Si 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sont les points d’intersection
cd = ((c d) a, ( c d) b) c e = ((c e) a, (c e) b) ef = {{ef)a, ( cf)b )
«/==((«/) a, (ef)b) df=((df)a, ( df)b ) de = {{d e) a, (d e) b)
SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC
d’une courbe du quatrième degré et d’une conique, et qu’on désigne par (ik)1 et (iJe)2 les points communs à et à la droite qui joint i et Je, les huit points
(ik),, (, Im )„ (np),, ( qr ), ; {i h)%, (lm)2, ( np)2 , (qr)2
sont également conconiques Les 28 droites i Je déterminent par conséquent 8 ! : 2 4 . 4 ! = 105 coniques, de sorte que les 56 points (i Je) appartiennent à une configuration conique (56, 5, 1058). Pour une Kn, on trouve, de la même manière: Si un polygone à 2 n angles est inscrit simultanément dans une courbe du degré n et dans une conique, ses n(2n — 1) côtés déterminent, sur la courbe Kn, n (2 n — 1) (n — 2) points, qui forment avec (2 n) ! : (2 n .n !) courbes du degré n — 2, une configuration pour laquelle V indice des points est (2 n — 2) ! : (2*— 1 . (n — 1) !) et V indice des courbes n(n — 2).
Lorsque la conique dégénéré en deux droites, on obtient une configuration
22. Lorsque les points d’une configuration inscrite dans K, sont projetés sur cette courbe par rapport à trois de ces points, 1, 2, 3, situés en ligne droite, les neuf projections de chaque groupe de trois points collinéaires de la configuration forment une configuration atrigonique (92, 63) avec les droites
Chaque point d’une configuration (3 px, px3) 1 ) fournit donc par projection trois nouveaux points, qui supportent chacun 2 x nouvelles droites; les 9 p projections forment par conséquent, avec les 6 p x droites des p x configurations (92, 6 3), une configuration (9 p%X) 3pxz).
») Pour p on doit prendre une fraction, quand il s’agit d’une cf. ft3 et que p n’est pas un multiple de trois.
(■ n 2 (n — 2)(rc i)!, n\n(n—2)).
(1 i) (2 Je) (3 l) (1 Je) (2 l) (3 i) (1 l) (2 i) (3 Je)
(1 i) (2 Z) (3 Je)
(1 Je) (2 i) (3 1).. (10) (1 l) (2 Je) (3 i)
JAN DE VRIES
Si dans la configuration primitive les points 4, 5, 6 forment un triangle de cf., de sorte que les côtés 45, 56, 64 contiennent successivement les points de cf. 7, 8, 9, la projection donne lieu, entre autres, aux trois droites (14) (25) (37), (25) (36) (18), (36) (14) (29) ; en d’autres termes, (14), (25), (36) sont les sommets d’un triangle de cf. de la nouvelle configuration. Comme les centres de projection 1, 2, 3 admettent six permutations, chaque triangle de l’ancienne configuration fournit six triangles dans la nouvelle configuration.
Si les points d’une (3 px, p%3) inscrite dans une Ks, sont projetés de trois points de la courbe, situés en ligne droite on trouve une (9 p%x, 6px3), à six fois autant de triangles de cf. et à px cf. atrigoniques (92, 63) 1 )•
En étendant les considérations précédentes aux courbes du degré n, on obtient de nouvelles configurations de points et de courbes.
Lorsque les points d’une (npx, p xn) inscrite dans Kn sont projetés sur la courbe, de n centres situés en ligne droite sur cette courbe , il en résulte la configuration suivante, formée de points et de courbes du degré [n — 2) ;
(ri1 (n— 2) p(n- 1) ! n ! p xn{n~ 2)).
23. Une configuration atrigonique (9 2 , 63) étant inscrite dans K z, représentons-en les points par les nombres 1 à 9 et les droites par 123, 456, 789, 147, 258, 369. Si maintenant les trois points 4, 5, 6 sont projetés, des points 1, 2, 3 comme centres, sur la courbe Kz, l’une des six droites, qui joignent les neuf projections trois à trois, coïncide avec 789; trois autres contiennent chacune l’un des points 7, 8, 9; les deux dernières contiennent successivement les projections (15), (26), (34) de 5, 6, 4 par rapport aux centres 1, 2, 3, et les projec-
1 ) Lorsque cette construction est appliquée à un quadrilatère complet, il en résulte une (18 4, 24 3) à six quadrilatères complets, qui est la réciproque de la cf. harmonique (24 3, 18 4). Comp. mon Mémoire: „Over de harmonische (243, 184)”. (Versl. en Med., V, p. 210) ou ,,Ueber gewisse eberie Conpgurationeri (Acta Math., T. XII, p. 74).
SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC
tions (16), (24), (35) de 6, 4, 5 par rapport à ces mêmes centres 1, 2, 3. Chacun des six couples de droites séparées l’une de l’autre dans la (92, 63) fournit alors deux droites séparées, qui supportent chacune trois des dix-huit points d’intersection de la courbe avec les diagonales de la configuration; en d’autres termes, ces nouveaux points forment avec douze nouvelles droites une configuration (182, 123), représentée par le tableau suivant:
Essaie-t-on de construire cette configuration, on reconnaît qu’elle est le complexe de deux (92, 63) entièrement séparées, qui, à l’aide d’une notation connue, peuvent être représentées par
ainsi que la (92, 6S) primitive, elles appartiennent à la 27 3 de Schoenflies, mentionnée ci-dessus (p. 51), qui, outre les 18 droites des trois (9 2 , 63), contient encore les droites:
24. Si pour la configuration atrigonique 15 3 on construit les points où ses 60 diagonales coupent i£s, chacune des dix (92, 63) atrigoniques comprises dans 15 3 fournit deux nouvelles cf. de la même espèce, comprenant chacune neuf
56 JAN DE VRIES. SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC
de ces 60 points; chacun de ces nouveaux points appartient donc à trois cf. (92, 63). Or, comme chaque droite de ces 20 cf. résulte de deux droites séparées de la 15 3, lesquelles n’appartiennent à aucune autre (92, 63) comprise dans cette 15 3, les 20 cf. en question fournissent 120 droites différentes, de sorte qu’elles composent ensemble une cf. (60 6, 120 3).
Cette construction d’une nouvelle configuration, au moyen des points où K3 est coupée par les diagonales d’une cf. inscrite dans la courbe, peut être exécutée lorsque la cf. est régulière et comprend des (92, 63) atrigoniques. Elle peut être étendue à des configurations inscrites dans des courbes du degré n, quand ces cf. comprennent des cf. (n22, 2 nn) à deux polygones principaux de n côtés.
