Pour ces trajectoires ona op, ="; v, et ). sont

des constantes, et l'équation différentielle (17) prend la forme

d'u er te, LU. (165) où ER 4 DNS à d K(Fr°) FE opus rt Re (Se r)+à DÉS dr e00)

L’é ne Le des trajectoires altérées par perturbations conservatives est donc, pour k# négatif:

UK, VE ER, eV (W—=—7}.. (167) et pour # positif:

wu—=K.cos(s\/k + A)... ..... (168) Dans le premier cas il y a instabilité, dans le second, stabilité. | Aussi trouve-t-on pour le coefficient de stabilité, dans le premier cas :

LL RE CM nl M

Us ge (S+s” k

fe A+ k

= SVP LE SVT (169) c’est-à-dire une valeur toujours > 2; et dans le second cas:

— cos (sV/k+ 4) + cos ((2S+s)/F+4) cos ((S+s) V/k + 4) valeur toujours < 2.

Dans le cas transitif, où k— 0, l’équation générale des trajectoires à perturbations conservatives est:

He de (171)

—9 cos SVk (170)

ce qui signifie que la trajectoire circulaire est arithmétique-

ment instable. Un faisceau unique est formé de trajectoires circulaires concentriques.

Dans les parties d’une région, soumise à l’action d’une force centrale, où Fr° croît avec r, où k devient donc positif, les trajectoires circulaires sont stables. Là où Fr° décroît lorsque r augmente, elles sont instables. Si Fr° est constant, ou du moins stationnaire, il y a encore instabilité, maïs instabilité arithmétique.

Lorsque les trajectoires circulaires sont instables, il y a, aux deux côtés, des trajectoires parasites. Jai traité de celles-ci en détail, sous le nom de trajectoires spirales à cercle asymptotique, dans le Mémoire cité au début .du présent travail; comme je l’ai montré à cette occasion, elles jouent dans la théorie des trajectoires centrales un rôle qui n’est pas dénué d'importance. Si, dans une région à force centrale donnée, on fait varier d’une manière continue les conditions initiales point de départ et vitesse primitive), l’apparîtion d’une trajectoire spirale à cercle asymptotique est l'indice d’un changement brusque dans la distance de l’apocentre ou du péricentre; à ce moment, en effet, deux branches de trajectoire * jusqu'alors séparées, mais représentées par la même équation, viennent se confondre; ou, réciproquement, la trajectoire se divise en deux trajectoires différentes, dont l’une devient inaccessible au particule matériel.

34. Il doit sembler singulier, toutes les autres trajectoires centrales appartenant aux types particuliers (C), (D) ou (£), que dans les trajectoires circulaires reparaissent les types généraux (A) et (B). Cela s'explique, au moins en partie, par la circonstance que chez les trajectoires circulaires, et aussi chez les trajectoires dont l’excentricité peut être regardée comme extrêmement petite, la rotation continue de l’apocentre ne détruit pas la stabilité, bien que, chez les trajectoires à excentricité finie, cette même rotation provoque l'instabilité arithmétique. Aïnsi s'explique la stabilité des trajectoires circulaires. Quant aux trajectoires circulaires instables , elles occupent

sous tous les rapports, parmi les autres trajectoires centrales soumises à la même loi, une place exceptionnelle. Tandis que . leur période est finie, le passage à ces trajectoires ne s’effectue que par l'intermédiaire des trajectoires spirales à cercle asymptotique, dont la période est infiniment grande.

Stabilité de la position dans l'orbite.

85. La question de la stabilité du mouvement peut encore être regardée d’un autre point de vue que nous ne l’avons fait jusqu'ici. Même si l'orbite troublée reste dans le voisinage immédiat de l’orbite originale, il peut arriver que la position du point matériel dans l’orbite troublée s’éloigne de plus en plus de celle que le point occuperait au même temps dans l'orbite originale, si la perturbation n'avait pas eu lieu.

Nous dirons alors que l'orbite est stable, mais que la position dans l'orbite est instable.

Pour juger de cette instabilité notre analyse suffit encore, du moins en principe. Il ne s’agit, comme il est facile de le voir, que de décider si l'intégrale:

t S S S S S fau fêa fau fus fa fac V5 V5 Lo V5 0 0 0 0 0 0

où A à la signification que nous lui avons donnée au $ 5, devient infinie, ou reste finie, pour é où s = «æ. Dans une orbite du type stable (B), la position de l’orbite sera donc stable, quand & = 0, c’est-à-dire pour les perturbations conservatives, mais instable pour toute perturbation non conservative. Quant à l’influence d’une force périodique perturbatrice, dont le travail total pendant .une de ses périodes est nul, elle ne pourra détruire la stabilité de la position dans l'orbite, que dans le cas de commensurabilité de sa prose avec la période de perturbation Sy de l’orbite.

Pour une orbite des types (D) ou (E), la stabilité de la position | dans l'orbite, pour une perturbation conservative, dépend des conditions : |

qui diffèrent des conditions (131).

Le cas pourra donc se présenter qu’une telle orbite doive être considérée comme stable pour des perturbations conservatrices, tandis que la position dans l’orbite est instable.

Pour les orbites centrales, l’une des conditions disparaît encore. Quant aux orbites décrites sous l’influence d’une force

centrale F= fr ou F = L , On sait d'avance que la condition

restante doit être satisfaite; parce que, le temps de révolution dans l’orbite ne changeant pas par perturbation conservative, les particules qui décrivent l’orbite troublée et l’orbite originale ne pourront pas s'éloigner sensiblement l’une de l’autre,

SUR LA

PAR