. Il n’est donc pas nécessaire que la trajectoire repasse continuellement par les mêmes points du plan ; il suffit que la forme de la trajectoire et les forces qui agissent
en son voisinage immédiat soient périodiques. C’est ainsi, par exemple, que toute trajectoire centrale qui possède un apocentre et un péricentre est une trajectoire périodique.
Nous avons à peine besoin de faire observer que lorsque la trajectoire non troublée présente une période S, il ne s’ensuit nullement que les trajectoires troublées doivent également offrir cette période, ni même qu’elles soient périodiques. Leurs foyers cinétiques par exemple, si elles en possèdent, seront, en général, chaque fois situés en d’autres points de la période S.
Aux trajectoires périodiques s'applique le théorème suivant.
Théorème IV. Lorsque la trajectoire non troublée est périodique, et qu'un faisceau de trajectoires présente plus d’un foyer, tous les faisceaux de trajectoires doivent posséder des foyers en nombre infini.
Désignons par P, et P, deux foyers consécutifs d’un faisceau, qui correspondront aux longueurs d’arc s, et s,. Les longueurs d'arc s, +S et s, +8, s, +28 et s, +25, etc.,
détermineront alors chaque fois un nouveau couple de foyers conjugués, par lesquels on pourra faire passer un faisceau de trajectoires. Mais, entre chacun de ces couples, chaque faisceau doit posséder un foyer cinétique; il faut donc qu'il y en ait un nombre infini.
Sous le rapport du nombre des foyers, il n’y a done, pour les trajectoires périodiques, que deux types possibles: celui où chaque trajectoire altérée par des perturbations conserva-
tives coupe tout au plus en un seul point la trajectoire pri-
mitive, et celui où il y a une infinité de ces points d’intersection. Mais nous verrons plus loin que ce caractère ne fournit pas la meilleure base pour la systématique des trajectoires, vu que le second type comprendrait, avec le même degré de généralité, des trajectoires stables et des trajectoires | instables.
L’équation aux différences finies.
9. Théorème V. Lorsque la trajectoire non troublée possède la période S et que uw, = y(s) est une des trajectoires qui en dérivent par perturbation conservative, les équations uw, = g (s de S), u; =p(s+2S) etc. représentent également des trajectoires à perturbation conservative de la même trajectoire primitive.
Eu égard, en effet, à la périodicité, qui doit prédominer aussi dans la forme de la trajectoire, il est manifeste que les courbes w, =y(s), u, = y (s + S), etc. sont congruentes l’une à l’autre; seulement, le point homologue est chaque fois en avance d’une période entière. Or, à cause de la périodicité des forces auxquelles est soumise la particule matérielle, ce sont aussi toujours les mêmes forces qui agissent en tous ces points homologues, et par conséquent, si l’une des courbes représente une trajectoire troublée possible, il doit en être de même pour les autres. |
Théorème VI. Entre les trois intégrales us = q (s + (n—1) S), U+i=p(s+NnS), u+2=p(s + (n+1)S) de l'équation 17) existe, pour les trajectoires périodiques, la relation
Un ES — % Un ET Ur = 0, 060 114725)
où x possède, pour chaque trajectoire non troublée, une valeur déterminée et par conséquent indépendante du choix de la trajectoire u, = (s).
Démonstration. Il est évident qu'entre les trois intégrales Un, Un +1 et Ur +2 de l'équation linéaire 17) il doit exister une relation
Bu ES URL ET 4 bn LU ns 0 00, (24)
Or, nous allons faire voir, en premier lieu, que les constantes * et x, qui entrent dans cette relation ont les mêmes valeurs pour toute autre combinaison w'w= y (s + (m — 1) S), w'w+1 =v(s+mMmS), Wn+2 = w(s + (m + 1)S); et en second lieu, que x, doit toujours être égale à l’unité négative.
Pour ce qui regarde le premier de ces points, nous avons donc à montrer que, si la relation 24) existe, on a aussi:
VD = 4 Dm +1 + Um + où 3 . . (25)
Or, en général, w’x est une fonction linéaire des deux s0lutions %»7 et x +1. Soit donc:
Vm = CiUn + CoUn +1. ST demie vallienhe (26)
Mais w'm et Wm+l, Un et Un +1, Ur+1 et Ur +2 représentant des trajectoires congrues, qu’un déplacement d’une période entière fait coïncider l’une avec l’autre, on a donc également:
Un Cul BU ME GUe HE ris se (27)
Who = Gin 9 Co Une. he. ee 11(28) et, à cause de (24), Un +3 = 4 Un +2 + Hi Un +1 à + 0 + +. + (29) Des équations (26) et (27) il suit alors:
AU +1 +4 Wine (un +144 Un) +0 (Ur +144 Un +1) = == CyUn +2 + Co Un +3 ps >} V'm+2 4 + + … " (30)
de. d.
Pour calculer, en second lieu, la valeur de x, . nous faisons usage de l’équation (20). En vertu de cette équation on a:
NT, nm . @):
Mais, comme un déplacement d’une période entière est de nouveau suffisant pour changer "» +1 en U» +9, Un +2 en Un +3, on à aussi:
d'un+1 d'un +2 À re (82) 2
Un +2 1 in ds TH 88 Vo et par suite :
d Un d Un +1 d'Un+1 d'un | th +2 Mid UE = Un +92 — . (33 "41 n TE m+2 —7 Un +1 TE (33)
Si l’on substitue dans cette équation la valeur de 1% +2 donnée par la relation (24), il vient:
d'un , ASE à Ce ge d'un : (84)
tie di 274 ds FL
on a donc nécessairement x, = — 1; ce qui achève la démonstration de notre théorème.
10. Il se présente toutefois un cas particulier où cette démonstration cesse d’être applicable, savoir, lorsque pour chaque trajectoire altérée par perturbation conservative existe déjà entre “+1 et %, une relation linéaire
Un 1 2 de) Lien ET MERE (35)
L’équation générale de toutes ces trajectoires ne peut alors plus s’écrire sous la forme (26). Prenons deux autres de ces trajectoires, U'» et Un, appartenant à des faisceaux secs et soient :
Hs ETEeE Bi AS HIER . (86)
En vertu de l’équation (20) on à alors:
d'un dun k | LP FT ue 4 — pe ST SRE
RS
et de plus, à cause de la congruence des trajectoires wx +1 et, Un, UnH1 et Ur:
À Un +1 d'le el / À , ÉUn dW'n
M D ss da)
d'où il résulte, par substitution de (36) :
AN RENE | PS OMAN APN VIS QE (39) Exactement de la même manière, on trouve:
PT D ER SL plis (40) et en combinant w, avec uw, :
Abo bit Jocriirok s 14 410 6 (dE) Mais il ne peut être satisfait à ces rois équations que par: Le D = 4-49, 29. GEL OIL (42) ou par: | Ne =" hu, he AR ir (43)
Dans le premier cas, on a donc pour chaque trajectoire à perturbation conservative :
MAT R LD EEBUS DROIT, (DR) NOL . (44) dans le second :
Ur Ua SR Un B ie cle lee eva ir (45)
Même ces cas très spéciaux, sur lesquels nous reviendrons plus loin, satisfont à l'équation (23), où x doit alors recevoir, respectivement, la valeur + 2 ou — 2. Cette équation est donc d’une application tout à fait générale.
11. Aïnsi qu’on le verra bientôt, la stabilité ou l’instabilité du mouvement est déterminée par la valeur du coefficient x. En conséquence, nous appelons x le coefficient de stabilité de la trajectoire périodique considérée. La définition de celui-ci
est donc la suivante: | Le coefficient de stabilité d’une trajectoire périodique est le rap- | Ün+2 + Un ri Un +1 tants d'une période entière, d’une trajectoire altérée par perturbation conservative,
port constant x entre les écarts, successivement dis-
La détermination de ce coefficient présente, en général, de grandes difficultés; approximativement, toutefois, elle est toujours possible. Partant de valeurs déterminées, arbitraire-
ment choisies, de w et de (Te): on n’a qu à intégrer l’équa-
tion (17) sur l'étendue de deux périodes S, ce qui peut se faire, pièce par pièce, au moyen du développement en série. Quand on connaît d'avance l’une des trajectoires à perturbations conservatives, la détermination de x devient très simple. Les trajectoires centrales en fournissent un bel exemple. Si l’on prend le centre des forces pour centre de rotation et qu'on fasse tourner une pareille trajectoire d’un petit angle, il se forme une trajectoire nouvelle, pouvant être considérée comme l’une de celles qui dérivent par perturbation conservative de la trajectoire originelle. Mais il est évident qu’on doit avoir, en ce Cas, Un == Un+1 = Ur+2, par conséquent, | x 12. |
Finalement, nous remarquerons encore que, la forme de l'équation (23) étant symétrique relativement à uw» et U»+2, le coefficient de stabilité ne change pas lorsque la trajectoire primitive est parcourue en sens inverse.
