C. H. C. GRINWIS

1. Lorsqu'un conducteur, chargé ou non d'électricité, est amené au voisinage d’un corps électrisé, l’énergie totale du champ électro-statique subit une variation, soit accroissement, soit décroissement. |

Si la situation relative des deux corps est changée par un travail extérieur en sens opposé des actions électriques, sans qu’il en résulte aucune communication conductrice, l’énergie électrique augmentera de toute la valeur du travail extérieur. Mais quand les corps sont abandonnés à eux-mêmes, leurs charges obéissent à l’action électrique qui existe entre elles ; le travail des forces électriques est alofs positif et correspond à une diminution de l’énergie électrique.

Particulièrement remarquable est le cas où le conducteur

DS

amené à proximité de la charge électrique est primitivement

dépourvu de charge, qu’il soit d’ailleurs isolé ou bien relié au sol. Le conducteur isolé est chargé par induction ; mais sa charge totale est toujours zéro, de sorte que dans l'expression ordinaire de l’énergie du système, savoir, ,la demi-somme des produits du potentiel et de la charge”, n’entre pas le produit correspondant à ce conducteur.

252 c.H. C. GRINWIS. DE L'INFLUENCE DES CONDUCTEURS

Un conducteur relié au sol, et dont par suite le potentiel est nul, n’introduit pas non plus de terme dans la formule qui détermine l'énergie du système.

Néanmoins, l’un et l’autre conducteur influent sur l'énergie , totale, vu qu’ils modifient par influence la capacité du conducteur initialement électrisé et le potentiel de la charge électrique. | |

Dans les deux cas, l’énergie totale du champ électrostatique est diminuée.

Nous nous proposons de déterminer la valeur de cette diminution, et à cet effet, après avoir étudié d’une manière générale l’influence de conducteurs arbitrairement chargés, nous examinerons successivement le as où une masse électrique fixe g, concentrée en un point, se trouve en face d’un conducteur sphérique, neutre ou dérivé; puis le cas où ce point est en présence d’un conducteur plan illimité, enfin le cas d’un condensateur sphérique; ces trois systèmes de conducteurs sont les seuls qui se prêtent à une étude simple et complète de la distribution de l’énergie.

Comme introduction nécessaire à l’exposé de notre méthode, nous allons d’abord considérer en général, pour un système de deux conducteurs électriques, les coefficients de potentiel, de capacité et d’induction.

2. Si M, et M, représentent les charges électriques des deux conducteurs, V, et V, leurs potentiels totaux, ces quantités sont liées entre elles par les équations

Les coefficients p,, p’ et p, dépendent de la forme et de la situation relative des conducteurs et sont appelés les coefficients de potentiel du système. Ils sont évidemment de la dimension L-—1, et positifs; en outre, p' est = p, et p,, ou tout au plus égal à eux. Résolues par rapport à M, et M,, | les deux équations en donnent deux autres, de la forme:

M =, +40 Ma = 0 Vihqs Va OH

dont les coefficrents gq,, g' et g, sont des fonctions de p,, p' et p,, et dépendent par conséquent, comme ceux-ci, de la forme et de la situation relative des conducteurs.

Les coefficients qg, et g, sont appelés les coeficients de capacité des deux conducteurs, g' est dit leur coeficient d’induction mutuelle. Ces coefficients sont de dimension linéaire; q, etg, sont toujours positifs, le coefficient d’induction g' est toujours négatif ; ici encore, on peut démontrer que la valeur numérique de gq’ est inférieure, ou tout au plus égale, à celles de Qi Ù Ga |

On sait que V, est une constante sur toute l’étendue du premier conducteur, et de même V, sur toute celle du second ; quant aux équations, elles peuvent être regardées comme valables encore dans le cas limite, où la première charge M, devient une charge fixe 9 = M, concentrée en un point; à : la vérité, quelques-uns des six coefficients acquièrent alors une signification spéciale, mais celle-ci n’interdit pas l'emploi, même en ce cas, des équations (1) et (2).

Les coefficients qg se déduisent donc des coefficients p, et réciproquement. La substitution des valeurs M, et M, de l'équation (2) dans l’équation (1) donne deux équations identiques en V, et V,, d’où résultent pour les six coefficients les trois relations suivantes, indépendantes l’une de l’autre:

Pig +Pg =1, pY +Pidi =, pig +pg1 —=0.. (3) Eu posant, pour abréger:

PP —p'=D et gg: —d =D SAONE DA (3a) on obtient immédiatement :

% D AT PE P: D” P 5 P2 SE D’ | 4 = d=—E, a =h

La détermination mathématique de ces six coefficients, étant données la forme et la situation des conducteurs, est en général difficile, de sorte qu’on ne parvient à en calculer les valeurs que dans un petit nombre de cas !). |

3. L'énergie électrique du système des conducteurs est donnée par l’expression connue:

Æ L'ONV, MS) RE 4:

Ainsi que nous l’avons déja noté au No. 1, le second terme du second membre s’annule tant pour un conducteur à l’état neutre, où M, —0, que pour un conducteur relié au sol, où V, = 0; dans ces deux cas, le terme relatif au second conducteur n’entre donc pas dans l’expression de W. Ce conducteur n’en exerce pas moins de l’influence sur l’énergie totale du champ, car V, est modifié par le voisinage de M, et diminué dans les deux cas; l’énergie W devient donc plus petite par l'effet de ce voisinage.

Afin de le mieux faire voir, nous formons deux nouvelles .

expressions, en substituant dans l’équation (5) d’abord les valeurs de V, et V, données par (1), puis les valeurs do M, et M, dunes par (2); on obtient ainsi

W=1(p, M? +92p M M, + p, M2) . .. (6) et

W=t(q, V5-+29 V,F; +03 Pi) RS

Pour la masse M, DEEE des l’origine, l'énergie était exprimée par: ra | W= 1 VM,,

et si C est la capacité du conducteur isolé, celle que nous pourrions appeler capacité absolue et qui lie M, et V par la relation :

M= V0, il vient:

W=iM,v= me =: cv: "LT (7)

1) Maxwell, Electricity and Magnetism, No. 87 et 100.

Pour une sphère isolée, de rayon À, on a évidemment

C—=R, et par suite W=,5 M; = NERF.

D’après ce qui a été dit, il s’agit donc de comparer entre elles les valeurs de W et W que nous présentent les équations (6) et (71.

4, , Lorsque, en général, l’énergie du système est devenue # fois plus grande par la présence du second conducteur, et que par. conséquent W—%W, les éq. (6) et (7) donnent:

kM? = C(p,M?+2p'M,M, +p,Mi). .….:. (8)

Si la charge donnée M, du conducteur amené est x fois plus grande que la charge primitivement existante, c’est-à-dire si M, =xM,, on a: |

RU (D, FDL FPT rie: & 4 + « (8a) d’où :

ne D porn == ES (9) Pa) piC ou, en vertu de (4):

fa -tuP qk— C vies VRP TURQUIE ETOS O1 GI FRINE 9a Po P29; Pad C (a)

Pour obtenir un système dans lequel l’énergie soit Æ fois plus grande, on communiquera done au conducteur adjoint une charge M, —xM,, x étant déterminé par l’éq. (9) ou (9a). Il y-a donc, en général, deux charges différentes du second corps qui produisent un même changement d'énergie. L'énergie ne sera pas modifiée par la présence du second COTPS, Re” celui-ci possède une charge xM,, pour laquelle:

ps=D0 pp ue + « (10 me :V27 piC P2 PrQi C ee

5. Les deux cas qui offrent le plus d'intérêt sont ceux où le second corps est isolé et sans charge, ou bien en communication conductrice avec le sol.

a. Lorsque le corps est isolé et sans charge, on à M, —0 et l'équation (6) donne:

en vertu de (8), l'énergie du système est alors devenue k, fois plus grande:

Pi valeur k, se déduit aussi de l’éq. (9), en Fes dans celle-ci x = 0.

En général, le quotient al RD CD ou tout au plus égal, à l’unité, de sorte qu’on a 4, <1 et que l'énergie du champ électrique est diminuée par la présence d’un conducteur neutre. | |

est inférieur,

Cette diminution d'énergie est a par — 1 M° AW=W— Fr. — G-») 5 - + TPS

b. Lorsque le second conducteur est relié au sol, l’éq. (1),

où V, est alors — 0, donne M, — Er M, et, en vertu de (6), l'énergie du système devient

12 12 D 1 M? | W = uw 22" y +Pim)= LD m3 = 21 M 03 2 2 Pi 1 ?; HA: Pa 1 2p, Î qi 2 ( ) L'énergie est, en ce cas, | C qi É, ===: 00 (14) ; W, q; | fois plus grande, ainsi qu’il résulte de l’éq. (9a), quand on y. fait x = ET Ici encore, il y a diminution d'énergie, et à

diminution plus grande que dans le premier cas; on a, en effet:

A AD nt

=——=9p, —— <p, donc #, <k di à Pi p? Pi 2 1 et 12 2 nf DE + a gel anne à LCR I (15) à 2 quant à la diminution de l'énergie initiale, elle est, en ce cas : Æ (5 IN M A3 W= W— m= (ss) rats, in (16) On voit donc, à cause de duel C à de

que, de l’énergie W de la charge initiale unique à l’énergie W, du système résultant de l’adjonction d’un conducteur neutre isolé, et de celle-ci à l’énergie W, du système constitué par l’adjonction d’un conducteur relié au sol, lesquelles énergies sont respectivement représentées par

nt L M M° D

W=E—-; Tor: le Traires: . (17) il y a diminution successive: la dernière de ces diminutions, qui est due au travall exécuté par les forces électriques pour l’abduction de l'électricité de même nom que celle de la charge initiale, était à prévoir et a pour valeur l’expression (15). On remarquera que, en vertu de l'équation (9%), la valeur

4 => est la plus petite que #, puisse prendre, de sorte que

l'énergie de la charge primitive, qui est affaiblie tant par la présence d’un conducteur neutre que par celle d’un conducteur dérivé, subit dans ce dernier cas la diminution /a . plus forte possible; au-dessous de la valeur

PE à qi l'énergie primitive ne s’abaisse jamais. — En donnant tou-

tefois au second conducteur, relié au sol, une forme et une

situation telles, que g,, qui est toujours plus grand que C, devienne égal à sa on peut réduire l'énergie W à une vaœ 46)

leur « W aussi petite qu’on le désire.

Il va de soi que, q, croissant indéfiniment à mesure que les conducteurs se rapprochent, il ne saurait être question d’un minimum d'énergie proprement dit; mais, pour une situation donnée du second conducteur, il produit, ee au sol, la plus forte diminution d'énergie.

En communiquant au second conducteur (isolé) une charge,

positive ou négative, suffisamment grande, on peut, comme il ressort de l’équation (8), faire croître l’énergie du système au-delà de toute valeur quelconque; il n’y a donc pas à s’occuper d’un maximum d'énergie, pour une sifuation donnée des conducteurs. |

Remarquons, enfin, que le premier conducteur est ici sup-

posé chargé d’une masse- électrique invariable M,, dont le potentiel change sous l'influence du second conducteur et, comme on l’a vu, devient plus petit dans les deux cas géné-

raux M, = 0 et M,=-? M..

Po

Le problème est tout autre lorsque ce n’est pas M,, mais

V, qui reste constant, c’est-à-dire lorsque la première masse .

communique avec une source électrique à potentiel constant ; on arrive alors à des résultats tout à fait différents, et même en majeure partie opposés, pour le changement d'énergie occasionné par la présence d’un second conducteur (neutre ou dérivé). Si, par exemple, les forces électriques exécutent un travail, l'énergie du système augmente. Mais, c’est là un cas dont, pour le moment, nous ne nous occuperons pas.

6. Avant de passer à l’étude de cas particuliers, cherchons à nous rendre compte de ce qui arrive lorsque la charge électrique initiale est celle d’une masse non conductrice, lorsque, par conséquent, cette charge ne reste pas seulement con-

- stante sous le rapport de la quantité, mais n’est pas modifiée

non plus quant à sa distribution.

En désignant alors par w l'énergie et par V le potentiel de cette masse électrique fixe, par Ü le potentiel de la charge du second corps, toujours supposé conducteur, nous avons pour l'énergie du système:

W=uw+}/[Uau, +4 VdM, +3 fudu, (18)

expression qui, à Cause de w— 1 Î V d M, et lorsqu'on rem-

place U + V par V, ou V,, suivant que les potentiels Uet V sont facteurs des éléments de masse d M, ou d M,, reproduit l'expression (5).

