Le système
2 ux = uz +
2 Un— 1 = U, + M, 2 un =u2 + u 3
0 Ute'i'UM
JAN DE VE1ES
renferme les conditions d’un n-gone cyclique du second ordre. De la première de ces congruences, il suit
ui ~ui =— ("3 — u\),
de la seconde
u5 — ul = 2 (w 2 — u{) — (w4 - ttj.
Si, pour abréger, on pose
u2 = ux H- t j
il vient
Ui=Ul V I
u5=ui + 2 t -f- v 1
Le double de la seconde congruence de (34) étant retranché du double de la première, on trouve
Uq + 4w2=#5 H- 4 ux.
On a donc, en général
U4>+k -t- 4 ujc = m +1 +4 ui ....... (37)
par conséquent,
m+k — W4+/ = ( — 4) (uk — ui)
et
U4p+k — U4p+l = ( — 4 )P (Uk — Ul).
Si maintenant l est remplacé par 1, et k successivement par 2, 3, 4, 5, il en résulte, eu égard aux abréviations introduites plus haut,
POLYGONES CYCLIQUES, ETC
La dernière de ces congruences fournit évidemment iHp+i = u\ ~ [(— 4 )P — 1] (2 t + v).
A l’aide de la notation
on a donc
mP.+i = u\ — (— 1)2> g {p) (2 t H- v) (40)
20. Pour le 4p-gone cyclique du second ordre on a = u\) donc, d’après (40)
En outre, on a alors U4P+2 = U2] par conséquent, eu égard à (38) et (35),
(— 4 )P t = t (mod. co),
d’où
Mais (41) donne
de sorte qu’il vient
Pour un 4p-gone cyclique du second on a donc:
U2 = u\ + « co : 5 a (p) \
us = ui -h (5/5 — 2 a) co : 5 g ( p)
U4< = u\ — (5/5 — 2 a) co : 5 g ( p) us = u\ -H /5 œ : a ( p)
um+1 = ui — ( — 1)A (i (Æ) /5 co : g (p) uu+2 = n\ 4- [(— 4)* a — 5 (— 1)* a (k) /5] œ : 5 (T (p) U4k+z = ul + [( — 4) ^ (5/5 — 2 a) — 5( — l)k g (k) p'] co : 5 g (p) M4,Æ+4 = wi — [( — 4)Æ (5/5 — 2a) 4- 5 (— l)*(j (Æ) /5] : 5 <r ( p)
JAN DE VK1ES
21. Pour un (4p 4- l)-gone cyclique on a U4#+2 = u\ et mp+s = U2, et par conséquent, d’après (38) et (40),
— ((- 4 )p — 1) (2 t + v) + (— 4 )pv = t. \
Si ces deux congruences sont successivement multipliées
par les nombres ^-(4 P+l — ( — l)i,+1) et ~ (4p — ( — 1)^), 5 o
premiers entre eux, v disparaît par soustraction et l’on trouve :
Le groupe cyclique est donc composé de
points, tandis que
m = u\ + « co : r (p) )
W3 = wi 4- (4p 4- ( — 1)?) oc (o : t (p) 4- 0 co : 4i> . j
De ces valeurs, les arguments des autres sommets se déduisent sans peine.
22. Les conditions u&p+z = u\ et «%+ 4 — M4/?+3 = £, qui doivent être remplies pour le (4p 4- 2)-gone cyclique, donnent
d’où il suit facilement:
POLYGONES CYCLIQUES, ETC
p4r conséquent
u2 = Wj H- ( — 1)?+1 2^+1 a co : (43/,+1 + 1) )
Le groupe cyclique du (4 p H- 2)-gone est donc formé
de -h 1) points,
