OU
u= K\,625+ K,r2s + . f ee ds — Es se 28 Gs, (129)
ML Vo00
Or on a, par exemple:
ras us ds = ds e a - ds. (130) 080 D 0
Si maintenant fs ds ou
V600 me 0 0
différente de zéro, les écarts u acquièrent, à cause du facteur n, des valeurs de plus en plus grandes ; il y a instabilité et la trajectoire appartient au type (D).
Lorsque, au contraire, les conditions
S ; S VS gs — 0; US eu ce (FAT) 080 Vo0o
sont remplies, la trajectoire est stable, même pour des perturbations non conservative, et appartient au type (E). Par suite de la condition (53), on a identiquement:
25 2,5 f& RS s — 0; J# des OL 0 (T2) V000 :Pato0o
Les trajectoires dont le coefficient de stabilité est égal à — 2 n’appartiennent donc jamais au type (D), mais, quand la condition (127) est remplie, au type (E).
Le type (D) se rencontre entre autres, comme cas exceptionnel, parmi les trajectoires centrales.
Le type (E) des trajectoires stables à période de perturbation S) =S.
29. Ce type se développe donc, comme cas particulier ré précédent, lorsque les conditions (131) sont remplies. Par les caractères de ses trajectoires troublées, il se rapproche beaucoup du type stable proprement dit (B), mais il existe pourtant une différence importante. Cette différence ressort clairement lorsqu'on tient compte de l'influence des termes d’ordre supérieur. Au $ 24, nous avons démontré que, dans le type (B), ces termes ne détruisent pas, en général, la stabilité. Mais chez le type (ÆE), le terme y,, qu’au $ cité nous avons vu provoquer un léger changement du coefficient de stabilité, fera, si ce changement a lieu dans le sens convenable, franchir la limite à ce coefficient, parce que celui-ci se trouve alors précisément sur cette limite; le terme en question provoquera donc de l'instabilité. Par un changement inverse du coefficient, la stabilité sera au contraire renforcée. Le sens dans lequel les termes d’ordre supérieur exercent leur action dépendra donc de circonstances spéciales, sur lesquelles nous n’insistons pas ; il en sera de même pour l’action des forces perturbatrices périodiques si leur période, non absolument invariable, doit toujours rester en concordance avec celle de la trajectoire altérée.
Pour accentuer encore davantage cette différence, concevons
un système de particules matérielles décrivant, dans un même plan, des trajectoires du type (B), et exerçant l’une sur l’autre des actions perturbatrices; il n’y a alors aucune raison pour que ces forces perturbatrices possèdent l’une des périodes qui satisfont à l’équation (104). Cela pourrait arriver comme cas exceptionnel, mais en général il n’en sera pas ainsi. Les particules en question ne produiront donc que des perturbations périodiques, pas de perturbations séculaires,
Imaginons par contre, réunies dans un pareil plan, des trajectoires du type (£), par exemple des trajectoires planétaires, — car nous verrons que celles-ci appartiennent au type (£), — et admettons en outre que les différentes particules décrivent, autour du centre d’attraction comme centre de figure, des orbites à peu près circulaires. Dans le développement en série de l’action perturbatrice exercée sur l’une des particules par les autres, devront alors apparaître toujours des termes qui prennent la période même de la trajectoire de cette particule. Ces termes doivent leur existence à l’excentricité de l'orbite perturbatrice ou de l’orbite troublée; car si ces orbites étaient l’une et l’autre exactement circulaires, la période des forces perturbatrices ne dépendrait que de la différence des vitesses angulaires des deux rayons vecteurs !). Ils sont donc, comme première approximation, proportionnels à l’une de ces excentricités, et telle est la cause par suite de laquelle, dans notre système solaire, peuvent se produire des perturbations séculaires proportionnelles à la première ou à une plus haute puissance de l’excentricité, ef seulement celles-là. On sait, à la vérité, que la longitude du périhélie est soumise à une perturbation séculaire indépendante des excentricités, mais cela ne constitue qu’une exception apparente; car la rotation de l’orbite entière, résultat de cette perturbation, n’occasionnerait aucun écart uw'si l’orbite n’était pas excentrique, et maintenant qu’elle l’est, cette rotation détermine des écarts (normaux à l’orbite non altérée) qui sont proportionnels à l’excentricité de l'orbite.
1) Si, dans notre système planétaire, l’excentricité de la planète pertur--
batrice donne, elle aussi, naissance à des termes ayant la même période que l’orbite altérée, cela tient à ce que les trajectoires planétaîres rentrent en elles-mêmes. Dans les parties de l’orbite situées, par exemple, vis-à-vis du périhélie d’une planète perturbatrice extérieure, la planète intérieure sera, à la longue, troublée plus fortement que dans les autres parties de l'orbite. \
Sn A Le sh Ses Le .
RE Ge RER age * mr
Aïnsi, les perturbations séculaires qui se manifestent dans notre système solaire doivent leur origine à la circonstance que les orbites planétaires appartiennent au type (E), et non au type stable proprement dit (B). L’invariabilité des grands axes, au contraire, est une particularité liée à la loi particulière de l'attraction universelle, non une propriété générale du type.
