MOD CP

Dre LÉ ot ot ET

On peut encore admettre que, par aie QE Mate existent les conditions u = v = w = 1e a — 0, ° + ms | CE V0;

il suit alors des équations (20):

(= ga (0)

1°. Lorsque sur la base du cylindre agit seulement une force Z dirigée suivant l’axe des z, et qu’en outre il n’y a pas de couples, les déplacements deviennent:

Di = D,, ax + D, ay; Do =D, 07; DO DE

Le coeficient d’élasticité suivant l’axe du cylindre devient:

D x TRS Il en est encore de même, — comme on le montre 33 |

aisément en posant dans les équations (4) toutes les tensions —0, sauf la tension Z, — quand il n'existe pas de plan cristallographique de symétrie.

2°, Le cylindre est fléchi par une force À située dans la

base. On a alors: a, — F0 b, Ée Fo et la flèche de la courbure est: U= } PET D DTAË

3°. Le cylindre est tordu par un couple suivant l'axe des z. Tous les coefficients, sauf c,, disparaissent. On trouve:

UTC, SE y; V—— 0, ES me . . (22) 3. Comme application simple de la théorie, nous exami-

nerons l’équilibre du cylindre elliptique, dont la section est

déterminée par l’équation :

Pour calculer d’abord la fonction P,, il faut résoudre l'équation :

AEE XP, D DE

D 3 2D),i123 AS #0 F4 0? sa ME PEU 7 09? j

en ayant égard à la condition limite:

do P AB TT (-2, Er y D, ; Te + (ni a Ds: Re) =

ar)

Posons: P, = ax? + Bay + yy*.

Par substitution dans l’équation de condition, on obtient

les relations :

— 2 D, ,a + dti D,:8—2D;;7=0;

mat D,,6+2Dis) + YOUR DF)=eT =

Si l’on additionne les deux premières de ces équations, il en résulte la méme relation qu’on obtient en substituant P, dans l'équation différentielle générale. Résolvons par rapport à «, B et y, et substituons ensuite P, dans l’équation (18), en tenant compte de ce que, dans une ellipse, on a: 1 —

5 cu =; il viendra, après quelques réductions : nas + D:;)mn! C nas tas s)mn?

Kk——" 44 55 us au ET LR SGEN 23 é 2 @ D, nt + D;:m? 2 « As sN? +, ,M? 3)

En désignant par r l'angle de torsion pour l’unité de distance à l’extrémité fixe du cylindre, on a, en vertu des équations

D r= =1tc, putes et l'équation (23) se change en: Ke Qr — — D a (2 ne Dm

Pour déterminer la fonction P,, la même équation diffé-

- (16). Une pareille intégrale est:

rentielle du second ordre doit être résolue, avec k condition à la circonférence :

oP JEANS (- 2. 5e + Das Se) ai RCE D.) = — — [4 (+9) + Bay] 5 [0 (et +90) + Day] 2e

Soit: P,=ax+by+cx + dx?y +ezxy? + fy.

Si l’on substitue cette valeur dans les équations différentielles auxquelles P, doit satisfaire, et qu'on ait égard à

; Re 2 É ë l'équation — + 4 = 1 pour les points de la circonférence, mA À |

on trouve entre les coefficients a, b, c, etc. six équations linéaires, desquelles peuvent être tirées les valeurs de ces coefficients. Le résultat est très compliqué, sauf dans le cas où D,;, et par suite a,:, devient —0. Dans ce cas on a:

D,,Ra=A;m'n? (D,, + D::;)—D;;m; D,,R, b= C0, m?n? (D: + D;;); —3D,,R=D;;|A,(n—3m')—m?}; R,d=C,(m—3n?); Re=A(n?— 3m°?)—m?; —3D;;R «fa (10 (m? —3n?); où, pour abréger, on à posé:

Lorsque les axes des coordonnées sont tous perpendiculaires à des plans de symétrie, on à D),, = 0, et alors disparaissent les coefficients b, d et J. $

La détermination de P, se fait exactement de la même manière. À

Quand la section du cylindre n’est pas elliptique, il faut en général prendre pour point de départ une intégrale générale de l’équation différentielle (12) et tâcher de déterminer les coefficients de telle sorte qu’il soit satisfait aux équations

p=z\e(:+5) [ An sin km y — An cos h m y ||

è D'UN CYLINDRE ÉLASTIQUÉE ETC. 399

La somme doit être étendue à toutes les valeurs dem. Les quantités A» et A! sont des coefficients indéterminé’s.

k = 5 VD,,D;:; — D?; où l’on suppose D?, <D,, D...

4, À M. Kirchhoff :) est due la théorie générale de l’équi libre et du mouvement d’un barreau élastique infiniment mince. Dans ce barreau, on considère d’abord la déformation d’un élément dont la longueur est du même ordre que le diamètre. Un principe fondamental de la théorie est que les déplacements dans un sembable élément, ne dépendent que des forces qui agissent à sa surface. On montre ensuite que la déformation de l’élément peut être regardée comme uni-

forme, c’est-à-dire que l’élément prend la figure d’un arc de

cercle et subit une torsion et une dilatation constantes; les tensions sont les mêmes dans toutes les sections. Dans l’état naturel du barreau (qui alors est supposé droit), les axes des æ, des y et des z sont pris de la même manière que nous l'avons fait ci-dessus. Lorsque le barreau à subi une déformation, l’axe des z coïncide, dans un élément, avec la tangente à l’axe fléchi, menée à l’une des extrémités ; les axes des x et des y sont perpendiculaires à cette direction et deviennent, quand la déformation disparaît, parallèles aux axes primitifs ?). Par ces considérations, M. Kirchhoff a trouvé, pour les déplacements d’un point de l’élément, les expressions:

= U, + ge? — ryz UV =iVÿ + Mur — 5p2° W= VS + (Py — 7 + se

Dans ces expressions, w,, v, et w, sont des fonctions de

| x et y, qui doivent satisfaire à la condition que, pour x = 0

by, onatiu =, =, a — 0. Les quantités p et q

1) Crelle, Journal, 1859.

2) Kirchhoff, Mechanik, p. #10,

DE NET NT RES PP Vies D Ce

codé St ut dt à

ec modes AS rie

sont les valeurs inverses des rayons de courbure des projections de l’élément sur le plan xz et sur le plan yz; r est la mesure de la torsion, 6 est la dilatation.

Désignons pars la longueur d’une portion du barreau, comptée à partir de l’extrémité fixe, et soit ds la longueur d’un élément,

Puisque, dans cet élément, il est permis de supposer constantes les quantites p, g et r, la déformation peut être conçue comme la rotation des différentes sections de l’élément autour d’un même axe, accompagnée d’une dilatation. La rotation de l’une des extrémités a, par rapport aux axes des x, yetz adoptés à l’autre extrémité, les composantes pds, qds et rds.

Les cosinus de direction de l’axe de rotation sont E Act

PF l'A si R=\/p? + q?+r?, car les quantités p, q et r peuvent être composées entre elles de la même manière que des vitesses angulaires. Dans les éléments successifs du barreau, ces axes prendront des directions différentes.

Lorsque sur la base du barreau agissent seulement des couples, le problème qui a pour objet de déterminer sa déformation est parfaitement analogue, comme M. Kirchhoff l'a montré le premier, à celui du mouvement d’un corps autour d’un point fixe. Poinsot a fait voir, en effet, que ce dernier mouvement peut être considéré, pendant un élément de temps, comme une rotation autour d’un axe, lequel axe prend successivement différentes positions dans l’espace. Durant le mouvement, il existe un plan invariable dans lequel est situé le couple d’impulsion, et les composantes de ce couple, par rapport à des axes invariablement liés au corps, sont données QT; 2707 5° 57 dr que p, q, r désignent les vitesses angulaires autour de ces axes. La déformation d’un barreau infiniment mince peut également, dans un élément de celui-ci, être regardée comme la rotation autour d’un axe. Dans chaque section, le couple des pressions est constant et les composantes de ce

par les formules : si T représente la force vive et

couple suivant les axes x, y et z sont donnés ainsi que 0G 0G 0G dp’ 0q? dr’ où p, q, » ont la signification indiquée ci-dessus, tandis que

l'a fait voir M. Kirchhoff, par les expressions

ne def fdæxdy, l'intégration étant prise sur toute l’étendue de

la section. Dans cette intégrale, / est le potentiel des forces élastiques. Les équations différentielles du mouvement d’un corps autour d’un point fixe et les équations de l’équilibre d’un mince fil élastique sont donc de forme sembable, si à l’élément de temps on substitue l'élément ds. Cette concordance sera examinée encore un peu plus en détail pour le cas où l’axe du fil est perpendiculaire à un plan cristallographique de symétrie.

5. La fonction G, dont depend la détermination de l’équilibre du barreau, peut, dans l’hypothèse en question, être facilement déduite des calculs exposés au $ 1. Par ce qui a été dit, au paragraphe précédent, concernant les composantes du couple des pressions suivant les axes x, y et z, et à l’aide équations (18, on trouve:

0G 0G 0G j Ron, a Géant a MST qù oP, CI PURES OP.) + C; [ip JP D, :x dy + D, rl res dx D, :y PEAU En comparant les équations (25) avec éq. (21) on voit que: D D D,, +D P= 7 4%; q=— D r=-kce #55 D sa

Par substitution, on apprend à connaître la fonction G pour

chaque section du fil, la fonction P, étant déterminée à l’aide des équations données au $ 1. Dans tous les cas, on a:

à 5 | 5 Bo UE Cr, où A, Bet C dépendent de

la, forme et des coefficients d’élasticité du fil. On obtient donc: Get (dp get Cr) ., & (26)

Les équations de l’équilibre prennent la forme:

AZ (B C) gr |

BA — (C—4)pr | FA VON …. (27) Ars.

Cr = (4—B) pq

Jacobi !) a fait voir que le mouvement d’un corps autour d’un point fixe, quand ce corps n’est sollicité par aucune force, est la résultante de deux mouvements périodiques. Qu'on suppose des axes rectangulaires £, 7 et €, dont le dernier soit perpendiculaire au plan invariable, tandis que les deux autres tournent dans ce plan avec une vitesse angulaire déterminée; les cosinus de direction des axes principaux du corps, par rapport à ces axes £, 7, 6, soient alors des fonctions périodiques du temps. Si l’on connaît les différentes positions du corps dans une période, on peut en déduire les positions à tous les moments ultérieurs; 1l suffit de se figurer que le corps subit une rotation déterminée autour de l’axe des Ë, pour trouver, à un instant donné, la situation de ses axes principaux dans l’espace. Le même raisonnement est applicable à la recherche de la déformation d’un fil élastique.

Représentons-nous dans chaque section du fil trois axes rectangulaires £; 7 et £; le dernier est parallèle à l'axe du couple qui agit sur la base du fil, les deux autres ont dans chaque section des directions différentes; le changement de direction, d’un élément à l’autre, est analogue à celui qui est relatif au temps dans le calcul de Jacobi. Les cosinus de direction des axes x, y, z dans un élément, par rapport à &, n et 6, sont des fontions périodiques de s. Lorsque les directions des axes du premier système sont connues dans la portion du fil qui embrasse la période, elles sont faciles à trouver pour toutes les autres parties. En déterminant les valeurs des quantités p, qg et r au moyen des équations (27),

1) Journal von Crelle, T. 49 (1850).

on ne doit pas perdre de vue que p et q sont relatives à la flexion du fil, tandis que » correspond à sa tension. Les intégrales: Ap+Bqg +Cr'=h et A4?p° + B?q? + Cr? =! signifient que le potentiel des forces élastiques et le couple des pressions ont les mêmes valeurs dans toutes les sections du fil. De ces intégrales on déduit:

A(B— A)p? + C(B— Cr? = Bh— 71.

Si l’on a Az B> Cet Bh— 1? > 0, la quantité r ne peut donc nulle part devenir zéro, de sorte que le fil est alors tordu dans la même direction sur toute sa longueur. Pour 4 > BZ> C et Bh— l? <0, différentes parties du fil peuvent être tordues en direction contraire. Avec À < B<C et Bh —!? <0, le fil conserve sur toute sa longueur une torsion de même sens. Lorsque la résistance à la torsion est intermédiaire entre À et B, il y a toujours des parties du fil qui subissent des torsions de directions oppossées.

Dans la première des hypothèses que nous venons de faire, savoir: A> B> Cet Bh—l?> 0, les valeurs limites que

p peut atteindre sont: p’ — RL : celles de gsont: