Nous avons déjà vu, au $ 15, que pour x = 2 ou = LE

‘ il peut arriver, à titre d’exception, que l’équation générale

des trajectoires altérées par perturbation conservative prenne,

non pas la forme (68) ou (70), mais la forme (69) ou (71). Pour fixer les conditions dans lesquelles ce cas exceptionnel se présente réellement, nous remarquerons que, en vertu de (116), l'équation différentielle (17), lorsque x est égal à 2 ou à — 2, doit toujours avoir pour intégrale au moins une fonction périodique vs ou vs. Mais alors, comme on sait,

UV 84 AND) 9% JT. 04, CEM)

est une seconde intégrale de cette équation. Si maintenant v ne possède pas de valeurs zéro, la valeur du second facteur de cette expression doit croître indéfiniment, et l’expression elle-même n’est donc pas périodique. Le cas exceptionnel ne peut se présenter que it v possède des valeurs zéro. Supposons que v(œ,), v(æ2)....v («,) soient les valeurs zéro qui se trouvent, en nombre toujours pair, dans la période, et soit: À

A PRE er La le si ou2 8.( + | (118)

L'expression (117) devient alors, en apparence, indéterminée, raison pour laquelle nous la transformerons.

Soit z une fonction de s, que nous assujettissons aux conditions suivantes :

SR = rl pa = Om. Zap =(—1)x, (119) PR ME ee Vue cs ua là (120)

et T toujours positif. Une représentation graphique montre immédiatement que ces conditions peuvent être satisfaites par une infinité de fonctions! 2.

Si maintenant nous posons;

ES QT à P1 à

La seconde solution (117) prend alors la forme:

— — y Sin dif ro d.v, Vo (122)

Mais, en vertu de (17), on a:

d'ysiuz , dv, dysinz

PO TT ge d SE

S | 1/02 + 6 +(Z( a los ysinz—0, (123)

ou d.v, 4? F) PACA Tr 124) FE = 4. Up z OS (124) où :

Fe de\ ? d'y ds dy 02 VPN __3v, Fever a) era sr Je Ca

Par substitution dans (122) on trouve donc:

COS Ze MS PSS PR sin F4 (126) Vo X (5) ot” Gÿ

et si l'on Coneidère que y, Cos 2 e 7 sont des fonctions pé-

riodiques, il devient évident que la seconde solution (117),

et par conséquent aussi la solution générale de l'équation (17),

ne peut et ne doit être périodique que si

S U | Pre) ds 0. s: 8! à LOC IE (127) ; 0 ox ds i

Lorsque cette condition est remplie, la trajectoire primitive appartient donc au type (D) ou au type encore plus spécial (E).

28. La différence entre ces deux types dépend du caractère différent de leurs trajectoires altérées par perturbation non conservative. L’équation de ces trajectoires est, vu que (69) ou (71) représente maintenant l'intégrale générale de l'équation réduite :

2ëps Fe Ys PAIUR MIS DUR At u= K,ps + K,ws + T È. s Œ JE ds (128)