Des trajectoires du type (Æ) naissent aussi sous l'influence de forces agissant suivant la loi fr. Cette loi possède en outre la propriété que les forces perturbatrices, qui apparaissent lorsque plusieurs particules matérielles sont en présence, ne peuvent jamais donner lieu à de l'instabilité ni à des perturbations séculaires, Des particules soumises à cette Loi décriraient, comme on sait, autour de leur centre de gravité commun, des orbites elliptiques ou circulaires, sans être dérangées en rien par leurs actions réciproques.
Les trajectoires centrales.
30. Pour ces trajectoires, une intégrale particulière de l’équation (17) est immédiatement connue. Si nous prenons, en effet, le centre des forces comme centre de rotation, et que nous fassions tourner d’un petit angle dæ la trajectoire entière, 1l en résulte une nouvelle trajectoire, qui peut être considérée comme l’une des trajectoires dérivant par perturbation conservative de la trajectoire originelle. Mais l'écart de cette nouvelle trajectoire est, comme le montre la simple inspection de la figure, égal à r cos u dæ, où r désigne le rayon vecteur et u l’angle que celui-ci fait avec la tangente. L’expression
u'= KrCosg.... ESS (133)
est donc une intégrale 1) de l’équation (17) Or, cette intégrale
1) Ce résultat se laisse obtenir aussi, bien entendu, par substitution mais les calculs deviennent un peu compliqués. On av? =2(C—V) et vor sin u = k, où k est le double de la vitesse aréolaire. On trouve
présentant la période $S, on a: u,=%,,, =%,42 eb par conséquent x — 2. Les trajectoires centrales appartiennent donc en général au type (©), et (133) représente le faisceau unique, dont les trajectoires ne s’éloignent pas indéfiniment de la trajectoire primitive. (Voir le théoréme XII).
Théorème XIII. Les trajectoires centrales appartiennent en général au type arithmétiquement instable (C). L’équation générale de leurs trajectoires dérivées par perturbations conservatives peut étre mise sous la forme:
u= K\(gs oeil PS MEN CTI
Puisque le faisceau des trajectoires stables possède des foyers cinétiques, savoir, là où cos u — 0, par conséquent au péricentre et à l’apocentre de la trajectoire centrale, l’écart en ces points doit être regardé comme stable, en tant, du moins, qu’on néglige les termes d’ordre supérieur de l'équation du mouvement. C’est là une conséquence dont la justesse peut être aisément vérifiée sans calcul. Une perturbation unique et quelconque, conservative ou non, déterminera dans la tra-
or d2r cos?u 52V dV cos2u aisément, pour s constant: ==sin u; — — , donc : —— =— + du ou? r ou? dr r
dr2 F
2 Fsin u)2 LA dv o\ 2 On a, en outre, 79 ne = er) = fs) sin? 4. De la Q ‘à
Rene, ue NS Hot vo do, LE U — — —— sin —Ù — SM — — —— cos? u.
dr2 dr : $ dr 1
à et 2 relation vor sinu = k ilsuit:u'? =7r?cos2 4 =7r2—-—; par conséquent !
, du k? dvoY dr ; dr du’ k2 dvo re], et, puisque — = COS y : — = 1 + —.— = 05 ds} ds die, : ds v5T dr Li sin? u dvo “ LA 4 L2 .1 =1+ Peu ee De là on déduit ensuite, au moyen de la première de ces d2u’ 4 do 3r 1[dvo\ 2 deux expressions : —— = — — —— sin? u cosu — — |[—— | cos u sin? u + ds? Us: dr 05 \ dr
1 0 d2vo vo Ce plus de difficultés, < :
| cos U. sin? uw; après quoi la substitution ne rencontre
jectoire: 1. une petite variation de la distance du péricentre et de l’apocentre; 2. une petite variation de l’angle compris entre les rayons vecteurs qui appartiennent à l’apocentre et au péricentre. Cette dernière variation a pour effet que, à chaque période suivante, l’angle des rayons qui, dans la trajectoire primitive et dans la nouvelle trajectoire, vont par exemple au péricentre, croît d’une certaine petite quantité. De cette manière, les deux trajectoires sont de plus en plus déviées l’une par rapport à l’autre. Mais l’écart qui en résulte. est évidemment, aux points où la tangente est perpendiculaire au rayon, d’un autre ordre que partout ailleurs.
31. Comme, pour les trajectoires centrales, une intégrale u'—=7rcosu de l’équation (17) est connue, l’équation générale des trajectoires altérées par perturbation conservative peut aussi s’écrire $
Eee .-4.(185)
2 2 dur? COS’ expression que nous allons transformer, vu que pour u = 90° elle prend une valeur indéterminée.
Par suite de la constance de la vitesse aréolaire, on a la relation connue:
gère SN nu TS NES. DEN OS (136) de sorte. que les distances du péricentre et de l’apocentre,
que nous désignerons par », et r,, doivent se rencontrer parmi les racines de l’équation
va? = ONU PONS (137) Mais alors :
v2r2 — Jr? A Des 0 QC FANS CRE 138 LOUE OT EE) 2
est une fonction de r qui, pour r=7+r, et r —=7#r,, reste en général finie, tandis que: |
= nr) Er) — EG) 1E() — E(r,)] (139)
DE vir?
cos? u = 1 —
Soit maintenant :
E(r) = E(r,) cos? 12 y + E(r,) sin? 12 w, . . . (140) par conséquent:
ar Er) Er)
SETr 9 SI Yi, Wu vosges su (141) cs DOI) EN nv | (49 2v00T ds — TRI ARE À OS PER (143) Mr OI 0
on a alors, les constantes arbitraires K, et K, prenant toute-
fois d’autres valeurs que ci-dessus :
| À u = K ,r cos w UT 4. cot y + Kyr cos u — REQIE E(r)
jp ie ;1 Er) cos ‘ LK, ES DE TU rcos u “f à ‘G .d +6 rCoSu AL
le OR ie Ge? .E 6) GOI.E (M Si maintenant l’on considère que y croît indéfiniment avec s, il est facile de voir que les trajectoires centrales appar-
tiennent toujours au type (C), sont donc toujours arithmétiquement instables, sauf lorsque :
| d.Ü(r) cos y fé dr, : EU : SR M ee (LRO)
32. Des forces agissant suivant des lois très diverses donneront exceptionnellement naissance à des trajectoires pour lesquelles la condition (146) sera remplie. Ces trajectoires appartiennent alors en général au type (D), c’est-à-dire qu’elles sont stables pour les perturbations conservatives, instables pour les autres. Elles ne se rapportent au type (E) que si elles satisfont en outre aux deux conditions (131); il est à remarquer, toutefois, que l’une de ces conditions, savoir
peut être supprimée, parce que, chez les trajectoires centrales, elle se trouve toujours remplie. Une pareille trajectoire, en effet, est partagée en deux moitiés symétriques par le rayon vecteur mené au péricentre ou à l’apocentre. En des points correspondants de ces deux moitiés, v,, 0,,# sont égaux, mais cos u change de signe, de sorte que l’intégrale (147), prise d’un péricentre au suivant, doit nécessairement être zéro. Quant à l’autre condition:
S | : DT [aa RP Hi DOI
em #—reoun [Eco vd (149)
= DEQ
elle ne sera remplie qu’accidentellement.
Il y a pourtant deux formes particulières de la loi qui régit la force centrale avec lesquelles les conditions (146) et (148) sont satisfaites pour une trajectoire quelconque. Ce sont les formes fr—2? et fr. Des caractères connus que présentent les tra- jectoires naissant sous l’action de ces lois, avec perturbations soit conservatives soit non conservatives, il ressort immédi-
atement que ces trajectoires appartiennent au type (E). Nous pourrons donc contrôler par elles nos deux conditions. Pour la première loi, on a:
var? — k? = £ ro —7)(r—7,), ..... (150) où CE gra + 7,); vase F1). … CÈDE)
Nous prenons donc:
il vient alors:
W=T; £ (r) OC fo F). TR)
et la condition (146) est remplie.
L'équation générale des trajectoires altérées par perturbation conservative est maintenant:
1! qu u = K, [+ (SN Tr. COS à [vas] + K, r cos u —
= Kr[ (À +] j COS Y + COS u . Sin v | + K,rcos u. (154) Au moyen de (140), on trouve:
COS y— — ES a traD à (155)
d’où il résulte que w est identique avec l’anomalie excentrique, Substituant ensuite :
| __ aesin y | PRES ne pee OA IAMANT 156 à V/r(2a — 7) te et considérant que V1—e?
on trouve:
u = Kr (af + e?) —r) sin u + K,rcosu =. Fe, = K,r (e + cos y).sin u + K,r cos u, (158)
expression qu'on peut d’ailleurs facilement obtenir aussi en faisant varier dans la formule connue
KE ve a(1—e?) - FT ec le 0) An et NN LU (159)
œ«, e et par suite r, puis posant: u = sin u 0 r. En ce qui concerne la condition (148), si l’on néglige partout le facteur constant, on trouve: NEA t
Er? s :
fre free Aero = fi (à PEER E w).sin ae ÉArCos si eHCOSY sin do nde =f< (2a—r)? ee fre ae fa ts
Pour la seconde loi, on a:
mn = Ef{rè 2) (0 — rt). - . (161) Nous prenons alors: | (TN) = re SOLS (162) ce qui donne:
1 NET ab 2 FAN TRRRE PE Op} PEL" PAR — .T. (163 à (r) D] À C r) fVf 5 (r) f Tr ( )
La condition (146) est donc remplie; l’équation des trajectoires altérées par perturbations conservatives devient
u= Krsinul[at + bt— {a?+b?)r?]+K,rcosu (164)
et la condition (148) se vérifie également sans peine.
DES TRAJECTOIRES PLANES PÉRIODIQUES. 247 Les trajectoires centrales circulaires.
