IA

-g- - 2 /> (2 — 1) (2 p — 2) -4p(2ÿ — 2) = -gp(p— 1) (p— 2) droites qui restent, une configuration

SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC

11. Par le signe (123) je représente la g3 qui exige les nombres 1, 2, 3 pour la notation de ses éléments. Dans la configuration <j9, les configurations (1 2 3), (4 5 6), (7 8 9) sont donc évidemment séparées l’une de l’autre. Chacun des 18 points appartenant à ces trois configurations est situé, en outre des deux droites faisant partie de la g3, sur 12 autres droites de la g9, et par conséquent collinéaire avec 24 points de cette dernière configuration. Les 54 autres points de g9 supportent donc chacun 18 x 24 : 54 ” 8 des droites en question, par conséquent 6 des autres droites de la g9. Après suppression des 3 configurations r» 3 , il reste donc une (54 6, 108 3).

Si les nombres de 1 à n p sont rangés en p groupes, chacun de n nombres, les p configurations désignées par ces groupes et comprises dans Gnp sont séparées l’une de l’autre. Chaque point d’une pareille Gn supporte alors, outre les 2 n — 4 droites appartenant à cette <j», 2n(p—l) droites 1. Les p.n(n — 1). 2 n (p — 1) droites 1 de la Gnp contiennent chacune encore deux points p de cette configuration ; il en résulte que chacun des np(np — n) points p est situé sur 2p.n(n — l)2n(p — 1) :np(np — n) ou 4 n — 4 droites 1, et par suite sur (2 np — 4) — (n — 4) ou 2 n (p — 2) droites ne supportant aucun point de quelque Gn.

En conséquence :

Si d’une configuration Gnp on enlève les éléments de p configurations Gn n’ayant , prises deux à deux, aucun nombre commun dans leur notation, il reste, après séparation des droites qui convergent vers les points de ces Gn, une configuration

Dans ce résultat est évidemment compris, pour n — 2, le cas particulier traité au n° 10.

12. En considérant que les deux g4 désignées par 1 2 3 4) et (1 5 6 7) n’ont aucun élément commun, on reconnaît que, pour w=3m + l, tout nombre peut être combiné avec m groupes de trois nombres en autant de configurations <r4 sé-

JAN DE VEIES

parées Tune de l’autre; pour qu’il soit possible de trouver

ainsi un tableau de (n — 1) configurations <r4 séparées, il

faut qu’on ait n = 12 k -h 1 ou n — 12 h -b 4. La construction d’un pareil tableau a lieu de la manière dont j’ai formé, dans mon Mémoire Ueber polyedrale Configurationen (Math. Ann., XXXIV, p. 240), les groupes dits „ groupes principaux” de 7r4. Je donne ici deux de ces tableaux, pour les valeurs les plus petites que n peut avoir d’après ce qui précède, à savoir, pour nzzz 13 et ?ir=16; les quatre nombres de chaque <r4 y sont placés dans la même colonne verticale.

Si dans chaque <r4 d’un pareil groupe on supprime un quadrilatère principal, par exemple dans (1 2 3 4) le quadrilatère principal 1 2 3, 14 (2), 24 (3), 34(1), — suppression par

laquelle an perd en tout-^-7i (n — 1) droites séparées l’une de

l’autre, dont l’ensemble porte tout les points de la configuration, — il en résulte une configuration aux indices 2 n — 5 et 3. Enlève-t-on, au contraire, toutes les droites des différentes <r4, de sorte que chaque point de la a» perde quatre droites, on obtient une configuration aux indices 2 n — 8 et 3.

SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC

Pour n = 1 ou 4 (mod. 12), possède des groupes principaux de <r4 c’est-à-dire , des groupes de <y4 gm, dam ter ensemble , contiennent tous les points de la an. Si dans chaque a4 du groupe on supprime un quadrilatère principal , ew résulte une confi-

guration

Çn [n — 1)2 w— 5, i w — 1 ) (2 n— 5) 3 ^ ; enlève-t-on toutes les droites du groupe , ^ reste -am (n(n— 1)2»— l)(m- 4)3)-

Les considérations ci-dessns peuvent être étendues au cas où n = 1 (mod. p — 1). En plaçant, derrière chaque nombre, (n — 1) : (p — 1) groupes différents de p — 1 nombres, on pourra former un groupe de n (n — 1) : p (p — 1) configurations ap séparées, si n ( n — 1) est divisible par p (p — 1). Enlève-t-on alors à chaque ap du groupe les droites de la configuration, chaque point de an perd 2 p — 4 droites, et reste donc situé 2 2

sur 2n—2p des — n (n — 1) (n— 2) — n (n — 1) (p — 2) autres

droites.

Pour n — 1 divisible par p — 1 etn (n — 1) divisible par p (p — 1), $n possède des groupes principaux de ap ; en supprimant toutes les droites d’un pareil groupe , on arrive à une configuration

fn(n— l){n-p)A ■

13. Si dans le tableau (2) on regarde chaque nombre comme la notation d’un point, les 13 colonnes donnent la notation des droites d’une configuration 134, qui, ainsi qu’il est facile de le voir, ne saurait être entièrement réelle. En effet, par la suppression d’un de ses points et des quatre droites qui

JAN DE VRIES

s’y rencontrent, on obtient une (12 3J 94), la figure réciproque de la configuration des points d’inflexion de Hesse, qui contient tout au plus trois points réels ; si dans cette figure on omet une droite et les quatre points que celle-ci supporte, il en résulte la 83 en partie réelle, déjà remarquée par Cayley (Crelle, XXXVIII, 1848).

14. Incidemment, je montrerai qu’on ne peut trouver non plus une 144 réelle. Chaque point d’une 144 n’est séparé que d’un seul point de la configuration; supprime-t-on un pareil couple de points, ainsi que les huit droites qu’ils supportent, il reste une configuration (12 2, 64), c’est-à-dire, la configuration qui résulte de la (152, 6-) quand on retire de celui-ci trois points isolés l’un de l’autre. Dans la configuration (12 2 , 64) à droites a, 6, c, d , e , /, qui ne contient pas les points ad, b e, cf, le point a b est séparé de cd, ce, de, df, ef, de sorte que les trois points a b, cd, ef peuvent être conçus reliés à un nouveau point x, les trois points a b, ce, df à un nouveau point y . De cette manière, on trouve quatre droites pour x et quatre pour y, qui passent chacune par trois points de la (12 2, 64) et forment avec cette configuration une 14 4. On obtient ainsi le tableau (4), où les points de la 14 4 sont désignés par les nombres 1 à 14.

jl3

Or, les quatre points 2, 4, 6, 13 sont projetés du point 1 dans les points 2, 5, 12, 9, et du point 14 dans les points 2, 9, 5, 12. Si l’on représente par « le rapport anharmonique de 2, 5, 12, 9, le rapport anharmonique de 2, 9, 5, 12 est égal à (« — 1) : a ; comme de a — (a — 1) : « il résulte a2 — a + l=iO. les points 2, 5, 9, 12 forment un groupe équianharmonique.

SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC

15. A toute configuration <t4 =(124, 16 3) A peut être circonscrite une courbe du troisième degré à deux branches 1 ) ; si pour chaque o4 appartenant à Gn on construit la courbe corres-

pondante, il en résulte une figure dans laquelle

cubiques

supportent chacune douze des n ( n — 1) points, de sorte que

/ yi 2 \

chaque point de gu se trouve sur f j de ces courbes et

que les six points d’une g3, comprise dans an et représentée par trois nombres, sont situés sur n — 8 de ces courbes. Pour <ï5 on trouve de cette manière la configuration cubique (20 3 , 5l2) du tableau (5).

Groupes de douze points.

. Les 'points d’une configuration an forment, avec les cubiques à deux branches qui sont déterminées par les g4 comprises dans Gn, une configuration :

16. Les points de chaque (92,63)A appartenant à o4 forment, avec trois points de la <r4 associée, une nouvelle o4 2);

1) Comp. mon Mémoire „Over vlakke configuraties ” ( Versl . en Med., T. V, p. 112) ou Acta Math., XII l.c.

2) Acta Math., XII p. 72.

JA N DE Y RIES

deux (t4 associées donnent donc lieu à 32 configurations de la même espèce, qui contiennent chacune neuf points de l’une des deux configurations et trois points de l’autre. En outre des deux K 3 appartenant à la primitive, il y a donc encore 32 cubiques, qui supportent chacune douze points de la configuration. A l’aide de la notation employée dans le Mémoire qui vient d’être cité, on trouve pour la configuration des 24 points et des 32 cubiques le tableau suivant, où chaque ligne horizontale contient les douze points d’une K3.

SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC

En ayant encore égard aux deux cubiques déterminées par les deux <r4 associées, on arrive à la conclusion suivante :

Les points de la configuration harmonique (24 3, 18 4) forment avec 34 courbes à deux branches du troisième degré unecf( 24, 7, 34, 2), de laquelle peut naître , par suppression de deux cubiques déterminées, une cf. (24, 6, 32 j 2 ).

Les 32 K3 ci-dessus représentées se laissent ranger, comme le montre le tableau (6), en 16 couples, de manière que les deux courbes de chaque couple supportent tous les points de la (243,184). De la configuration cubique (24l6,32l2) on peut donc déduire des configurations plus simples, en y supprimant un ou plusieurs couples de courbes.

17. Dans la configuration <r4, la figure résiduelle de la droite 1 1' 1" est composée des droites 2 3' 4", 2 4' 3", 3 4' 2", 3 21 4", 4 21 3", 4 3' 2" (notation du Mémoire cité des Acta Math.); ces droites forment, dans cet ordre de succession, les côtés d’un hexagone dont les diagonales principales 22', 4'4, 33' se rencontrent au point 1", et elles sont donc tangentes à une conique, qui peut être représentée par le signe (111). Les 16 droites de la <r4 enveloppent par conséquent, par groupes de six, 16 de sorte que chaque droite touche 6 Pour la figure réciproque de la

JAN DE VRIES

<t4, c’est-à-dire pour la configuration 2’4=(163j 124) A, on a donc ce résultat:

Les 'points d’une 2 ,v forment avec seize coniques une configuration conique 16 6.

Le tableau suivant s’applique aux deux cf. 16 G ; la première colonne contient les 16 coniques, les autres ont rapport ou bien aux droites de la <r4, ou bien aux points de la

Puisque chaque droite de la on appartient à n— 3 configurations <ï4, les groupes de seize coniques tangentes, déterminés par les ^ ^ ^ cf. <ï4, formeront, avec les 4^^ droites

de la an , une configuration dans laquelle chaque conique est touchée par six droites, tandis que chaque droite figure 6(n — 8) fois comme tangente. Pour la figure 2n , réciproque de an , on a donc cet énoncé:

SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC

Les points d’une Zn donnent lieu à une configuration conique

18. Si 1, 2, 3, 4, 5, 6 sont six points conconiques de la serpentine d’une cubique à deux branches, la conique K2 qui contient un point antitangentiel de chacun des points 1, 2, 3, 4, 5 passera par l’un des points antitangentiels de 6, puisque les points tangentiels de six points conconiques forment à leur tour des groupes coniques de six points; les 24 points antitangentiels sont donc situés, six à six, sur 4 5 coniques. Lorsque les six points conconiques appartiennent à une K 3 à une seule branche, de sorte que chacun d’eux ne possède que deux points antitangentiels réels, il n’y a que 2 s coniques. Par conséquent:

Les points antitangentiels de six points conconiques de la serpentine d’une cubique forment avec 1024 coniques une configuration (24 2 5 6? 10246).

Lorsque les six points appartiennent à une cubique à une seule branche , elles donnent lieu à une (12, 6, 32 6) conique.

Cette dernière configuration fait naturellement partie de la première ; en effet, si dans la courbe à deux branches on fait abstraction des points de contact situés sur l’ovale, les douze autres ne détermineront que 32 coniques ; il en sera d’ailleurs de même si d’un nombre pair de points on prend les points antitangentiels sur l’ovale, ceux des autres sur la serpentine. Les configurations ci-dessus trouvées dégénèrent évidemment en deux cf. <r4, ou deux cf. <i3, dès que la K2 des six points se réduit à deux droites.

19. En faisant usage d’une propriété que j’ai démontrée ailleurs, et suivant laquelle la droite, qui joint un point quelconque d’un groupe oscillatoire de l’ordre n à un point d’un groupe de la même espèce, rencontre la cubique en un point

Archives Néerlandaises, T. XXV. 4

JAN DE VRIES

dont le nième point résiduel est situé en ligne droite avec les points résiduels des groupes en question 1 * * ), on peut construire des configurations coniques de nature plus compliquée.

Si (12), (34), (56) sont les points où K3 est coupée par les droites 12, 34, 56, il suit de la situation conconique des points 1 à 6 que les points (12), (34), (56) sont collinéaires. Représente-t-on maintenant par in un mème point antirésiduel de i, c’est-à-dire, un point du groupe oscillatoire de l’ordre n dont i est le point résiduel, alors, d’après la propriété cidessus rappelée, la droite 1»2 » passe par un des points (12V, et la droite 3» 4» par un des points (34)» ; de plus, la droite (12)» (34)» passe par un des points (56)», et par conséquent la droite (5)» (56)» par un des points 6»; en d’autres termes, toute conique qui contient un point de chacun des groupes osculatoires déterminés par 1, 2, 3, 4, 5, passe par un nième point antirésiduel de 6. Le même raisonnement s’appliquant aux anticentres , c’est-à-dire aux points des groupes centraux dont les points 1, 2, 3, 4, 5, 6 sont les centres de l’ordre m, on a cet énoncé général:

Si, pour six points conconiques d'une cubique à une branche, on construit les groupes osculatoires de l’ordre n, les points de ces groupes forment avec un système de coniques une configuration

En déterminant pour chacun de ces six points les groupes centraux de l’ordre m, on trouve une configuration conique

Ces considérations s’appliquent aussi à six points conconiques de la serpentine d’une cubique à deux branches, pourvu que, pour une valeur impaire de n , un nombre pair des points conconiques soit pris sur la serpentine ; pour les valeurs

i) V oir ,,Ueber gewisse der allgemeinen kubischen Gurve eingeschriebene

Configurationen” (Wiener Sitz. ber. T. XCVIII, p. 457) ou,, Over vlakke

configurables , welke uit osculatiegroepen der kubische kromme kunnen

gevormd worden ” ( Versl . en Med. T. VI, p. 237).

SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC

paires de n, un nombre pair des points conconiques peut appartenir à l’ovale. (Voir p. 236 du Mémoire cité en dernier lieu).

20. En représentant, comme ci-dessus, par (iJc) le point d’intersection de K 3 avec la droite qui joint les points i et Je, il suit de la situation conconique des points 1, 2, 3, 4, 5, 6 que les points (i Je), ( Im ), (np) se trouvent en ligne droite, de sorte que les 15 points ( i Je) appartiennent à une configuration 15 3, de même espèce que la 15 3 atrigonique de M. Martinetti 1 ). Cette configuration possède 6 pentagones principaux, que je représenterai par a, b, c, d, e, f. Comme chaque droite de la configuration appartient à deux de ces pentagones, les 15 droites de la configuration peuvent être désignées par les combinaisons deux à deux des six lettres ci-dessus. On arrive ainsi, pour cette 15 3, au tableau suivant :

Droites. | (ab)

( ef )

(cd)

(df)

(ac)

(be)

(ad)

(bd)

(ae)

(cf)

(af)

(bc)

(de)

Points. (34) (56)

La figure résiduelle de la droite (a b) est une (12 2, 83) A, avec les droites ( ac ), (ad), (aé), ( af ) et ( bc ), (bd), (be), (bf). Le point d’intersection des droites (ac) et (bc) étant représenté par le signe (a b) c, les deux groupes de quatre droites, qui viennent d’être indiqués, forment la (16 2, 84) A suivante:

J) „Sopra alcune configurazioni piane ” (Annali di Matematica, XIV. p. 173). La construction de cette configuration, indiquée ci-dessus, m’a été communiquée en janvier 1889 par M. le Dr Schoenflies, en même temps que la construction d’une 27, , dont il sera question plus loin.

\ (26) (14) (35) (ab)d I

f{ab)e (36) (24) (15) \

\ (45) (ab)f (16) (23) !

(Chaque ligne et chaque colonne de (9) contient les points d’une droite de la configuration).

Comme les points de cette configuration forment la base d’un faisceau de courbes du quatrième ordre, et que douze de ces points sont concubiques, les quatre autres sont situés sur une droite, que je représente par a b; on a alors

Par rapport à cette droite, les quadrilatères ((a c), (a d ), (ae), ( af )) et {(b c), {bd), ( be ), ( bf )) se trouvent en situation linéaire; en conséquence, les six droites qui joignent les sommets correspondants se rencontrent, trois à trois, en quatre nouveaux points. Ces six droites de jonction sont évidemment :

Les quatre points en question peuvent être indiqués par cde = (cd, de, ec) etc. Les 60 points ( ab)c etc. et les 20 points abc etc. forment, avec les 15 droites (a b) etc. et les 15 droites a b etc., une configuration (803, 308), dans laquelle {a b) c supporte les droites a b, {a c), {b c), et abc les droites a b, ac, b c; cette configuration est donc l’analogue réciproque de la configuration combinatoire <r6.

Les 15 droites et les 60 points accessoires de la 15 3 atrigonique appartiennent à une configuration ^6. Les 15 nouvelles droites et les 20 nouveaux points de cette configuration forment la figure réciproque d’une nG.