Posons

Le a A OT EEE RS (19) de sorte que

W=u+3f(U+ V)dM,+P:....(190)

l'intégrale indiquée dans cette dernière équation disparaît tant pour un conducteur neutre isolé que pour un conducteur dérivé, dans le premier cas parce que U + V = constante et M, = 0, dans le second cas parce que U+ V—0; dansles deux cas on a donc

—4f 04m, =3fVau, =? Teen (20)

et par suite l’éq. (19a) donne, tant pour un conducteur neutre que pour un conducteur dérivé,

où U représente alors le potentiel de la charge zéro, ou de la charge induite sur le conducteur relié au sol. Dans les

deux cas, 1 Î Ud M, indigne l'énergie potentielle de la charge

du conducteur, considérée en elle-même.

Cette énergie étant désignée par E, pour le conducteur neutre, par Æ, pour le conducteur relié au sol, on a:

Wi=uw—£;)

d'où il ressort clairement quelle est, dans les deux cas, la . diminution d'énergie. Lorsque la masse électrique initiale est une masse fixe, c’est-à-dire une masse distribuée sur un non- Ne nat la diminution d'énergie du champ électrique est égale

à l'énergie électrique de la charge induite sur le conducteur, prise en elle-même. |

Cette relation simple nous permet de déterminer sion la diminution d'énergie que la charge de masses fixes éprouve sous l'influence de conducteurs voisins; les considérations précédentes n’ont d’ailleurs de sens que si nous concevons l’énergie, non comme attachée à la masse du conducteur, mais comme répandue sur le champ électro-statique.

Lorsque la masse électrique initiale est distribuée sur un conducteur, les équations (22) cessent d’être valables; à la

vérité, le raisonnement qui a conduit à ces équations demeure intact, mais le premier terme w — :[ V d M, ne reste

plus le même lors de la présence du no conducteur, parce que la distribution électrique sur le premier conducteur est alors modifiée, ce qui change V et, par suite, la valeur de l'intégrale en question. Néanmoins, une règle simple, semblable à la précédente, subsiste encore, si dans les équations (22) on entend par w la valeur que l’énergie potentielle d’un des conducteurs, prise en elle-même, acquiert après que la charge de ce conducteur a été modifiée par induction.

= Moyennant cette définition, on peut encore appliquer, tant au cas du conducteur neutre qu’à celui du conducteur dérivé,

la règle (22), suivant laquelle l'énergie du système est égale à la différence entre l'énergie de la première charge et celle de la seconde, prises chacune en soi.

Abordons maintenant l’examen de quelques systèmes particuliers simples, en commençant par ceux où le premier corps est un non-conducteur, réduit à un point, dans lequel est concentrée la masse électrique. |

7. Masse électrique concentrée en un point vis-à-vis d'un con-

ducteur sphérique. Nous avons alors, en vertu des équations (21) et (20):

où ds est un élément de la surface du conducteur sphérique, e la densité de la charge induite.

a. Sphère communiquant avec le sol.

Lorsque en un point © se trouve une masse fixe 9, et que la sphère de rayon R est à une distance OC — a —n& de O, la densité dans un élément ds situé en P, à une distance / de O, sera donnée, comme on sait, par

dog a1—2R

4rR° E À

Pour le potentiel de g en P nous avons’ V — Let si p est

962 c.H. C. GRINWIS. DE L'INFLUENCE DES CONDUCTEURS

l’angle que le rayon CP fait avec CO, un élément annulaire de la surface sphérique sera exprimé par

ds = 27 R sin y. Rdp — 2x R? sin ypdy; d’ailleurs :

P = a? +R? — 2aR cosy, et par conséquent:

LE ben ie El Une + RU on aura donc:

| ee

4 [evas = — I a?

dl q? Re ANNEE “E ÿss = 1-2 RIVE a PT s Ce R?) FE ou, entre les limites a — À et a + R, à 1 1 1 Mi ppns PS ER PT ER fera = EC R) (or «=#)= Lg TOR. at Pr

et l'énergie W, du champ, lors de la nÉRes de la sphère dérivée, devient: