En vertu de la relation
2 Ui =ui+l 4- Ui 4- 2, et en posant pour abréger
a co : o (n) — v,
on a
2ux 4- ( -iy.2vo(i — l)=2ul 4-(l)*+l^)-h(— iy+*vQ{i+l),
POLYGONES CYCLIQUES, ETC. 15
par conséquent:
ce qui est d’ailleurs confirmé par substitution directe.
En général, chaque diagonale d’un polygone cyclique à n sommets coupe la courbe au point tangentiel d’un point appartenant au même groupe cyclique. En effet, on a
Ui -h Ui + k = 2 u , (— 1)* v\ q(î -1) -h ( — 1)* Q (i+k — 1) j . . (27)
et par conséquent, en faisant de nouveau usage de la notation ui H- m+k = 2 uî, »+*,
2ui,i + k = 2uî ±2 p œ : q (w),
où
Cette règle ne souffre d’exception que lorsque le point ui, i +k coïncide avec son point tangentiel ; en ce cas, on a ui + m + k -h uiti + k = 0y d’où il suit, sans difficulté, que ut est congruent avec un multiple d’une partie de œ et appartient par conséquent à un point pléthorique ; le polygone cyclique devient alors un polygone tangentiel ').
12. Les points Uij+k, que pour une valeur déterminée de k on déduit du n-gone cyclique des points ui, forment à leur tour un semblable polygone. De
2w,vi + * = 2ttj H- (- lYv \q(î— l)+(— l)i<Q(i+k— 1)| . .(28) il suit, en effet,
2 Ui . i -\-Jc 2 Ui+l} i-\-k -fl = 4 U j -h ( — 1 )*' 4 1 v\ £p(i) — ç(i — 1)J -+*
ou, en ayant égard à (26),
+ 2(— iy + 1® \Q(i — 2) + (— l)kQ(i + k— 2) J ,
1 ) Comp. les Mémoires cités en dernier lieu, et A. Schoenflies, Ueber regelmâssige Configurationen n3 auf den Curven dritter Ordmmg ( Gôttinger Ndchrichten 1889. N°. 12), ou l’on trouvera d’autres indications bibliographiques relatives à ce sujet.
TAN DE VRIES
par conséquent, d’après (28),
Ui, i -+- Je "4" VjI -+- 1, i Je -\~ \ = 2 Ui — 1} i Je — 1»
Il est à remarquer que le nouveau polygone peut posséder un nombre de côtés qui soit un diviseur de n, et que pour des valeurs paires de n la possibilité existe que toutes les diagonales principales passent par un même point de la courbe.
13. Lorsque n est le produit de deux nombres premiers, p et q, le groupe cyclique ux + a œ : q(ïi) doit comprendre aussi les sommets de p-gones cycliques et de ^-gones cycliques ; en d’autres termes, Q(n) doit être divisible par les nombres ç(p) et Q(q), qui tous les deux, pour la même raison, doivent être des nombres premiers. Ainsi l’on a, par exemple:
Pour
a — fi q [n) : o (p)
il vient alors
u2=nx + (5 œ : q (p), par conséquent, voir (25),
up-hi = ul + (— 1 )P+l p œ,
c’est-à-dire, que les points ux à up forment un polygone cyclique à n sommets.
Si, en outre, a =r (3 ç(p) Q(q) et q (n) = q(p) q (q) r, on a u2~ul -+- (5 œ : r et le n-gone indiqué par u2 appartient à un groupe fermé de r points, conformément à la congruence
ru = ntr
Pour rzzzSs — 1, il y a un point à paramètre v, de sorte que (3 s — 1) u H- v = 3 ; le groupe en question est alors un groupe osculatoire de l’ordre s.
Pour r = 3 s — 2 et (3 s — 2) u + x + y = 0, les courbes du degré s, qui en u ont avec la courbe donnée une osculation de l’ordre (3 s — 2), déterminent une involution centrale à couples de points x, y; si t est le paramètre du centre de
POLYGONES CYCLIQUES, ETC
rinvolution, et par conséquent x -{-y H- t = 0, les points du groupe en question ont, à cause de (3 s — 2) u = t, le point t commun, et forment un groupe central de l’ordre s !).