L'intégration de l’équation aux différences.
12. Suivant que les racines de l’équation q12 4 OT LOGIQUE OS
sont réelles, égales ou imaginaires, l’intégrale de l’équation aux différences (23) présente , comme on sait, une forme différente.
Lorsque, en premier lieu, x est = 2, on peut écrire: $
dis ph RL. |: .. (47)
LS PIS . +, K où p4 et wç désignent des fonctions de s qui possèdent la période S. En ce qui concerne l’équation aux différences, ces fonctions pourraient être arbitraires; mais, u devant satisfaire
ici à l'équation (17), on trouve aisément, par substitution, qu’on doit avoir identiquement:
LEA (+. ue o ds) ds 2 2 3 $ 1Q)? 1) Ldi 1 foV
gr Vo : LT du?
21Q) 1 d,\dy + +(—< To, ds ds * 1)? 1Q) 1 s& 1 fd? a) jx5 4 ST TT So, ds lo ou), ns = fi ce qui évidemment n’est Te que si
de (AG) . 1 duo \dy ds? TS à “ds Jas
ue) 1). 1 &, D ÉDLES + re + +R tar (Ga a ta) =, 9
de, (3 21Q) L dv,\dy | À
ds? x ds }.ds
. ne. Ur Eh TE + oV NAME S? CR ds Chi : (ax), +2) A
mais alors \ Ss ) u=K, pis +R, ph 5 Ml Ju : (51)
est l’équation générale des trajectoires altérées par perturbations conservatives, car elle renferme deux constantes arbitraires, et satisfait à la condition (17). tte Lorsque, en second lieu, x — 2, l’équation (51) ne peut Fe servir, parce que À devient négatif. On peut alors donner
à l'équation générale des trajectoires altérées par perturbations conservatives la forme suivante:
$ $ en (LL AZ K ireste (A) SE 0 ./20(59) OÙ 09s et res représentent des fonctions possédant la période 28 et ayant, en outre, la propriété que ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXI. 14
5S(S + 8) = — 625(S) tas (S + s) = — Tags). . :(53)
On peut laisser s’engendrer de pareilles fonctions au moyen
dé fonctions arbitraires yes, en posant XF
625 (8) = yes (s) — ys(S + 5). ! . ../. . (64
D'autre EE on peut démontrer qu’elles se laissent ramener en général à la forme |
En effet, toute fonetion continue 6°, doit nécessairement posséder des valeurs zéro. Or, si 625 («) =0, l'expression
62 (9 Æ 08 is A un, DS ) est . (55)
ie pas (S \HSN p= jo foub LL 60 : TT (S—& } C1: WRSLANR :
S est en général une fonction restant finie, qui présente la période S, puisque, après l’accomplissement de cette période, le numérateur et le dénominateur ont tous/les deux changé de signe. D'une manière plus générale encore, on peut poser
es(s) ps [ain 4e CHI 610 (57)
où p représente un nombre impair, entier ou fractionnaire.
On peut démontrer que toute intégrale de l’équation aux différences (46), pour 4 æ— 2, doit nécessairement avoir la forme (52). Les deux fonctions 62 et ras sont déterminées par des équations différentielles, qui s’obtiennent, comme (49)
t (50), par substitution dans l'équation (17).
Le cas # — 2 pourrait d’ailleurs être ramené au cas « > +2. Pour cela, on devra considérer, non pas $, mais 28 comme la période proprement dite. Les valeurs 4, 142 et'ur4480nt alors des écarts correspondants de périodes successives. Mais, quand Un —# Un +1 + Un +2 = 0 on a:
Un — (4?—2)un+2 + Un+4Z 0,.. . :,. . (68) Où x? — 2 est positif et > 2, lorsque 4, — 2.
DES TRAJECTOIRES PLANES PÉRIODIQUES. 219 14. Soit, en troisième lieu, + 2 > x > — 2, et soient cos @ + sin 4 \/—T et cos 0 — sin 4 \/—1 les racines imaginaires
de l’équation (46), où cos 4 =; et où © peut toujours être pris
entre x et 27. L'intégrale générale de l'équation aux différences finies est alors:
= g5.008(T + 4 ) + vs sin + +4). . (69
À raison de l'équation (17), les fonctions y, et w, doivent satisfaire aux équations différentielles simultanées :
d'p, 20 dy, 1du dy ©. du Pts rt. Ru
1 fo2V 8 +(<£: 9 ai ni ei) +2)e=0, (60) d'y 20 dy +7 1 du 4 O0 du
nn Dim es.
(2 1 1 « ae) lv 0ids Il faut, en effet, qu’on ait identiquement y Cos e +4)+osn(f +4) —0: .. (62
or, à cause de la dissimilitude des deux périodes S et et S ,
(4 cela n’est possible que si les deux conditions (60) et (61) sont remplies, car autrement on aurait
te (£ +4)=— Ro d29 Jeu, (63)
ce qui. est contradictoire.
L’équation générale des trajectoires altérées par des perturbations conservatives peut donc s’écrire sous la forme
u= K.y, cos (5 F a)+ K.y, Sn ($ de 4), (64) 14*
où À et K sont les deux constantes, qui dépendent des conditions initiales.
15. Si, en og à lieu, x = 2, l'équation {46) a ses deux racines égales à + 1, et l'intégrale de l'équation aux différences (23) possède alors, comme on sait, la forme
où, en vertu de l’é équation (17):
dy, 1m dy, (1(OV 180 as D de" +(> (os) s)v= Qia AOA
d'y y 40, Lu de à Lt
ds?. ds v, ds ds V ds
+2 (0).+ Sen. 67
L’é équation générale des trajectoires qui dérivent par perturbations conservatives d’une trajectoire originelle donnée, s'écrit alors:
= K, (ps + 58 9) + KE, DECO (68)
Comme cas exceptionnel, toutefois, il peut arriver que cette équation générale ne prenne pas la forme ci-dessus , mais soit représentée par l'expression
UE KipsiiriKabei tal NE (69)
Il et clair, en effet, que de pareilles trajectoires satisfont encore à lé ee aux différences (23), où x — 2, et elles RRR aussi à l’équation différentielle (17) lorsque, ce qui évidemment est Ne par exception, la solution PER de cette équation présente la période &.
Plus loin, nous reviendrons sur ce cas exceptionnel, qui est des plus importants.
16. Lorsque, finalement, x —= —2, et que l’équation (46) a par conséquent ses deux racines égales à —1, il est facile de voir,
après ce qui précède, que l’équation générale des trajectoires
altérées par des perturbations conservatives prend en général
la forme : | | Ross 5) + Karosusine none (70) et à titre d’exception la forme:
Ki Frs. MINT. NU, FT (71)
où 6 et 7 sont de nouveau assujettis à la condition (53).
17. En considérant de plus près les équations (51) et (52); (64); (68) et (70); (69) et (71), on voit immédiatement que les trajectoires altérées par perturbation conservative, représentées par ces équations, possèdent chaque fois un caractère différent. Lorsqu'on a
n/2-1D OU 2e 209 07 JET NETLON QE (72)
et que ce sont par conséquent les équations (51) et (52) qui s'appliquent, les écarts, tant pour s croissant que pour s décroissant, deviennent finalement de plus en plus grands; ou du moins, si 4 et Ys OU Gog €b Tos possèdent des valeurs zéro, les amplitudes des oscillations augmentent de plus en plus.
De ces trajectoires nous dans un premier type fondamental, celui des trajectoires géométriquement instables (A).
A-t-on, au contraire,
| 2>u>—2,,....:. CREER (73) alors les écarts (voir l’équation 64) oscillent toujours entre certaines limites. Pour cela, toutefois, les trajectoires à per-
turbations conservatives ne sont pas réellement périodiques, Elles contiennent deux ne différentes, savoir, Set
Les trajectoires qui présentent: ce caractère composent notre second type fondamental, celui des trajectoires stables (B). Nous démontrerons que les trajectoires correspondantes à des perturbations non conservatives possèdent également le caractère de stabilité.
C’est encore d’une autre manière que les trajectoires par perturbations conservatives se comportent lorsque
Ra OUoS = Ziçaooe Li Ha 4£c(74)
Dans le cas le plus général s'appliquent alors les équations (68) et (70). Les écarts deviennent de plus en plus grands, et le mouvement doit donc être regardé comme instable. Néanmoins, entre l'instabilité de ces trajectoires et celle des trajectoires du type général (4), il est facile de reconnaître une différence notable. Si, dans le type (4), on considère les valeurs des écarts successivement distants d’une période entière, on trouve que ceux-ci forment une série qui, pour des valeurs un peu grandes de s, soit positives soit négatives, se confond sensiblement avec une progression géométrique. Pour les trajectoires, au contraire, dont les formes altérées par perturbation conservative correspondent aux équations (68) et (70), la progression est arithmétique, dès le début.
En conséquence, nous réunissons les trajectoires de ce genre en un nouveau type, le type transitif apéhohé légers instable (0).
Toutefois, lorsque
M2 Où: Em 2, 25 UTP ER (74) un Cas plus particulier peut se présenter, c’est à dire celui où l'équation générale des trajectoires par perturbations conservatives prend la forme (69) ou (71). Les écarts sont alors périodiques et la trajectoire est stable pour des perturbations conservatives. Nous pouvons rapporter les trajectoires de cette Cp à deux types différents (D) et (E).
Au type transitif demi-stable (D) appartiennent les trajectoires qui sont stables pour des perturbations conservatives, instables pour des perturbations non-conservatives ; au type transitif stable (£), les trajectoires qui sont stables pour les deux genres de perturbations, mais qui pourtant ne rentrent pas dans le type principal (B), parce que x = 2 ou —2.
Le type des trajectoires géométriquement instables (4).
18. L’équation générale des trajectoires altérées par perturbations conservatives s'écrit, pour ce type, sous la forme (51) u (52). Mais la seconde de ces formes peut être ramenée à
la première, si l’on regarde 2S comme la période proprement dite. Nous nous bornerons donc, dans ce qui suit, à la forme (51), et commençons par considérer les remarquables faisceaux de trajectoires qui sont représentés par les équations
Re MATE ER MERRERR Li et
$ des Run Ein vuniisol ltt(76)
À l’un des deux côtés (le côté positif les s pour l’un des faisceaux, le côté négatif pour l’autre), toutes les trajectoires de ces faisceaux se rapprochent de plus en plus de la trajectoire primitive, sans jamais se confondre avec elle. Pour des valeurs infinies de s, on peut toutefois admettre que ces trajectoires coïncident avec la trajectoire non troublée, sans qu’ils cessent un seul instant de satisfaire aux équations du mouvement.
De l'autre côté, elles s’éloignent de plus en plus de la trajectoire inaltérée, où du moins oscillent autour d’elle avec une amplitude indéfiniment croissante, jusqu’à ce que leur éloignement soit tel que les puissances supérieures de l'écart ne puissent plus être négligées.
De pareilles trajectoires seront dites parasites. Nous pouvons maintenant énoncer le théorème suivant :
Théorème VII. Toute trajectoire géométriquement instable possède deux faisteaux dé trajectoires parasites, l'un pour le temps positif, l’autre pour le temps négatif. Les écarts de ces trajectoires, en. des points successivement distants d'une période entière, forment une progression géométrique, dont la raison est. la même pour toutes les trajectoires des deux faisceaux. Toutes les autres trajectoires altérées par perturbation conservative s’éloignent finalement de plus en plus, aux deux côtés, de la trajectoire inaltérée, ou bien oscillent autour d'elle avec une amplitude croissante.
La dernière partie de ce théorème résulte immédiatement de ce que l'écart de toute autre trajectoire altérée par perturbation conservative peut être mis en relation linéaire avec les écarts de deux trajectoires parasites.
:19. Le type (4) peut encore être partagé en deux soustypes, (A)r et (A)rr, suivant que les faisceaux parasites possèdent, ou non, des foyers cinétiques. Aux trajectoires du sous-type (A)z s'applique alors, en outre, le théorème suivant:
Théorème VIII Les foyers des deux faisceaux de trajectoires parasites sont, entre les limites d’une période unique, en même nombre pour les deux faisceaux. Dans les périodes successives, ils se répétent toujours aux point homologues. Les foyers de tout autre faisceau, ‘au ‘contraire, se trouvent, dans les périodes successives, chaque fois en des points différents; toutefois, dans l’une des di- | rections ils se rapprochent asymtotiquement des foyers de l’un des faisceaux parasites, dans l’autre direction, des foyers du second de ces faisceaux. | |
A ce sous-type (A) appartiennent, par exemple, toutes 188 trajectoires pour lesquelles # —2. LT
Comme c’est principalement sur l’existence de ce nd (A)r que je m’appuie pour rejeter la définition de la stabilité donnée par MM. Thomson et Tait (voir l’Introduction), il convient de citer ici un exemple; on pourra d’ailleurs en obtenir autant qu’on le voudra, au moyen des formules (75), (76), (20) et (17), en choisissant arbitrairement y, et w:
Soient donc:
i | | = ui + + + (Ga .+wv(s, + (7) .… 2pTs o2V 1 8u8 r2v2 | rend ré ou? ere o 2 S? P Ron, topo (7 ) p+bsin2® S La) “ ; mar ns ea A TOR (79) p+bsin pe
où les fonctions y (u,s) et o,, ainsi que les quantités a ‘et b et le nombre entier p, peuvent encore être prises quelconques : seulement, il est préférable de faire b <p, parce que, dans le cas contraire, apparaissent des vitesses infiniment grandes.
