QUELQUES CONFIGURATIONS PLANES CONNEXES, 1)E POINTS ET DE COURBES

PAR

1. Trois couples de points 12,(12); 13,(13); 14,(14), placés sur trois rayons qui convergent vers le point 1, déterminent quatre couples de triangles perspectifs :

Si l’on désigne par i k le point d’intersection des droites lik = Q% 1 k) et i k (1) = ((1 i), (1 Je)), et par (i k) le point d’intersection des droites 1 i (k) = (1 i, (1 Je)) et 1 k (i) = (1 k, (li)), les quatre axes de perspectivité contiennent successivement les points:

La figure contient maintenant, outre le point 1 et ses trois rayons, 6 points i k et 6 points (i k ), qui sont situés de telle

Archives Néerlandaises, T. XXV. 3

JAN DE VRIES

sorte sur 16 droites (12 côtés de triangles et 4 axes) que, ou bien les points ik, il, Ici, ou bien les points ik, (U), {kl) se trouvent en ligne droite; les 4 droites de la première espèce seront désignées par i kl, les 12 droites de la seconde espèce par ik(l). Les 12 points et les 16 droites en question forment la configuration représentée par le tableau suivant.

Droites.

Points.

Il est facile de voir que cette configuration est identique avec celle, (124, 163) A, que j’ai considérée dans mes articles V0ver vlakke configuraties ” ( Versl . en Med., T. V, p. 105, tableaux A et B) et „ Ueber gewisse ebene Conügurationen ” {Acta mathematica , T. XII, p. 63). Evidemment, chaque (12 4, 16 3) A peut être construite comme ci-dessus, parce que ses 18

SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC

diagonales concourent, trois à trois, aux 12 points de la. con-

figuration associée ( l . c .).

2. Lorsque n — 1 rayons menés par un point 1 portent successivement les n — 1 couples de points 1 i, (1 i), où i = 2, 3, 4 . . . n, la considération analogue des couples de

de triangles 1 iJc, i k (1), li(Æ), 1 Jc(i) forment alors, avec les 2 (n — 1) points 1 i, (1 i) et les ( n — 1) ( n — 2) points ik, (ik), une configuration

En effet, par chacun des points 1 i, (1 i) passent 2 ( n — 2) droites se rendant aux autres points collinéaires avec le point 1, tandis que chacun des points i k et (i k) (où i z=z 2 jusqu’à, n, k~ 3 jusqu’à n) est situé sur deux de ces droites de jonction et sur n — 3 couples d’axes de perspectivité, correspondant aux n — 3 configurations (12 4 , 163)^1 auxquelles ce point appartient. Je représenterai la nouvelle configuration par le signe On ; comme le montre sa notation, elle est régulière et doit donc, outre le point 1, posséder encore d’autres points diagonaux multiples, de l’ordre n — 1. Or, les points 1, i k, (ik) sont les sommets accessoires du quadriangle complet à sommets 1 i, 1 k, (1 i), (1 k) ; la diagonale de cf. 1 i . (1 i) est donc coupée par la diagonale de cf. i k . (i k) en un point i, que le point 1 sépare harmoniquement des points 1 i , (1 i). Cela étant vrai pour chaque valeur de k qui diffère de 1 et de i, le point i supporte, tout comme 1, n — 1 diagonales de cf., et peut par conséquent, dans la construction de on, prendre la place de 1.

JAN DE YRTES.

3. Si les centres de similitude de deux cercles à .centres i, k sont représentés par i k et (i k), et les axes de similitude de trois cercles i, k, l par i kl ou i k{l) suivant qu’ils contiennent 3 centres de similitude extérieurs (i k) ou un point i k avec deux centres de similitude intérieurs (i k) alors, ces points et ces droites, pour n cercles situés dans un plan, forment évidemment une configuration dont les n centres sont les n points diagonaux multiples de l’ordre n — i. Réciproquement, toute an peut être considérée comme le complexe des centres de similitude et des axes de similitude de n cercles. En effet, si des points 1, 2. . . n comme centres on décrit des cercles avec des rayons r,,r2. . . rn, tels qu’on ait r, : = (1 . 1 i) : (i . 1 i), les points 1 i, (1 i) sont les centres de similitude déterminés par les cercles 1 et i, et comme la configuration an peut être construite sans équivoque au moyen de ces 2 (n — 1) points, elle est identique à la configuration qui correspond aux n cercles.

4. Dans la configuration an est naturellement comprise toute dp pour laquelle la notation des éléments exige p des nombres 1 à n. Pour la configuration <r4 =(124, 163) A, qui est représentée à l’aide des nombres i, j, k , l, quatre points de la associée (points diagonaux triples) sont situés aux points i , jf k , ly points diagonaux multiples de l’ordre n — 1 de la configuration an\ celle-ci a donc, eu égard aux huit autres

points diagonaux triples de chacune des configurations

<t4 qu’elle comprend, 8 points diagonaux triples.

Toute configuration

dont les 'points peuvent être représentes par les signes i k, (i k) et les droites par les signes i kl et ik{l ), de telle sorte que la droite i k l porte les points i k, i ly k l et la droite i k(l) les points i k ,

(il) y (kl), possède 8 points diagonaux triples et n points

SUE UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC

diagonaux multiples de F ordre n — 1; ces derniers sont les centres de n cercles , dont le rapport des rayons est donné par la configuration, et dont les centres de similitude et les axes de similitude coïncident avec les éléments de cette configuration.

5. Le point 1 étant déterminé par deux données simples, chacun des n — 1 rayons issus de 1 Tétant par une seule donnée, et chacun des 2 (n— 1) points de la <r» situés sur ces droites également par une donnée, on peut, pour construire la configuration, prendre arbitrairement 3 n — 1 données ; pour les valeurs paires de n, elle pourra donc être déterminée par l (3 n — 2) points choisis à volonté et par un point situé sur la droite joignant deux de ces points; pour les valeurs impaires de n, on peut prendre arbitrairement \ (3 n — 1) points de la <T n. A la suite de M. Burmester 1 ), je désignerai un pareil groupe de points, par lequel la configuration est déterminée sans équivoque, sous le nom de constellation.

Pour le quadrilatère complet a 3 , la constellation consiste en deux couples de sommets opposés, par exemple 12, (12); 13, (13). Si à ces quatre points on ajoute les points 14, (15), 45, les sept points déterminent une <r5 ; en efîet, les droites 12 (12) et 13 (13) se rencontrent au point 1, qui avec les points 45, 14, (15) donne naissance au quadrilatère dont les points 15 et (14) sont le troisième couple de sommets opposés. De la même manière, l’adjonction de 16, (17), 67 donne en même temps les points (16), 17, et par conséquent une <r7.

Pour les points 12,(12), 13, (13), 14, 34 forment une constellation; en effet, le point 1, trouvé comme ci-dessus, projette le point 14, sur la droite qui joint les points (13), 34, au point manquant (14). Si à cette constellation de six points on adjoint les points 15, (16), 56, ce qui fait connaître en

i) LJeber die momentané Bcwegung ebener kinematischer Ketten (Givilingenieur, Bd. XXVI, 1880). Les systèmes de centres momentanés, dont il est question dans ce travail de M. Burmester, appartiennent aux configurations polyédrales planes. Voir mes travaux sur les configurations combinatoires publiés dans les Math. Annalen , T. XXXIV et XXXV.

JAN DE VKLES.

outre, à l’aide de L, les points (15), 16, on obtient la constellation à neuf points de la configuration o6. En général: La cf. a2}?i est déterminée par la constellation:

12, (12), 13, (13), 14, 34, 15, (16), 56, ... 1 [2 « - 1], (1[2 i]), [2i — J] [2i] . . . 1 [2m — 1], (1 [2 m]), [2 m— 1] [2m], la cf. G2m+i par la constellation :

6. La configuration o4 = (124, 163) A comprend douze quadrilatères complets; de ceux-ci, quatre sont représentés, dans la notation ci-dessus indiquée pour la gu, à l’aide de trois nombres, tandis que les huit autres exigent chacun quatre nombres ; un quadrilatère de la seconde espèce, compris dans Gn, n’appartient donc qu’à une <j4, tandis que la f>3, qui est désignée par les nombres 1, 2, 3, se trouve dans chacune des n — 3 cf. (7 -j dont la notation contient les nombres 1, 2, 3, i.

teres com -

Dans toute Gn sont compris (2 n — 5) quadrilath

2) de ces quadri-

plets.; chaque point de g% entre dans (2 n — 5) [n latéres, chaque droite dans 2 n — 5 d’entre eux.

Parmi les o3 à quatre nombres, il y en a qui possè-

dent uniquement des points i k, et par conséquent uniquement des droites ihl , de sorte que leur notation est celle

usitée pour une 7t4 ]); il y en a, ensuite, qui sont

formées de trois points i k situés en ligne droite et de trois

points (i k), tandis que les autres g3 possèdent chacune

deux sommets opposés i k.

i) Comp. mon Mémoire „Oye/* vlakke polyedrale configurât ies ” ( Ver si. en Med., T. VI, p. 8) ou ,,Ueber polyedrale Gonfigurationen " {Math. Analen , T. XXXIV, p. 227).

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7. Dans <% le point 12 est séparé de (12) et des (n — 2) (n — 3) points i Je, ( i Je), (où i = 3 jusqu’à n, Je = 4 jusqu’à n), par conséquent aussi des droites iJcl, iJe {]), désignées par les nombres 3 à n; en d’autres termes:

Toute (în—2 comprise dans est la figure résiduelle commune des deux points indiqués par les deux nombres qui n'entrent pas dans an- 2.

8. Avec les n — 2 droites 12 i de la configuration on et les points portés par ces droites on peut évidemment former

a) configurations combinatoires tïp. Si dans le tableau

de chacune de ces np on remplace une ou plusieurs droites 12 i par le même nombre de droites 12 (i), — en ayant soin de remplacer par des points ( i Je) autant de points i Je qu’il est nécessaire pour que la notation des droites, propre à an, soit conservée, — on obtient chaque fois une np appartenant à on. Par conséquent, le point 12 entre dans.

configurations np. Comme on renferme n (n— 1) points, et que

chacune des np qu’elle comprend est portée

fois en compte

lorsque la considération ci-dessus est appliquée à tous les points de la <TW, le nombre des np appartenant à an devient égal à :

n (n — 1) ^ . 2 p~2 : . 2 P~l. On doit prendre

ici p > 4, parce que <y», ainsi qu’on l’a vu plus haut, contient aussi des quadrilatères, dont la notation ne demande que trois nombres. Par conséquent:

Toute configuration an contient (;) . 2p— 1 configurations nr ( p > 4).