Pour le (4 p 3)-gone cyclique on a finalement
Uép-i-é = W j et U4<p-{-5 — U4p-\-4 = U 2 — U j , par conséquent:
Ces deux congruences étant successivement multipliées par
2( — 4)p et i (6( — 4)^ — 1), on obtient par soustraction o
et par suite :
m2 = w, -+- «co: i- (24?+3 + (— 4)/h-i + 1) j
L (24?+3 + (- 4)p+1 -+- i)2 2p+i+pa>: 2%’+1 ]
Il est à remarquer que le (4 p + 2)-gone cyclique du second ordre, après le choix d’un des sommets, ne dépend plus, tout comme les polygones du premier ordre, que d ’un seul paramètre a, tandis que pour la détermination des autres polygones du second ordre on peut encore disposer, à volonté, du facteur (t.
JAN DE VRIES
24. Aux polygones cycliques du second ordre s’appliquent, en ce qui concerne leur division en espèces, les remarques faites plus haut, à propos des polygones du premier ordre.
Lorsque, par exemple, le polygone a un nombre de côtés égal à un nombre divisible, son groupe cyclique renferme les groupes cycliques correspondant aux diviseurs de ce nombre. C’est ainsi que le groupe du dodécagone, dont le nombre des points s’élève à
est composé de 5 groupes cycliques pour l’hexagone, mais aussi de 13 groupes pour le tétragone; le facteur 3 ne compte pas, vu l’impossibilité de l’existence de triangles cycliques du second ordre.
Les fonctions ci-dessus trouvées pour le nombre de points des groupes cycliques peuvent toutes être exprimées au moyen de la fonction <r. On a alors cette règle:
25. Pour les 'polygones cycliques du second ordre} le nombre des points qui forment le groupe cyclique est représenté par:
5 g (p) = Ap — ( — Ï)P pour le 4 p-gone,
2 (T (2 p) h- ( — 1 )p . 2 <T (p) -j- 1 pour le (4 p -j- l)-gone,
4 (T (2 p) q- 1 pour le (4 p -f- 2 )-gone,
2 (7 (2 p -h ]) + ( — l)v + 1.iî(p + l) pour le (4p -h 3 )-gone.
26. La complication des résultats obtenus pour les polygones cycliques du second ordre ne présage rien de bon quant à l’étude des polygones cycliques d’ordre i supérieur ; déjà pour i = 3, je n’ai plus réussi à trouver des expressions générales pour le nombre des points du groupe cyclique. Par contre, lorsque chaque sommet d’un polygone à côtés en nombre impair a son point tangentiel situé sur le côté opposé, ou
POLYGONES CYCLIQUES, ETC
lorsque ce point, dans un polygone d’un nombre pair de côtés, se trouve sur un côté limité par le sommet opposé, ces deux cas peuvent être traités d’une manière tout à fait générale ; je désignerai ces polygones sous le nom à’ antipolygones cycliques.
27. Lorsque, dans un (2 n -b l)-gone, le côté m m + i porte le point tangentiel de ui—n, il est satisfait au système:
Pose-t-on un + \ = ux+tJ ia première de ces congruences donne
Un -f- 2 — — — U j 1^
la (n -j- 2)ième congruence
2 ux
U2=2 Un + 2 — U , = U , — 2 t, la 2ième congruence
Un + 3 = 2 u2 — Un + 2 = U , — 3 t,
la (n -b 3)ième
U 2 2 Un + 3 — U 2 = U j — 4 t J
par conséquent, en général, pour k<n,
Un H- k == u } — (2 h— 3) t ) Uk = u l — (2 k — 2) t i
On trouve donc:
U2n = u , — (2 n — 3) t et uu = ui—(2n~2) t. De la dernière congruence de (52), il suit alors 2 U2n -p 1 = 2 w, — (2n— 3) t ,
et de la ^ième
JAN DE VRIES
par conséquent
c’est-à-dire
donc, en général,
(2 n -h 1) t = 0 (mod. co)
£ = a oo : (2 n + 1),
uk = ul — (2 k — 2) a œ : (2 n -p 1) . (53)
On a maintenant
-+- i = 4 n oc co : (2 n + 1) = w, + 2 « w : (2 n + 1).
On trouve le même polygone, parcouru en sens opposé, au moyen du facteur p, pour lequel
u j 2 a œ : (2 7i -p 1) = u j -p |î co i (2 ïi -p l)j de sorte que
p = 2 a (mod. 2 n -p 1).
Le nombre des différents (2 n -p l)-gones proprement dits (car, dans le cas où 2 n -p 1 est divisible, le groupe cyclique fournit aussi des polygones d’un nombre de côtés moindre) s’élève donc, pour chaque point du groupe, à ^qp(2n-pl).
Chaque point de la courbe appartient à j (p (2 n -P 1) différents (2 n -P 1 )-gones cycliques , dans lesquels le point tangentiel de chaque sommet se trouve toujours sur le côté opposé.
28. Pour que, dans un polygone à 2 n côtés, le côté Un + i — 1 Un + i passe par le point tangentiel de Ui , il faut qu’il soit satisfait au système:
