D VE BIT PRO 2 TERRE
on a {° — a (a? — R?), ou, sit = La? —R? désigne la longueur de la tangente menée de O à la sphère,
Per AU DOME dir à .. (88)
or, puisque a >, on a aussi />4t, c’est-à-dire: le cercle à densité zéro, qui sépare la partie positive de la partie négative de la charge superficielle, a un plus grand rayon, est par conséquent plus éloigné de la masse concentrée en 0, que le cercle suivant lequel la sphère est touchée par le cône ayant le point O pour sommet.
9. Avant d'aller plus loin, nous nous arrêterons sur le fait que l'énergie électrique de charges, soit concentrées en des points, soit répandues sur des conducteurs, peut être considérée comme existant dans l’espace qui entoure ces points ou ces surfaces, c’est-à-dire, dans ce qu’on appelle leur champ électro-statique.
Sur une sphère conductrice ayant O pour centre et a pour rayon, soit étendue une charge M; l'énergie. potentielle de cette charge est alors:
W = 1 M V, ou, puisque és
Si nous divisons l’espace en couches concentriques à la
sphère, le volume de la couche à rayons r et r + dr sera D
dv —=4nr? dr; la force, à la distance r de O, est F— Le
l’énergie qui existe dans l’élément de volume dv étant représentée, en rapport avec les unités d’énergie et de force, par K F? dv, où K désigne une constante numérique à déterminer ultérieurement, l’énergie totale du champ devient:
W= [4 Fe du= 4x KM? "Tan 1e . (40)
Pour que cette valeur concorde avec celle obtenue en (39), il faut que
4x K=L1 ou dE ST
de sorte que pour le volume dv l’énergie est
Pour l’énergie dans la susdite couche sphérique, nous avons alors :
DW = TEE CURE . SOIR (49)
par conséquent, pour la couche, comprise entre les rayons b=ia et. b=la ÿ' F > LP INC 1 pare ue r)
ou encore
. l’espace qui entoure la surface sphérique a, la fraction - de l’énergie se trouvera à l’intérieur de la couche à.
rayons & et pa, p étant déterminé par la relation
1,1 p no. | 2 ( — %. — . . 44 n p PR p — 1 P n-—1" (#4)
de sorte que l’espace compris entre la surface donnée et une surface sphérique de rayon 2a contient déjà la moitié de l'énergie totale; si ce rayon devient 34, 4a,...p a, l'énergie dans l’espace compris entre la surface correspondante et celle de la sphère chargée s'élève a:
PP OM Cri ce 9 4. p Le résultat est le même lorsque en © se trouve une masse fixe q; celle-ci, en effet, peut être considérée, pour ce qui regarde l'action au dehors, comme équivalente à une masse égale étendue sur une surface sphérique quelconque ayant O pour centre, — et, si w désigne l'énergie de la masse fixe, cette masse, en ce qui concerne l'énergie, sera équivalente à une charge q uniformément distribuée sur une sphère ayant O pour centre et dont le rayon À est donné par l’équation 2 2
= 00 er a EN ets HT 4 w= 37, d'où A
10. Pour déterminer l’énergie qui existe dans un espace - sphérique de rayon À, dont le centre C est situé à une distance a—=nkR du point O où se trouve concentrée la masse électrique g, nous partons de l'énergie d W' contenue dans la partie P F Q de la couche décrite autour de O avec les rayons r et r + dr.
De
R=r+nR?—92nrR cos, il résulte
2n7rR dE AnvrR ou, en posant r—nR=%xR, 1—cosp__ 1—x .
2 An(n+x)’
on a donc, en vertu de (42), pour la partie R F Q de la couche:
, 9 1—csp dr qg? (1—zx?)dzx MT DE PSE Ari ee Le de sorte que WA=s)de pd PC
et pour l’énergie dans la sphère entière autour de C:
W f+l(1 — x)dx
esbe 7 4n (n + x) ?
expression pour laquelle on trouve, puisquen =,
93 fin AS RES 4 Hour a— R?, 2a a—R ne.
ou, en prenant a="R, 1e or Re a 1 ,n+l | Le We (ra Cid 1 +5 SR 11. Comparons avec E” l'énergie p= LR F R: EM à 1
du conducteur neutre; en posant, à cet effet, £, — y E1, nous trouvons pour y, c’est-à-dire, pour le rapport de l’énergie du
LA
conducteur neutre à celle, qui était primitivement distribuée
sur l’espace où se trouve maintenant la sphère à charge neutre, | Les E n? de À
expression que nous fr successivement en
je Fo Ann 1 An don ti) 2 ni—1 n—1l D nie 8 © 3n° En | Ent Ent bu 1 nb, SA : L de ) oh 3+ 38n? À 57nt t TOnct pour n—=@œ, on à N + tandis que, à cause de 1 GEL 1 1 en __ — LOUER RP TR 23 06 on trouve:
1 1 1 PR Ce 2 de sorte que Ë, EE LE a les valeurs limites:
n=1, E, = 2EMYMAh.9nR (48a) pour HAN LEE SRE NI (48b)
On voit donc que l'énergie de la sphère dérivée, dont le centre se trouve à la distance a = n R de O, énergie qui pour des valeurs quelconques de x s'exprime par
D ne Re al 2 pr HS TE 1 fl 1 Fe Gad Porn À
est, pour de petites valeurs de n, deux fois plus grande que l’énergie primitivement existante dans l’espace maintenant
occupé par la sphère; pour de grandes valeurs de #”, elle approche du triple de cette énergie correspondante ; autrement dit, l’énergie de la sphère dérivée est toujours supérieure au double et inférieure au triple de l’énergie que l’espace, maintenant occupé par la sphère, contenait lorsque la masse g, en O, existait seule. { Le même raisonnement s’appliquerait, évidemment, si, au lieu d’une masse q concentrée en un point O, on avait une charge q uniformément distribuée sur une sphère de rayon quelconque, autour de O comme centre. , Pour l’énergie de la sphère dérivée, énergie qui, d’après ce a?
plus grande que celle de la sphère neutre, dans les mêmes circonstances, on aura, par conséquent :
que nous avons trouvé en (3la) et (310), est ou n? fois
enr = “
R > + 3.5 n° AE 5.7 n Lee
elle est donc, dans les positions extrêmes, 2n? ou 3n? fois plus grande que l'énergie initiale dans l’espace que la sphère occupe, et, en général, on a pour la sphère neutre
E,=(2+12)E RTE (51a) pour la sphère dérivée E, =(2 + h2)ni E1,5 400
h, étant une constante, qui dépend de # et dont la valeur est moindre que l’unité.
Pour la sphère dérivée, l'énergie A 1 mnt ia 2R n?—1 tend vers zéro à mesure que x augmente; dans ce même cas, E a aussi pour limite zéro; tandis que son coefficient, dans l'expression (50), devient infiniment grand.
12. Expression générale de l'énergie d'un système composé d’une masse électrique M, concentrée en un point et d'une sphère à charge quelconque M,.. ,
Pour trouver la valeur générale de W, nous ferons usage des expressions (6) et (6a)
" W=1(p, M +2p'M; M, +p, M1) .... (6) et | | |
W=;(9, Pi +29 PV, +q:W3) ,..: (60) où nous déterminerons les coefficients p et q. :
Pour la masse H, nous prenons une masse fixe q, concentrée en un point unique et ayant une énergie w, et nous considérons cette masse, en ce qui concerne l'énergie, comme équivalente à la même masse distribuée uniformément à la surface d’une ri non conductrice de pes rayon À, de sorte que, d’après
nue
A AO parler, nous avons donc affaire à deux surfaces sphériques, de rayons 2 et R, sur la première desquelles, toutefois, la charge n’est pas susceptible d’être modifiée par induction.
Lorsque la sphère conductrice est isolée et sans charge, on a M, —=gq, M, —0, et, en vertu de nie et (6),
q° % Peut 2R PME re G- a? (a? )r LRO D (2) de sorte que 1 R* D Éa
Quand, au contraire, la sphère conductrice communique avec le sol, l’équation (24) donne
Pa onms milan 4
Li: (54
mais, en vertu de (13), on a, puisque M, —g,
ne
274 C. H. C. GRINWIS. DE L'INFLUENCE DES CONCUCTEURS
et, par suite, (54) donne
Dans ce dernier cas on a, d’après la remarque du n°. 7a,
R a ER
et comme
1 1 1 M, =—1? 4 (da rès (1)) et 2 — +? voir (4), 2 5, H'UPRR ()) re GA (4))
il s’ensuit nt cr ra F Cou rT Mél ne ne Os SES (54) ou R 1= s Pa UP: ss … (544) Pour les six coefficients on a donc frois équations, savoir 1 p' g = —, =, —=— =; AE I POUR P; q,.
p, et g, sont déterminés; les quatre autres se trouvent immédiatement au moyen des relations (4). À cet effet, nous avons
FR Pi PACA Min #76 = 5):
BTE, D à M°P2; Po u? A TT ; LT 4 TON À PNR ee oh ,g'=—ug, =—ub; enfin, (53) donne DAS LA 1 u2B? 4, 1, BA A=—=—— NE 18 , d'où — — ; , Pi 2 Ê VE 2 Q2 u? B?
par conséquent RAR OR 7 2 ner) ARE PAU À Le 2 BK tnt (et) 0 CR , 2 B?2 Ah =B, g =—pB, . jte 0
en remplaçant À, B et u par leurs valeurs, on a
de nb"...
AT B'a—R? a?(a—R?)7T a? ?
B? B L CRE à ANT, SE rs FR (00 B—AT A CG 5) A (56) A B de sorte que ; 1 SM nn PL a?(a?—R?)’ P TUE Pi pi __ A(a? — R?) tend PAG SR} M RAR 0 7 7 de —R)—uiR Rfa?(a? — R?)—2R3 À Ent Ha op ce (56a)
Pour l'énergie du système point et sphère, avec CRE quelconques, on à donc:
y 2 | 2 1 = } d'A CUNS PE M, M, +7 Mi ‘ . (7) et
NO Ne SD) ps 2h ka 8")
D 207 DA nie Bu En R fa*(a?—EÆ?)—2k* 4 +2 (CS un its 70 (58)
desquelles résultent, comme cas particuliers, les valeurs trouvées en (52) et (54) pour la sphère neutre isolée et pour la sphère dérivée.
13. Masse électrique concentrée en un point vis-à-vis d’un plan conducteur relié au sol.
À ce cas encore s'applique la rélation, déduite de (21) et (20),
W=w +3 fovas,
où e désigne la densité de la charge induite par la masse q sur un élément ds du plan, et V le potentiel de cette masse en cet élément.
Si g se trouve à la distance a du plan et à la distance L de ds, on à
a Pire valeurs dont la seconde se déduit immédiatement de la densité trouvée, au n°. 7, pour la sphère dérivée.
En coordonnées polaires (r et y), ayant pour origine le pied de la perpendiculaire abaissée de q sur le plan, on a ds = 7r dr dy, et par suite :
Lfopas 4 118
= er rdr = )=-£ (a? (a? +72}? — 4 a +r), Aa
