CONFIGURATION PLANE DE VINGT-QUATRE POINTS ET DE DIX-HUIT DROITES

PAR

JAN DE VRIES

Dans mon mémoire „ Lleber gewisse ebene Configurationen ” ( Acta Mathematica, T. XII, p. 63) j’ai montré qu’il n’y a que deux configurations planes de douze points et de seize droites dont les points forment trois quadruples, de telle sorte que chaque point d’un quadruple est séparé des trois autres.

L’une de ces configurations (124, 163) est la figure remarquable de Hesse, déterminée par les points antitangentiels de trois points collinéaires d’une cubique plane. Cette cf. a été traitée par Caporali dans le fragment nSulla figura costituita dai punti di contatto delle tàngenti condotte a una cubica da tre suoi punti in linea retta ” ( Memorie di Geometria di Ettore Caporali , Napoli 1888, p. 338 — 343) 1 ); ce travail contient la relation réciproque de deux cf. (12 4, 16 3) associées que j’ai publiée dans le mémoire cité ci-dessus.

C’est en suite de cet article que je me propose de faire connaître ici quelques systèmes de courbes intimement liées à la cf. harmonique (24 3, 18 4) qui est déterminée par deux cf. (12 4, 1 6 3 ) associées.

!) M. Loria a eu la bonté de m’envoyer une copie de ce travail.

JAN DE VRIES

La cf. (12 4, 16s) de Hesse, que j’indiquerai parn4 1 ), peut être linéairement construite. Soient a2a3, b2b3) c2c3 trois couples de points situés sur trois droites qui convergent vers le point ê'4. Il suffit de construire les sommets accessoires des quatre quadrangles a2a3b2b3, a2a3c2c3 , b2b3c2c3 pour obtenir la cf.

a]bicl

161 a2b3ck

a3b /ic2

a46jC4

a3b2ci

36 a4 bicl

a!lb3c2

46 a3bxc3

Dans ce tableau les chiffres dont se compose le symbole i Je d’une droite, désignent les deux quadruples séparés qui ont cette droite en commun.

Les dix-huit diagonales de <r4 concourent, trois à trois, en douze points akfikykàk (k~ 2,3,4) déterminés par

! otk = {aiam, b , bk,cl ck) ] (a, au, bibm, c, cjc)

| yk=z(a1 a,k, b , bk, ci Cm) ; 8k = (ai am, bi bm, ci cm)

(Je, l, m — 2, 3, 4)

Ces points nouveaux appartiennent à la cf. <r4' associée,

représentée par

le tableau suivant:

fi 2 as v 4

«2 fi 3 y 4

fil fis ^4

y 2 fi 3 a4

^2 fis fi 4

ai Y 3 fi 4

fi 2 / 3 a4

2 ^3 fi 4

i) Les cf. désignées par an sont composées des centres de similitude et des axes de similitude d’un système de n cercles. (Voir mon mémoire vSur un groupe de conf. etc.” ( Arch . Néerl. T. XXV, p. 33).

SUR UNE CONFIGURATION, ETC

Les vingt- quatre points de ces deux ff4 forment, avec les dix-huit diagonales, qui leur sont communes, la cf. £ = (24 3, 18 J que j’ai nommée harmonique, parce que sur chaque droite deux points de <r4 sont harmoniquement séparés de deux points de <r'4. La cf. £ est représentée par le tableau suivant:

ai

Pt

ax

Si l’on détermine la projectivité des deux faisceaux de coniques aux points de base a* et bk (h = 1, 2, 3, 4) en faisant se correspondre les coniques dégénérées (a, o2,a3o4) et (b, b„ b3 &4), (a, a„ a3 a4) et ( b , b3, b, b ,), (n, a,, a2 a3)et (6, 64, 62 63), la quartique i?4 engendrée par ces faisceaux passe par les vingt points akbkcckfikykdk. Comme les douze points ai $k y h 8 k sont reliés par une cubique 1 ), tandis que les quatre points ajc ne se trouvent pas en ligne droite, on ne peut tracer que une quartique par les seize points ajc akfikykàk.

Or, la quartique que l’on peut construire d’une manière analogue par les faisceaux de coniques à base aie et ck , contient les vingt points a/e Ck ak @k yk bk ; elle se confond donc avec la première courbe.

On a donc l’énoncé: 2)

I. La cf. harmonique (24 3, 184) est inscrite dans une courbe biquadratique.

Le tableau

1) Voir mon mémoire inséré dans les Acta Math., p. 67.

2) M. Caporali est arrivé à cette courbe d’une maniéré différente.

JAN DE VR1ES

(où chaque ligne et chaque colonne contient les points d’une droite) représente la cf. (92, 63) atrigonique qui forme avec les ternes a, bl c, et ô2 Ô3 d4 deux cf. <r4 corrésiduelles *).

Les cubiques du faisceau dont la base est constituée par les points du bitriple (4), coupent la quartique H 4 aux triples d’une involution centrale, situés sur les droites d’un faisceau dont le centre 111 = (a , 6 , c , , â2â3ô4) se trouve sur i?4. 1 2) Donc:

II. La quartique que Von peut tracer par les points de deux <j4 associées comprend encore les seize points d’ intersection des couples de droites associées.

Ces seize points complémentaires seront désignés par les indices des points ak bk Ck avec lesquels ils se trouvent en ligne droite.

Les cubiques dégénérées

du faisceau à base (4) déterminent sur i?4 les triples de points complémentaires 234, 342, 423 et 243, 324, 432, collinéaires avec 111. Par conséquent, les seize bitriples de la cf. <r4 donnent lieu à huit droites complémentaires , dont chacune supporte quatre points complémentaires.

c à la

cf. atrigonique (16 2,

(Chaque ligne et chaque colonne de (5) renferme les points d’une droite).

Chaque point complémentaire étant l’intersection de deux

1) Comp. Acta Math. l.c. p.71.

2) J’ai considéré les involutions sur la quartique dans mon mémoire „Involutions quadruples sur courbes biquadratiques ” {Arch. Néerl. T. XXIII, p. 93.)

SUR UNE CONFIGURATION, ETC

diagonales triples de la cf. Ç et de deux droites du biquadruple B4 (5), les cf. associées <r4 et <s\ composent avec la B4 la nouvelle cf. représentée au tableau ci-joint:

Cf. 40 4 .

axblc1

a2b3ci

axb2c2

a2bic3

a3b3cx

a4blci

axb3c3

a2byc2

a4b4Cy

a3b xc3

a7lb3c2

MA

«An

«slVî

«An

§2a3ai

^ kfilfiz

d3cc2a4

^ 2 fi 3 fi 4

a3 fi 2/4

filfi*

On a donc Ténoncé :

III. Les points et les droites de deux <ï4 associées forment avec leur points et droites complémentaires une configuration 40 4 inscrite dans une quartique.

Parce que quatre droites séparées de cf4 sont coupées en points complémentaires par quatre droites séparées de <r'4îon

JAN DE VRIES

peut désigner des groupes de dix droites de 40 4 qui contiennent ensemble les 40 points de la cf.

Le tableau suivant indique deux de ces décuples principaux ,

qui composent une (402, 2Q4) faisant partie de la 404.

a, bx cx

«4 bl «3

ak b/t cx

En supprimant cette (40 2, 20 4) on arrive

à une

qui diffère de la première, puisqu’elle n’est pas décomposable en décuples principaux.

Chaque bitriple de <j4 est relié par six points complémentaires à un bitriple de a'à. Cette remarque fournit des (242î 124), telles que celle du tableau suivant:

tt2^3C4

CL 2 b c ^

“îh'/i

CL 3 b 2 0 4

«siVs

Donc:

IV. La 40 4 appartenant à la cf. harmonique peut , de huit manières, être composée de deux cf. (40 2, 20 4) de construction différente.

Elle contient encore seize cf. (24 2, 12 4).

Les points d’intersection de la quartique H 4 avec les droites (a, 6,c, 111), (è4 « 2 a â 144), (a4ô2c3 423), (a4^2|53 432)

SUR UNE CONFIGURATION, ETC

forment la base d’un faisceau de courbes biquadratiques. Or, les points 6, a2 b2 y2 sont en ligne droite, de même que les points ç, «3 c 3 ; par conséquent, les huit points ala!l, «4$4, 111, 423, 144, 432 se trouvent sur une conique.

Parce que le biquadruple complémentaire fournit trente-six quadrangles et que les neuf couples de droites associées peuvent être rangées en dix- huit groupes, analogues à a, a4, a4d4, chacun de ces groupes détermine deux coniques. Donc :

V. Les points de la cf. 40 4 donnent lieu à trente-six coniques , qui contiennent chacune quatre points de la cf. harmonique et quatre points complémentaires.

Le faisceau de cubiques,

indiqué

par le bitriple

coupe la quartique Hfi aux triples linéaires d’une involution à centre 111. Par conséquent, chacun des triples aibtcl et S2S3Sif collinéaires avec 111, est placé sur une cubique tracée par les neuf points (9).

Il y a donc trente-deux cubiques, dont chacune comprend trois points de Ç et neuf points complémentaires.

De la même manière, il résulte du biquadruple

que les points du bitriple ! 432

et les points collinéaires 331, 212, 144 sont concubiques.

Observant que ces douze points sont placés sur deux droites séparées de <r4 et deux droites séparées de on peut conclure qu’il y a 96 cubiques à six points complémentaires et six points d’une des cf. a4 associées.

Le bitriple

appartenant au biquadruple (10), détermine une involution à centre a4, qui comprend le triple «, (?4 ; il s’ensuit que

ces points sont reliés avec les neuf points (12) par une cubique.

Par les cinq points complémentaires d’entre eux il passe encore une cubique de la même espèce, comprenant les sept points a 2 fi /4a3d4a2a3. En ayant égard aux 144 quintuples de points complémentaires, on trouve 288 cubiques, qui, outre un de ces quintuples, supportent cinq points de l’une des <r4 associées et deux de l’autre.

On arrive à une autre série de cubiques en combinant le bitriple (11) avec la droite a4 (?2 /3, associée à la droite a4 &2 c3 qui est séparée de a2 b3 c4 et de a3 &4 c2. Il est évident que chacun des 32 triples collinéaires de B 4 donne lieu à six cubiques comprenant six points de l’une des tr4 et trois de l’autre. Par conséquent, il y a 192 courbes de cette série.

Le biquadruple suivant n’appartient pas à la 40 4.

243 a2 bk

On en déduit que les cubiques à points de base

SUR UNE CONFIGURATION, ETC

coupent Hh dans les triples d’une involution centrale contenant le triple «2 133, qui, par conséquent, est concubique

avec les points (14).

Comme les quatre points 111, 234, 342, 423 appartiennent encore au biquadruple suivant :