De ce qui précède, il suit que r doit être plus grand que n ; cela est vrai aussi pour le produit Q{p)Q[q)\ en effet, si l’on pose oc = (3 (r), de sorte que u1=ul -+- $ co : q (p) q ( q ), il faut que u2 fournisse un w-gone proprement dit, ce qui n’est possible que si q (i) peut prendre au moins n — 1 valeurs différentes, incongruentes suivant le module q (p) q (q).
Le groupe cyclique renfermera donc, puisque r diffère toujours de 1, trois sortes de n-gones cycliques, savoir : des n-gones dont les sommets appartiennent à un groupe de r points ; des n-gones à sommets faisant partie d’un groupe de o(p) ç(q) points, déterminé dans le groupe cyclique lorsque chaque point d’un groupe correspondant à un p-gone est complété de manière à former un groupe appartenant à un ^-gone (ou réciproquement) ; enfin, des w-gones qui ne sont pas compris entièrement dans l’un de ces groupes.
14. Un cas intéressant est celui où Q(n) contient le carré de de ( )(p ) et où p est un facteur simple de n. Si l’on pose g(n) — cQi) 2(p) et a = c, on a u2 = ux + (5 œ : g2(p), et le point u2 détermine un n-gone dont les sommets appartiennent à un groupe de o2(j?) points, composé de ç(p) groupes cycliques; on s’en assure en remplaçant par / Q {p) + è, ce qui donne u2=ux -h y co : q(p) + S co : ç2(p), où y = 1 jusqu’à ç(p) et de même ô = 1 jusqu’à q (p). Pour une valeur déterminée de è on obtient alors, par les différentes valeurs de /, un groupe cyclique appartenant au polygone à n sommets.
Pour faire voir que le cas en question se présente réellement, j’intercale ici la démonstration d’une propriété générale de la théorie des nombres.
i) Ce qui est dit ici du groupe de r points s’applique naturellement aussi aux groupes de o(^) et de y(q) points.
Archives Néerlandaises, T. XXV.
JAN DE VRIES
Si p est un nombre premier > 2, on a :
aP-\- bv— {a 4- b)P — pab{aP~2+ br-%) p a2b1(aP—4'+bP-4')
• • • - (refcr))” ’ * !<“+h
ou, puisque tous les coefficients binomiaux sont divisibles par^?, av + bp = (a -h b)p — pz{a -\-b) (29)
Lorsque a -p b est divisible par p, ap + bp peut évidemment être divisé par p2. Plus généralement:
Lorsque a -\ -b est un multiple de pk, ap -h bP a pour diviseur pk+1.
A cause de 25 4- 1 =3 x 11, (25)1 1 + 1 pourra donc être
divisé par 112; à cause de o( 55) = — (2" 5 -h 1), il y a par
conséquent des 55-gones cycliques dont les sommets appartiennent à un groupe formé de onze 0,t.
Pareillement, de 2 2 +1 = 5 il suit que (22)5 +1, et par
conséquent aussi ^(20)=~ (22 0 — 1), possède un facteur 25.
Finalement, on a 2 3 + 1 = 32, d’oû il résulte que
?(3*) = i j(2’)3* Vlj peut être divisé par 3L
Il y a donc, en particulier, des ennéagones cycliques, dont les sommets sont formés par trois triples d’inflexion. Cela
ressort facilement aussi de ui=ul + on trouve, en
effet, u , -h uA = 2 u7, uK H- u7 = 2 ulf u7 + ut = 2 u4.
Par extension, il suit encore, de ce qui précède, que : Lorsque a -h b est un multiple de pk ,
contient (h + l) facteurs p .
