TT

membre sont connues, (4 = 0 et À = — ) savoir

u = qh. 0 + ps sin À EE PER © et = — pe. sin + Vs COS pa. 27-00)

et par suite on obtient facilement l’intégrale complète, c’està-dire l'équation générale des trajectoires altérées par perturbation non conservative, sous la forme:

u= Kw SE RE SES frs" ds CELTE u'ds, (91)

où % désigne une constante, qui peut être calculée au moyen de la relation

M me TM Om Er 20 oo n LE)

Nous allons maintenant faire voir que, même pour sinfini, s ) ; - 0 2 £ [44 ! ñ :

les intégrales for sw” ds et mise ds conservent toujours une

valeur finie. Il suffira, évidemment, de montrer que toute intégrale

Jos. cos (+ «) ds ei0 2m ll x (92) à |

où w, reste finie et possède la période S, conserve une valeur VE ag : NRRTE : « : x finie lorsque s croît jusqu’à l'infini. On pourrait appliquer, à

cet effet, la série de Fourier, mais nous donnerons la préférence à la voie suivante,

Soit : | S=nS + 06 he L RE, (93) on à alors: | fe os( + )afe, (Pr) | + fo .COS (6 +a) ds LU... fescos( g+«) ds + fe 5 fes se ) nS +0 s0 S s0 + œ, .COS F +e)d= fo, Les(s —, + + cos (6 +6+a)+ 0.008 (5 }+ces(s É (94) TS rat a+ {(n—1)0 + a Co .COS (n9+)as= | — fo, [sin (+ LA n-3)0+e) —sin (< — 0+a ) [est 9 Sin = FR

+f.. cos rs +n0+ a)ds, Ô

expression qui évidemment reste finie.

Il en résulte immédiatement cet important théorème : Théorème IX. Une trajectoire qui appartient au type fonda: mental stable est stable aussi pour des perturbations non conservatives.

Influence des forces perturbatrices périodiques sur la stabilité des trajectoires du type (B).

23. Nous admettons maintenant que, outre la perturbation primitive, il y a encore l’action continue de forces perturbatrices possédant une période S’. L’équation générale (14) est alors applicable, et l'équation des trajectoires peut de nouveau être mise sous la forme (91), avec cette différence seulement, que ys doit être remplacée par y, ce signe représentant l'expression :

y= À + a JE. ds + | PAPE

7 à @e 00 MTS

On reconnaît immédiatement que la trajectoire ne peut être stable que si

pi RER RTE: VON (96)

car, s’il n’en est pas ainsi, le travail effectué sur le point matériel, et par conséquent aussi la force vive de celui-ci, devront, à la longue, croître à l'infini.

Mais lorsque la condition (96) est remplie, on a:

F nS!+0/ 9’ ÉD def de, 4 UT (97) 0 Ü) 0

$ où 5 reste compris entre zéro et S’. L'expression JE. as

est donc alors elle-même une fonction périodique, que nous pouvons, tout comme &,, développer par la série de Fourier. Si l’on substitue ensuite la fonction y dans l’équation (91), il n’en résulte que des termes des deux espèces suivantes:

Garou w”) [ss .COS ($ + « ) du NS ; d (98) et | ; A [° 2prs s0 C (u' ou frs. cos su +6). COS (S+ «)æ, (99)

où p est un nombre entier.

Les termes de la première espèce, ainsi que nous l’avons déjà fait voir, restent compris entre des limites déterminées. Ceux de la seconde espèce se laissent scinder chacun en deux termes : |

nS+ 0 À C'{u’ ou uw”) Js COS (CES + S):+ f+«) ds, (100)

et, ces derniers étant développés comme l'indique la formule (94), on voit qu'ils restent toujours finis, à la seule condition qu’on n’ait pas:

PR ER EE EN UE mx

c’est-à-dire :

A A | HS Bpl=ge-..-..... (102

où p et q désignent des nombres entiers, positifs ou négatifs. L'expression |

sera dite la période de perturbation de la trajectoire primitive.

Théorème X. Une trajectoire appartenant au type fondamental

stable est stable aussi pour des forces perturbatrices périodiques dont le travail total pendant toute une période S' le long de la trajectoire primitive est zéro, excepté lorsque, entre la période S' des forces perturbatrices, la période S de la trajectoire primitive et sa période de perturbation Sç, il existe une relation

où p et q représentent des nombres entiers, positifs ou négatifs.

Influence des termes du second ordre et d’ordre supérieur de l’équation différentielle du mouvement troublé.

24. Un examen attentif des équations utilisées au $ 5 montre que, si l’on ne veut plus négliger dans l’équation (17) les termes d’ordre supérieur, cette équation se présente sous la forme

du 41 5 a s #, ds? Faut Vo +(à Ge Je Ha

= ©, sn: ce . «+ (05)

et il s’agit alors de savoir si l'apparition de ces termes peut

troubler la stabilité. FO "HI Comme l'équation (64) donne toujours une solution au moins

approchée, on peut substituer cette solution dans les termes

d'ordre supérieur. Préalablement, toutefois, nous en modifions lécèrement la forme, en écrivant:

( u—= KE, cos ( n À dt à 4), LARMES AR (106)

où 7, (du moins si l’on ne veut pas laisser varier cette grandeur, par sauts brusques) n’est pas à proprement parler une vraie fonction périodique, mais peut différer d’une telle fonc-

tion de la quantité +2px (p étant un nombre variable,

mais entier).

- Après une/ transformation facile, nous obtenons:

La K°.65. 13 + KS.E,. Gé. cos (5 ER 4)+ \

RE HT A ÉRT te PE +pntpA )- +,

+ K?, 89. C3 cos | MN nd ur 107)

où l’exposant de K et de Es indique toujours l’ordre de grandeur du terme.

Examinons maintenant, en premier lieu, l'influence d’un terme

Ko. EP-—9 , Ep. cos (ee + +4) = UNE

Comme £, cos ( + 75 + 4) et sin (+ +4) repré-

sentent des intégrales de l'équation sans second membre, nous pouvons les substituer dans la formule (91), si nous y écrivons : gpau lieu de y;: On trouve alors sans peine que la valeur des nou-

veaux termes restera finie, sauf lorsque Le (p+1)0—0, c’est-

à-dire lorsque. .

“y (p +1)8 = 2q7x ou Ps {12 20CT 00 ce qui ne peut arriver que si p—1, ou si les périodes S et Sg sont commensurables entre elles.

PP POP PER TR ECO PS OT UE St à

qui ne diffère de l'équation réduite (105) que D un petit

Mais :l est facile de voir que la stabilité ne sera pas tomes non plus par le terme | cts |

1, LEE, £a cos (TE + 7 +4) 24 \ de

En mettant ce terme sous la forme nb) 2e) %: INTEL CRE S D. 0710 U . (111) et le substituant alors dans l’équation (105), nous obtenons, en effet, une équation différentielle M d'u 1 do, du 02 Pn 3 S is de RE Dh Su? EE 3) w=—=0, (f12)

changement dans, le ‘dernier terme.,Nous pouvons regarder cette équation comme l'équation générale des trajectoires à perturbations conservatives dans ‘une région dynamique très peu modifiée. Il est vrai qu’alors le coefficient de’stabilité « éprouvera quelque changement, maïs il ne franchir pas les limites +2 et —2, et par conséquent la stabilité sera maintenue. Dans le cas seulement où + diffère très peu de + 2 ou de — 2, des perturbations assez faibles pourront, à raïson de l'influence des termes d’ordre supérieur, exercer une action destructive sur la stabilité du mouvement. Dans tout autre cas, leur influence se réduit à modifier légèrement @ et, par suite, Sp. | 7

Il est à remarquer qu’une force perturbatrice de période. invariable Sy influe tout autrement que le terme 111). On s'en convaincra aisément en ayant égard à la différence connue du caractère des intégrales des deux équations différentielles :

AR + fu = A. cos ks . : . .Sfmen0l (113) et < (RSA je DORA .. (114)

où kÆet A constant, A petit.

25. Finalement, il reste à examiner le cas où S et Sy sont commensurables entre eux, c’est à dire lorsque q Sy = pS ou

= p0 = gr. Dans ce cas, on a:

Un 9p— un +un=KËs [ cos (5 -+u+20 +4) — |

Si l’on regarde, ce qui naturellement est toujours permis, p S comme la période proprement dite, x = 2 sera donc le coefficient de stabilité. Maïs, comme nous savons déjà que la trajectoire est stable pour des perturbations conservatives et non conservatives ($ 22), elle n'appartient pas au type général (C), mais au type (£), dont il sera traité plus en détail eidessous. Les trajectoires de ce type doivent, il est vrai, être réputées stables lorsqu'on ne tient compte que des termes du premier ordre, mais elles peuvent devenir instables quand on fait aussi intervenir les termes d’ordre supérieur.

Théorème XI. Les termes d'ordre supérieur ne détruisent pas la stabilité, sauf lorsque la période S de la trajectoire primitive et

sa période de perturbation Sa sont commensurables entre elles. Dans

ce cas, les termes en question peuvent provoquer l'instabilité.

Le type des trajectoires arithmétiquement instables (C).

26. L’équation générale (68) ou (70) des trajectoires altérées par perturbation conservative montre immédiatement que celles-ci, en général, s’éloignent sans limites, des deux côtés, de

la trajectoire primitive. Un seul faisceau de trajectoires, savoir ; DUR, D'ou uv Kits - ONE fait exception à cette règle. Pour des perturbations aptes à produire une trajectoire de ce faisceau, la trajectoire non altérée est stable; pour toute autre perturbation conservative, elle est instable. Ce faisceau unique, ‘qui se distingue de tous les autres par la manière dont il se comporte, apparaît ici en remplacement des deux faisceaux parasites du ne des trajectoires instables.

Une autre- particularité des trajectoires altérées par perturbation conservative se manifeste lorsque le faisceau exceptionnel possède des foyers cinétiques. Tandis que partout ailleurs toutes les autres trajectoires s’éloignent de plus en plus de la trajectoire primitive, elles s’en rapprochent toujours de nouveau au voisinage de ces foyers; ou, à parler plus exactement, le temps après lequel il se produit en ces points un écart d'amplitude déterminée est d’un ordre de grandeur plus élevé. |

Théorème XII. Les trajectoires du type (©) sont stables pour des perturbations conservatives d'une espèce déterminée unique, arithmétiquement instables pour toutes les autres. Lorsque le faisceau correspondant aux perturbations stables possède des foyers cinétiques, toutes les tragectoires altérées par perturbation conservative présentent

encore à proximité de ces foyers des écarts de faible amplitude,

alors que, en d'autres points, les écarts ont déjà acquis, eu égard à

à la perturbation primitive, des valeurs considérables. Au type (C) appartiennent, en général, les trajectoires centrales. Celles-ci seront l’objet, plus loin, d’une étude spéciale.

Le type (D) stable pour des perturbations conservatives, instable pour des perturbations non conservatives