Une pareille trajectoire possède alors les faisceaux de tra-
jectoires parasites :
bns Ha
k, sin Fe. S.9 LES à .cosË . ni dau (80)
Le type des trajectoires stables (B).
20. En considérant l’équation générale (64) des trajectoires dérivées par perturbation conservative d’une trajectoire appartenant au type (B), on reconnaît de suite que pour chacune de ces trajectoires peut être assignée une valeur maximum M de l'écart, laquelle n’est jamais dépassée et en général n’est pas atteinte, savoir le produit de Æ par la somme des valeurs maxima de y, et de w.. 51 la perturbation est prise suffisamment faible, À et par conséquent aussi cet écart maximum deviennent aussi petits qu’on le veut. La trajectoire primitive est donc stable pour des REGReon conservatives.
Toutes les trajectoires altérées par des perturbations conservatives doivent d’ailleurs posséder des foyers cinétiques. Nous pouvons démontrer, en effet, que l’écart w ne conserve pas toujours le même signe. Par l'addition des équations (23) successives, on trouve aisément :
Un+p+1 — Un—g + U— U + U+ Un—g—1 — Un+p = 0, (81)
ou
OR VV M EE Una t eh 0 LUC) Il en résulte EE Un+kp— ne + Un qg + Un—g—1 al 4M DL: (83) À x #
et comme p + q peut croître indéfiniment, w doit nécessairement, ou bien changer de signe, ou bien pour s croissant et décroissant, décroître indéfiniment jusqu'à zéro. Mais, dans ce dernier cas, on aurait
lim [Aus cos ( + 4 ) + K. y, sin (5 + À JE, par conséquent ne ; s0 Ps lim tg ( +4) = im — Fe
S (UPS ce qui évidemment est impossible, ces deux fonctions ayant des périodes inégales.
21. On peut montrer, en outre, que la stabilité rt de plus en plus imparfaite, à mesure que x se rapproche de + 2 ou de — 2, à mesure, par conséquent, que M de Ô se rap-
proche de ses limites x ou 2x.
Soit, en effet,
u, = K.p$ COS ( + B )+ K.w,sm ( + 4) (84) on à alors dans la même trajectoire, en posant s, = 58 45, : u,=K.p, cos CF + A+ 0 )+ K. vsin(e +4+4) (85) et | | ne:
| s 0 Un = K°. p$ cos ce + À + (n — 1) o)+
+ K. wait tie Mo e à). (86)
Eliminant gs et ws, on obtient la relation linéaire
Un =
u, Sin(n — 1) Ha u, Sin (n — 9) qe an sin 4
qui existe entre les écartu,, u, et w, de la même trajectoire.
Or, quand même, à cause de la faïblesse de la perturbation, les valeurs w, et w, de l’écart pendant les deux premières périodes restent petites, il n’en arrivera pas moins, lorsque sin 4 est petit, que uw deviendra, pour des valeurs élévées de », beaucoup plus grand ; la valeur maximum de l'écart correspondant à une pertwrbation initiale donnée, doit donc croître, en général, lorsque @ se rapproche de ses valeurs limites met27.
DES TRAJECTOIRES PLANES PÉRIODIQUES. et
Les trajectoires altérées par perturbation non conservative du type stable (B).
29. L'équation différentielle de ces trajectoires est, d’après (14):
d'u , 1 d, du | 12e :w0k4 ds° ‘à v, ds ds ds +[Z (+ 05 =] rt TELE (68)
Or, en vertu de (64), deux intégrales de l'équation sans second
