PERTE SERRES TE T'ON OLE

Nous allons exposer brièvement cette solution, et appliquer ensuite, dans la même hypothèse, la théorie de M. Kirchhoff concernant l'équilibre de barreaux élastiques infiniment minces.

1. Le corps étant à l’état naturel, soient x, y et zles coordonnées d’un de ses points par rapport à un système rectangulaire. Après une déformation, ces coordonnées deviennent z+U, y+vet z + w. Les déplacements et leurs coefficients différentiels sont considérés comme des fonctions continues des coordonnées et comme infiniment petits. Nous introdui- | sons les notations ordinaires :

CL à D 14 (Ou ERA |

dx d2 dy

AU, dw , Ou

dy Yy Se 5 7 ES VOS (1) ne ET Mu |

Le potentiel élastique est:

2 2 2 2 J=ia, te ++ ia Yy + rss te À 5 Usa Ye H 5 Ass 2e Lise Ty Fa Lx Uy FO y Le te CIC (2)

Il renferme 21 coefficients d'élasticité différents. Les composantes de la tension en un point du corps sont:

E.0bf BF AUUOR A cop EE à |

Yy Er. OYy Zz T3 X: ENT dt: ; . e. e . L . (3) “hs Er |

En résolvant ces équations par rapport à 4x, Yy, ete., on obtient 6 autres équations, dont la première est: D zz=D, ,Xe+ D,,Yy+D,3Z+0,,Y2+0D,,:2:+0D, 5, Xy-(4

Dans cette expression, D est le déterminant des coefficients d’élasticité, tandis que D,,, D,,, etc. représentent différents. mineurs.

Si maintenant le plan æy est un plan de symétrie en ce qui concerne les propriétés élastiques du corps, on a:

D,,=D,,=0D,,=0,,=0D,,;=0D,;=D,;=D,,=0" UN, Demi D,i= D, 4 éte | G) Ds Dir Ass A4 Ass

Supposons qu'aucune force extérieure n’agisse sur la masse du corps, et tâchons de satisfaire à la condition qu’à l’intérieur du corps on ait partout X,; —= Y, = X, — 0. Les équations (4) se transforment alors en:

Dix = D, Le; Dyy = D, Z; De = D,, Z; Dy: = D,, Y: + + D,: X;; Dz, = D,, Y: + D,.X;; Dos D, 2: : AN TT (6) tandis que les équations de l’équilibre deviennent:

oX oY dZz OX or TE — : nn — 1 mn TT LES ste! Te 7 2 : d2 < d2 0x je Ôy (7)

Les quantités 2, Yy, etc., qui dépendent des trois fonctions u, et w, ne peuvent évidemment être des fonctions arbitraires des coordonnées. Les conditions auxquelles elles doivent satisfaire sont données, entre autres, par M. Kirchhoff '). En substituant dans ces conditions les valeurs, tirées de (6), des quantités en question, on trouve:

DA gun oi QE ii gps EVA D MAR ro UT? du d?Z, 0?Z. Jak d2X 2D,, ——"— M D). ap Dj NeR EC" $ 1 9y0z $ Orde F5 0x0y dt dxOy LEmpoibnés MIN ÉEe D, ; dx? 45 dx? | (8) 02Z: 227; d? Y: 22%, 2D,5= DD, à cer (TE Ox0Z . dy0d2 Ox0y dx0y | ile d Xe Dis É'CT 5 5 dy? |

1) Kirchhoff, Mechanik, p. 399.

+ hi: