U , =Un + Un
2 U2 =Un + 1 -h Un + 2 j
2 Un + 1 = U2n -p U{ (54)
2Un+ 2 = Ul -p U 2 l
2u2n =Un—\ + Un
POLYGONES CYCLIQUES, ETC
Si Ton pose Un + i = w, t, la première congruence de ce système fournit:
Un ... U |
la (n -h l)ième
U2n = ux -h 2 t ,
la 2 wième
la nième
la (2 n — l)ième
Un — 2 = UX — 13 t ,
la (n — 1 jième
U2n—2 = Ul -+- 14 t.
Eu égard à la série de différences :
— Un
— Un-
— Un -
il y a lieu de supposer:
Un — k = U { -|- Ÿ (1 *+* ( — 3)* + ■*) t )
U2n— Je = U , + | (1 — ( — 3)* + 1) t \
En substituant ces expressions dans la (2 n — Æ)ième et la (n — &)ième congruence, on obtient :
Un — Je — 1 == U j -J- ^ (1 + ( — 3)^ + 2) t I
««-i-is#, + i(i — (— 2)*+2>< r
ce qui prouve la légitimité de l’hypothèse.
Si l’on prend les expressions correspondantes pour u.z et Un + 2, et qu’on les substitue dans la {n + 2)ième congruence,
il vient, après réduction:
i (1 + (— 3)») t = 0 (mod. c o) (55)
En posant, pour abréger,
JAN DE VRIES
on déduit, de ce qui précède,
«*■ = «. + (— 1)B — * + 1 X (» — i + 1) au>-x(n)l /g7)
(où -i = 1 jusqu’à n).
29. Pour que le groupe cyclique d’un anti-2 w-gone fournisse aussi des anti-2 v-gones, il faut que le côté uv uv + 1 du 2 v-gone puisse être considéré comme le côté d’un #-gone parcouru m fois ; on doit par conséquent avoir v -h m . 2 v = n, ou ü = n:(2m + l). Le groupe de l’anti-octogone ne comprend donc pas de tétragones; on en rencontre, au contraire, dans le groupe du dodécagone.
30. Si, dans le groupe cyclique, ui,n + i est le paramètre du point dont le point tangentiel se trouve sur la diagonale principale m un + i d’un anti-2 w-gone, on a, d’après (57) :
2 ui,n + i = 2 u t -h a œ : / (n) ( 58)
c’est-à-dire : les diagonales principales concourent en un point de la courbe.
31. De même que pour les polygones cycliques du premier ordre, on prouve aisément pour les antipolygones la propriété que les diagonales m m + k passent par les points tangentiels des sommets d’un nouveau polygone, appartenant au même groupe* L’intersection des diagonales principales du polygone dérivé est le point tangentiel du point v pour lequel
tandis que
2 V = U\} 1 H- k H- Un + 1, n + 1 + K
2 m, i + * = wi -h u\ + k
2 Un + 1, n + 1 + k = Un + 1 + Un -|- 1 + Æ,
de sorte que :
4 V = (u , -h Un + l) {u\ + lf. 4- Un : -f- 1 + l) \ et par conséquent, d’après (58)
2 v = 2 u j -+- a co : % (n)
POLYGONES CYCLIQUES, ETC
Ainsi: Tous les polygones dérives , au moyen des diagonales , d'un antipolygone d’un nombre pair de côtês} ont en commun avec le polygone primitif le point d’intersection des diagonales principales.
32. Pour l’anti-octogone on a m5=w, + a œ : 41. Si de l’octogone correspondant à une valeur déterminée de a on en déduit un second à l’aide des diagonales m m + 2, puis de ce second, de la même manière, un troisième polygone, et ainsi de suite, il se trouve que l’octogone ainsi obtenu au moyen du cinquième est identique au premier. En désignant les sommets de ces octogones par les coefficients de a œ : 41 dans l’expression de leurs paramètres, le groupe fermé des cinq anti-octogones en question est représenté par le tableau suivant :
Le 41ième point du groupe u , + — a œ est le point anti-
tangentiel de l’intersection commune des 20 diagonales principales.
33. Que les antigroupes cycliques ne fournissent pas tous un semblable système de polygones à point d’intersection commun pour les diagonales, c’est ce dont on s’assure de la manière suivante.
Si p est un nombre premier, le théorème de Fermât donne : Sp~ 1 = 1 (mod. p),
d’où résulte
l (p) =5 1 (mod. p).
POLYGONES CYCLIQUES, ETC
Lorsque n est une puissance de 2, en sorte que q>(n) — i n, de = 1 (mod. n ) il suit de nouveau
X (n) = 1 (mod. n).
En tout autre cas, on a, ou bien y(2n) = \ (S2/l — 1) -{- 1, ou bien y^+\) = | (32^+1 — 3) H- 1, et en outre, respectivement, 3? (2 n) -=z 1 (mod. 2 n) ou 3t(2« +!) = 1 (mod. 2 w + 1). Mais alors cp (2 n) n’est pas un diviseur de 2 n, ni q> (2 n + 1) un diviseur de 2 n + 1, de sorte que y, d’après le module 2 n ou 2 n 4- 1, est incongruent avec 1. CJn groupe fermé de polygones, tel que celui trouvé ci-dessus pour l’octogone, n’est donc possible que dans le cas où n est un nombre premier ou une puissance de 2.
34. Chaque point de la courbe appartient à qp(|(3w+ ( — 1)^)) anti-2n-gones différents; les diagonales principales de chacun de ces polygones se coupent en un seul et même point de la courbe.