POLYGONES CYCLIQUES, ETC
15. La droite qui joint les points tti+i.et ui+m+ 1 d’un 2 m-gone cyclique rencontre la courbe en un point w, pour lequel
«=— 2«,+ (2i— (— 1»+ (~13)i+- (2«+»-(— iy+»K
oc œ : q (w)), ou, après une réduction simple,
w=— 2m, — - «c»:ç(2m)-i- Q-( -l)*+™2*'(2™-+-( — l)^)«co:^(2m)..(30)
Vu que p(2 m) = (2«*+ ( — l)m) ç(m), on n’aura qu’à prendre pour a un multiple de ç(m), pour rendre le membre droit de la congruence indépendant de la valeur de i ; en d’autres termes: dans tout groupe cyclique correspondant à un 2m-gone il y a des polygones dont les diagonales principales se coupent en un point de la courbe.
Lorsque les diagonales principales d’un 2 m-gone ne convergent pas vers un même point, elles passent par les sommets d’un m-gone cyclique si m est un nombre premier, ou, dans le cas contraire, si « et ç(m) sont premiers entre eux ; quand, par exemple, m est un multiple de q, et ç(m) par conséquent un multiple de q(q), on peut toujours choisir pour a des valeurs telles que les diagonales principales déterminent un polygone cyclique à q sommets.
16. Chaque point de la courbe fait partie , comme sommet , de
n-gones cycliques différents, et forme avec leurs sommets un groupe involutif, qui est ou bien un groupe osculatoire, ou bien un groupe central , ou bien composé de pareils groupes .
Il y a autant d’especes de polygones cycliques à n sommets que
le nombre ^ (2n — ( — l)n) possède de facteurs différents.
i) <p est la fonction d’Euler, c’est-à-dire, la quantité des nombres plus petits que l’argument et premiers avec lui.M. Sylvester l’appelle le totient.
Pour des polygones d’un nombre pair de côtes , ces especes se distinguent le plus facilement par le caractère des figures que les diagonales principales déterminent sur la courbe.
17. Les points d’une configuration régulière (3 n) 3 , inscrite dans la cubique, avec les droites ai bi c«+i , bi a ai+i et ci ai bi+ 1 , forment toujours trois polygones cycliques à n sommets, qui, en particulier, peuvent être aussi des w-gones
tangentiels. En effet, le tableau
ai
bi
Ci+1
ai
bi+i
Oi+ 1 Oi-f-2
(où chaque ligne et chaque colonne contient les points d’une droite), montre que le point tangentiel ai de en est situé sur la droite en + î ai + 2.
Une configuration de l’espèce en question pourra donc être construite en joignant les sommet d’un n-gone cyclique aux sommets d’un second n-gone cyclique, et en choississant, parmi les n2 intersections de ces droites avec la courbe, n points, qui déterminent un troisième n-gone cyclique. En effet, si u , v , w sont les paramètres de trois points de la courbe situés en ligne droite, il faut que, pour chaque groupe de trois sommets en ligne droite, les nombres a, (3, y satisfassent à la congruence
18. On est naturellement conduit à considérer des polygones reposant de telle sorte sur la courbe que le point tangentiel du sommet m soit situé sur le côté ui + 2 Ui + 3. Des quadrangles ainsi constitués ne diffèrent évidemment pas des quadrangles cycliques du § précédent.
POLYGONES CYCLIQUES, ETC
Pour un pentagone cyclique du second ordre (c’est ainsi que je l’appellerai, pour le distinguer des pentagones cycliques dont il a été question jusqu’ici), on a le système de congruences suivant:
où chaque congruence est de nouveau la conséquence nécessaire des quatre autres, conformément à la règle générale donnée au N°. 3.
On en déduit facilement
de quatre manières différentes (« = 1 jusqu’à 4) à la formation d’un pentagone cyclique du second ordre. Le côtéw3 étant toutefois opposé au sommetw,, ces quatre arrangements des cinq points fourniront deux à deux le même polygone. Cela ressort aussi du schéma suivant, où les points m sont
’ chaque fois remplacés par le facteur i œ.
de sorte qu’un groupe osculatoirè du second ordre donne lieu
