CC

et que dans (13) et (15) chaque point de la cf. Ç est le centre d’une involution triple qui ne fournit que une cubique, on arrive à 192 cubiques tracées par quatre points de <r4, quatre points de cf'4 et quatre points complémentaires.

Le tableau suivant résume les cubiques comprenant douze points de la 40 4 avec les cubiques qui ne contiennent que des points de £ (des cf. <r4 associées).

Cubiques.

Points de £.

Points complémentaires.

VI. Il y a donc 800 cubiques passant chacune par douze points de la cf. 40 4 .

Archives Néerlandaises, T. XXV.

JAN DE YRIES.

Les droites de la cf. <y4 étant désignées par les symboles i h [i = 1, 2, 3, 4 ; Je = 5, 6, 7, 8), on peut indiquer par 7’ Æ Z le point d’intersection des droites i Je, i l.

Considérons

le biquadruple

ai

Puisqu’on peut tracer une cubique par les douze points de <r4, les quatre points 125, 126, 127, 128 sont placés sur une droite que je représenterai par 12.

De la même manière, on trouve les onze droites 13, 14, 23, 24, 34; 56, 57, 58, 67, 68, 78, dont checune contient quatre points accessoires.

On a donc l’énoncé :

VII. Les quarante-huit points accessoires d’une o4 forment douze quadruples linéaires.

Par rapport à la droite accessoire 12 les triangles (15, 16, 17) et (25, 26, 27) se trouvent- en situation perspective ; les droites (156, 256), (157, 257), (167, 267) convergent donc vers un point qui sera désigné par 567.

Outre ce point nouveau, on arrive à sept autres 568, 578, 678; 123, 124, 134, 234, par une considération analogue.

La figure contient maintenant 56 points i Je l (où i = 1 jusqu’à 8, Je = 2 jusqu’à 8, l = 3 jusqu’à 8) et 28 droites i Je (i = 1 jusqu’à 8, Je = 2 jusqu’à 8), qui composent ensemble une cf. combinatoire (56 3, 2 -86) où chaque point i Je l supporte les droites i Je, il, Jel 1 )• On a donc :

1) J’ai traité des cf. combinatoires dans mes travaux „Ueber polyedrale Cf." {Math. Ann. T. XXXIV, p. 227) et ,,Ueher eine Gattung regelmâssiger ebener Cf." {Math. Ann. T. XXXV, p. 401).

SUR UNE CONFIGURATION, ETC

VIII. Les seize droites de <r4 et ses quarante-huit points accessoires forment avec douze droites nouvelles et huit points nouveaux une cf. combinatoire (56 3, 28 6).

Comme les diagonales principales a2 b 2, a3 Z>3, a4 ô4, de l’hexagone a2 &4 a?t b2 a4 ft3 concourent en c,, les droites du bitriple

sont six tangentes d’une conique.

Or, ces six droites déterminent deux triangles (167, 178, 168) et (235, 245, 345) dont les six sommets sont conconiques. Donc:

IX. Les seize droites de <r4 forment seize sextuples tangents à une conique. Les quarante-huit points accessoires de <r4 se rangent en seize sextuples coniques.

Par l’adjonction à (17) de deux droites complémentaires on arrive au biquintuple suivant:

ax

Vingt de ces points étant situés sur la quartique 1?4 , la droite 12 menée par les points 125, 126, 127, 128 comprend encore le point x.

Cette propriété peut être reliée à l’énoncé VIII moyennant une notation nouvelle.

Les points 111, 423, 342, 234, placées respectivement sur les droites 15, 18, 17, 16, seront indiqués par 159, 189, 179, 169, la droite complémentaire, qui les supporte, par 19, tandis que les points 122, 414, 331, 243 et leur droite seront représentés

par 269, 279, 289, 259 et 29; alors le point x, étant l’intersection de 19, 29 et 12, peut être désigné par 129.

La nouvelle notation étant appliquée aux onze biquintuples que l’on peut former de la même manière, le biquadruple complémentaire B 4 sera représenté par:

Puisque les douze points x sont chacun l’intersection de deux droites complémentaires et une droite accessoire, ils forment avec B 4 et la%cf. (563, 28 6) ci-dessus trouvée une cf. combinatoire (84 3, 36 7/>, dont les éléments sont indiqués par les combinaisons, trois à trois et deux à deux, des chiffres 1 à 9. Donc :

X. Les seize droites d’une <r4 forment avec les douze droites accessoires et les huit droites complementaires une cf. combinatoire (84 3, 36 7) contenant les quarante-huit points accessoires , les huit intersections triples des droites accessoires et les vingt-huit intersections des droites complémentaires.

Si l’on désigne la droite auai par Aki, la droite bkbi par Bu et la droite cm par C/ti, les colonnes du tableau ci-joint représentent le six groupes de droites séparées de la cf. Ç.

Ai 4

ct 4

Ces groupes se rangent en six couples séparés, dont chacun donne lieu à un bisextuple de droites.

SUR UNE CONFIGURATION, ETC

Le tableau

BlACt ,

désigne un de ces bisextuples.

Comme vingt- quatre de ces points sont situés sur la quartique H 4, on pourra relier les douze points restants par une conique.

Or, les dix-huit droites de £ (diagonales de o4 et de <y'4) convergent trois à trois aux vingt-quatre points de Ç (des <r4 associées), et deux à deux aux neuf points d’intersection des cubiques circonscrites aux cf. <?4 associées 1 ) ; pour les 72 intersections restantes on a donc l’énoncé:

XI. Les 72 points accessoires de la cf. harmonique (24 3, 18 4) forment six groupes de douze points conconiques.

i) Comp. mon mémoire ci+é des Acta Math., p. 76.

SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS