DÉDUITS DE QUATRE DROITES DONNÉES DANS L’ESPACE
PAR
J. C. KLUYVER.
Etant données quatre droites 1, 2, B et 4 dont deux ne sont pas dans un plan, peut-on construire une cubique gauche Rz qui touche ces droites? A cette question on serait facilement tenté de répondre par l'affirmative. Une pareille courbe, en effet, dépend de 12 constantes ; elle peut donc satisfaire en général à quatre conditions triples.
Cependant, M. Schubert >) et M. Voss * 2) ont montré que quatre tangentes quelconques d’une R 8 sont toujours liées entre elles par une relation invariante. En conséquence, ou bien les droites 1, 2, 3 et 4 ne seront touchées par aucune courbe ou bien elles le seront par toutes les courbes R 3 d’un système du premier ordre. L’invariant simultané F des quatre tangentes, qui dans le second de ces cas devient nul, a été calculé par M. Voss.
C’est à l’occasion de ces résultats que je veux fixer l’attention, dans les pages suivantes, sur un groupe de systèmes de rayons covariants et de courbes Rz connexes à ces systèmes, courbes qui, par la supposition r — 0, deviennent les courbes tangentes aux droites 1, 2, 3 et 4.
U Kalkül der abzàhlenden Geometrie. p. 166.
2) Mathematische Annalén , XIII, p. 168, ,,Ueber vier Tangenten einer
Raumcurve dritter Ordnung
J. C. KLUYVER. SUR DES SYSTEMES DE RAYONS, ETC. 71
Le traitement analytique de ces figures conduit, en premier lieu, à une construction qui permet de décider par voie géométrique si quatre droites arbitrairement prises remplissent, oui ou non, la condition invariante r = 0. En second lieu, nous déduirons de ce traitement comment les courbes tangentes, au cas où elles existent, pourraient être construites; finalement, quelques-unes des propriétés de ces courbes feront encore l’objet d’un examen spécial.
1. La détermination de l’invariant F forme le point de départ naturel des considérations suivantes. Pour cette recherche, l’emploi des coordonnées homogènes de droites est indiqué.
8ix1} ylf zt, wt et x2, y2, z2, w2 représentent les coordonnées homogènes de deux points donnés, les grandeurs
P — Vi *2— V i 2,, q~zx x2~z2 x ,, r = a?j y2— x2 yt, s =xx w2 — x2w x, t—yiw2 — y1wl, u — zx w2 — z2wx
désignent, dans la notation de M. Salmon, les coordonnées homogènes de la droite de jonction. Elles satisfont, comme on sait, à la relation identique
ps + qt + ru — O.
Lorsque deux droites g et h , aux coordonnées pg, . . . ug et se coupent, l’invariant
pg Sh 4- p h sg + qg th 4- qhtg -f- rg Uh 4- Th ug
s’annule. Un invariant de cette forme sera indiqué par le signe {g h) ou (h g).
Tandis que M. Voss, pour une courbe donnée R3, représente les coordonnées de la tangente par des fonctions biquadratiques d’un paramètre, et à l’aide de cette représentation démontre qu’il existe une relation invariante entre les coordonnées de quatre tangentes, nous allons, au contraire, considérer comme données quatre droites 1, 2, 3 et 4, et rechercher si elles peuvent être touchées simultanément par une courbe R3. En supposant qu’une semblable courbe ait été trouvée,
J. C. KLUYVER.
on pourra construire une surface réglée du second degré, contenant, outre la courbe, les droites 1 et 2 De même, une seconde surface réglée est déterminée par la courbe et ses tangentes 3 et 4. Les deux surfaces se coupent encore suivant une corde z de i?3, corde qui, puisque 3 touche la surface (12 2), sera tangente à la surface réglée (321). Pour une raison toute pareille, les surfaces réglées (234), (314) et (124) auront également la corde 2 pour tangente.
Réciproquement, il est clair que, si ces quatre systèmes réglés possèdent une tangente commune z, l’intersection de deux hyperboloïdes, tels que (12 a) et (34 z), fournira une R 3 tangente à 1, 2, 3 et 4.
Cherchons donc à trouver des droites z qui présentent la propriété en question. Désignons par y une droite quelconque du système réglé (321), et remarquons que ses coordonnées Py, . . . % sont à considérer comme des fonctions linéaires des coordonnées px, . . . ulf p2, . . . u2 , p3^ . . . us des droites données, de sorte que nous pouvons toujours admettre six relations de la forme
Vy = R , P, +R1P2+ R3p3,
ny zr R ^ u , +i^2Wj+ R 3 u3.
En effet, pour toute droite x, pour laquelle on a (1 x) zz 0, (2 x) = 0, (3 x) — 0, il en résultera (y x) zz 0. Les coefficients variables R1} R.2 et iü3, qui entrent dans ces équations, doivent toujours remplir la condition
R2 Rz (23) + JR 3 R, (31) + ■Rl R2 (12) = 0, parce que, entre les coordonnées py, . . . uÿ) il existe la relation Pv % + h “b ry sy = 0*
Chaque droite 2 coupe deux droites y du système réglé. On peut en effet, par la résolution des équations
[y 2) z= Rx (1 z) + R2 (2 2) + R 3 (3 2) = 0,
R2 R 3 (23) -h R, R, (31) + Rt R2 (1 z) = 0, obtenir deux systèmes de valeurs pour Rn R2 et R3.
Ces deux droites ij coïncident lorsque la droite et la conique, représentées en coordonnées homogènes Rn R2 et B3 parles équations ci-dessus, viennent à se toucher, ce qui a lieu sous la condition
1^(23) (lz) + 1/(31) (2 z) + 1/(12) (3 z) = 0 ■).
Les tangentes z communes aux quatre surfaces réglées (234), (314), (124) et (321) doivent donc satisfaire aux quatre relations V^(34)(2 z) -h l^(24K3Ï) + l^(23)(4z)==0
1/pXTz) +1/(T4X^)+1/(3ÎK4z)=0 /
Vx'(24)(lz) + Vx(14)(2z) +L/(12)(4z)=0 ^
1^(23)07) + l^(3Îj(2i) + (Ï2)(3z) =0
ce qui ne peut arriver que lorsque le déterminant
s’annule.
Far une réduction simple, ce déterminant se laisse mettre
aussi sous
la forme
Posons-y :
st = a + 6 + c, s.2 = bc-hca-hab, s:î = ab c.
i) M. Cayley a donné cette condition sous la forme de déterminant. Comparez Salmon, Geometry.o\ three dimensions , 4e éd., p. 419.
J. C. KLUYVEK.
L’équation A = 0 prend alors la forme
a H- 6 H- c — 2 F^bc — 2 l^ca — 2 V' a 6 = 0, qui finalement se laisse réduire a
Ainsi est obtenu l’invariant F, dont l’annulation ou la nonannulation décide de la possibilité de courbes R 3 tangentes aux droites 1, 2, 3 et 4.
