Il ressort des équations (A) que dans l’hypothèse F
la droite z est indéterminée, et de ces équations (A) on peut tirer par résolution, les grandeurs (1 z), (2 z), (3 z) et (4 z . Pour cela, il faut poser (1 z), (2 z), K (3 z) et (4 z) propor-
tionnels aux premiers mineurs A k,i de A. Il en résulte, vu que A k,i = A /,* ,
b^(Tz) 1^(27) __ 1^(3 7) __ I7 (4z)
^*77 ~ ““ vâT, ’
OU
et plus brièvement
Ces équations font voir que les cordes 2 d’une R 3 tangente à I, 2, 3 et 4 sont situées dans certains complexes linéaires, qui doivent être considérés comme des figures covariantes des quatre droites données.
A raison, toutefois, des signes différents qui peuvent être attribués aux radicaux P, un examen spécial de ces signes est nécessaire.
3. Remarquons, à cet effet, qu’aussi dans le cas général, où r diffère de zéro, les systèmes de rayons indiqués par les
SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC
équations (B) ont une signification géométrique, dont nous avons à nous rendre compte.
Considérons, par exemple, l’équation
qui peut aussi être écrite sous la forme
Elle représente deux complexes linéaires, situés dans le faisceau de complexes que déterminent les deux complexes dégénérés (1 z) = 0, (2 z) = 0. Il résulte en outre, des deux formes sous lesquelles l’équation peut être écrite, que les complexes représentés par elle sont conjugués harmoniques dans le faisceau, tant par rapport aux dégénérations susdites que par rapport aux deux complexes
(lz)
qui peuvent être menés par les droites 3 et 4.
D’après les équations (B), nous avons affaire à 12 complexes de ce genre, pour lesquels nous emploierons la notation suivante :
K±a==(lz)± (4 *) = <>, K±b = (2 z) ± ^ (4 z) = 0,
K±ai = { 2*)±{l(8*) = 0, K+6i=(3 z)±^-(1z) = 0,
K±Ci = (1 z) ± ^ (2 z) — 0.
Pour avoir une idée nette de la liaison caractéristique qui existe entre ces complexes, figurons-nous un tétraèdre quelconque, à faces 1, 2, 3 et 4. Désignons par a, 6, c les arêtes
J. C. KLUYVER.
limitant la face 4, et par a,, 6,, ci les arêtes opposées à a, b, c.
La forme des équations K±a = 0, . . . K±Cl ~ 0 rappelle alors les équations qui, en coordonnées tétraédriques homogènes, représentent les plans bissecteurs des douze angles dièdres sur les arêtes a, b,\..cl , lorsque le tétraèdre en question est pris pour tétraèdre de référence. Entre la configuration des complexes K et celle des douze plans bissecteurs il existe une analogie parfaite, se traduisant par les correspondances suivantes :
12 plans bissecteurs des dièdres . 12 complexes K ;
16 droites d’intersection des plans bissecteurs pris trois
à trois 16 congruences, intersections
des complexes K trois à trois ;
8 points d’intersection des plans bissecteurs six à six (centres de sphères inscrites
et ex-inscrites) 8 hyperboloïdes R , intersec-
tions des complexes K six à six ;
4 sommets du tétraèdre ... les systèmes directeurs des systèmes réglés (234), (314), (124) et (321).
De cette analogie il ressort, en outre, que les hyperboloïdes R sont situés deux à deux, avec le système directeur de l’un des quatre systèmes réglés (234), (314), (124) et (321), dans les 16 congruences. En effet, dans la figure correspondante, les centres des sphères inscrites et ex-inscrites sont situés deux à deux, avec l’un des quatre sommets du tétraèdre, sur 16 droites. Dans chaque congruence les deux hyperboloïdes R ont donc en commun deux directrices g ' et g" , qui sont en même temps génératrices de l’un des quatre systèmes réglés que déterminent trois à trois les quatre droites données.
D’ailleurs, les deux transversales communes /' et /" de 1,
2, 3 et 4 appartiennent aux génératrices de chacun des liyperboloïdes 77, parce que ces droites /' et /" font partie de tous les complexes K.
Les deux tableaux suivants sont destinés à donner un aperçu de la situation relative de ces huit hyperboloïdes 77,, 772 , ... 77g. Dans le premier tableau on trouve, dans la colonne à gauche, les hyperboloïdes 77, à la suite desquels sont inscrits chaque fois les six complexes K qui déterminent la surface. Dans la première colonne du second tableau sont placés les systèmes réglés (234), (314), (124), (321); en regard, dans la seconde colonne, se trouvent quatre couples d’hyperboloïdes 77, dont les directrices communes g' et g" font partie du système réglé.
Hyp.
Complexes.
Ht
Systèmes réglés.
Directrices communes
de:
He !
i He )
! Hs |
! Hr‘ 1
! Hz |
! Hi 1
1 He !
J. C. KLUYVER.
De ces tableaux on peut déjà inférer que les surfaces //5, H„ Hr, Ha se distinguent en quelque sorte des autres, et cette différence ressortira encore mieux par la suite. A Hs correspond, dans la figure analogue, le centre de la sphère inscrite ;
//7 sont conjugués les centres des trois sphères inscrites dans les „toits”.
4. Il est facile de représenter les hyperboloïdes H par des équations.
Chaque directrice y d’une pareille surface coupe toutes les génératrices z et par conséquent aussi les deux transversales communes /' et /" des droites 1, 2, 3 et 4. Les coordonnées p y , . « . Uy de y peuvent donc toujours être considérées comme des fonctions linéaires des coordonnées de 1, 2, 3 et 4, et l’on peut notamment écrire:
Py = R\V\ + R^Pi + Æ3P3 + RuPt,
Uy= Riu1 H- R2u2 + R3u§ -h R^u^.
Les coëfficients variables Rtf...R4, qui entrent dans ces équations, doivent satisfaire à la condition
2R2Rz (23) = R 2 R 3 (23) + R?RX (31)'+ RXR% (12) +
+ R XR 4 (14) + R 2 P 4 (24) + R3R ^ (34) zzz 0,
parce qu’on a constamment
Py Sy + qyty + T y Sy = 0.
Mais nous avons en outre (y z) •= 0, d’où il suit, à l’aide de (B), £ R {P , zz: RlP1 + R2P 2 + R 3 .P 3 + i?4P4 0.
Les six équations
P y = ^ R i P j > * • • uy = ^ R i un avec les deux conditions
^ R2 R3 (23) = 0, A RlP1 = 0,
dans lesquelles les signes des radicaux P sont à prendre tels que chaque hyperboloïde H l’exige d’après les tableaux précédents, doivent être considérées comme la représentation
analytique de ces surfaces. Les coefficients i?4 y font
l’office de paramètres variables.
5, Nous chercherons maintenant une construction géométrique pour les droites g' et g " de l’art. 3 et en déduirons la construction des hyperboloïdes H. Comme il importe de bien distinguer l’une de l’autre ces huit surfaces, qui d’ailleurs doivent être trouvées toutes ensemble, il convient de faire reposer cette construction sur une base algébrique.
Prenons donc le système réglé (321) et cherchons-y les droites g ' et g" qui, suivant le tableau de l’art. 3, sont successivement communes à //, et H 5, à H2 et Fl Q) à, H 3 et H7, à Z/4 et FF 8.
Commençons par exprimer les coordonnées de chaque droite y du système réglé en fonctions linéaires des coordonnées des droites 1, 2 et 3. On y parvient, d’après l’art. 2, en posant
Py — Pi + RiVi H"
Uy zzr R i u j H- R 2u 2 -H R 3 u 3 ,
R2R3 (23) + R3Rl (31) + RtR% (12) = 0.
A la dernière de ces équations il est satisfait par les coefficients variables Jf?,, R2 et /?3, si l’on admet la relation
2'(7-l) (23) “ ^-iy (3T) ~ 20^-1) (12) '
Ces coefficients deviennent ainsi des fonctions quadratiques d’un seul paramètre y,, et nous avons
Vy = — 2 (y, — 1) (23) p1 + {g2 — 1) (31) p2 -h 2 (g -h 1) (12)p3
uy = - 2 0*— 1) (23) u4 H- (g2— 1) (31) ^ + 2 (g + 1) (12 )u3.
En même temps se trouve alors adjointe à chaque droite y une valeur unique de g, et réciproquement; aux droites 1, 2 et 3 correspondent respectivement les valeurs — 1, co et H- 1 du paramètre.
Nous déterminons les deux droites h' et h " du système réglé qui coupent la droite 4, et posons donc
J. C. KLUYVER.
0 = (4 y) = — 2 fa - 1) (23) (14) + (g2 - 1)(31) (24) +
Cette équation, qui suivant la notation de l’art. 1 se laisse écrire sous la forme
g2 b -f- 2 g ( — ci -b c) (2 a — b -\- 2 c) 0, . . . (C)
fournit les deux valeurs de g adjointes aux droites h' et h".
De la même manière, nous cherchons les valeurs de g qui correspondent aux droites g' et g" . Posons
■P -2 fa -f- 1) (12) (3 z),
où l’on a à substituer
Les signes des radicaux P sont réglés d’après le premier tableau de l’art. 3.
Nous arrivons alors, après division par V^(23)(31)(12), aux équations
P1 1 /b+ 2 l/cl+(21/â-l/6-21/ô) = 0 / (D
^ â—VÛ)+{+2^l— 1/0-21^5=0 i’ ' '
qui donnent successivement les valeurs de g pour les droites g ' et g ", communes à H] et Pr>, à P2 et HG, à //3 et H7, à i?4 et 778.
A l’aide de l’équation (C), on peut déterminer les éléments V et 1", m' et m", n' et ri' des involutions
(23; h' h”), (31; h' h"), (12; VA").
Le calcul direct apprend qu’aux droites
SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC
V et l"
m et m'Vcorrespondent les valeurs paramétriques
ri et ri'i
Pour chaque combinaison, prise arbitrairement, de cinq éléments 1, 2, 3, h' et h", les trois couples d’éléments doubles V et l", m' et m ", ri et ri' peuvent être groupés en triades qui forment une involution avec la triade 1, 2 et 3. Effectivement, on rencontrera ici les involutions (1 V; 2 m'; 3 ri), (11'; 2 m"; 3n"), (1 l"; 2 m ; 3 n"), (1 l" ; 2 m"; 3 ri). Pour le reconnaître, considérons, par exemple, les couples d’éléments il' ,2 m", 3 ri. A ces couples correspondent, d’après ce qui précède, les trois formes quadratiques binaires
dont le déterminant s’annule, ainsi que cela doit être. De la même manière, on se convaincra de l’existence des autres involutions.
Par là se trouvent classés en quatre triades les six éléments V, V, . . . n".
Considérons maintenant les quatre autres triades l" m" n ", l m n", V m" ri, 1" m n",
qu’on peut former avec les mêmes éléments, et examinons les quatre groupes d’involutions suivants :
((11; m" n") é (11 ; m ri') é (11 ; m" ri)
I (22; ri' V) , II (22; ri' V), III (22; ri V),
,(11; m ri)
IV (22; ril").
Archives Néerlandaises, T. XXV.
J. C. KLUYVER.
On peut démontrer que, n’importe de quelle manière soient pris les éléments 1. 2, 3, h' et h", les involutions de chaque groupe ont un couple d’éléments commun. Montrons-le, par exemple, pour le troisième groupe, et calculons en même temps les valeurs du paramètre pour ce couple d’éléments.
Les valeurs de (u étant connues pour les éléments V , Z", . . . n'\ nous pouvons assigner les formes binaires qui correspondent aux couples m" n\ ri Z', Z' m", 11, 22 et 33. On trouve comme telles
n‘l iybc 4- ^ ab) + 2 lu.(— — 1 ^ c a) 4-j
+(2a+V/6c— 21^— ^aby, pourm'Vetll.
u 2 \^bc - h 2 tu l^bc 4- l^ôc
4u2 b 4- 2 u ( — — 1 ^ab) 4- j
4- (— b— Z^bc+^m + Z^âb)^ pour n' V et 22, 0 . ,u 2 4r 0 . (u 4-
g,2 (y'bc 4- ^ a b) 4- 2 g (— c — ^ ca — 1 ^ab) 4-j
4-(— 2c— ^^4-2^04-^06), | pour V m" et 33. g2 a6 — 2 g ^ ab 4- ^ ab
En soustrayant, dans chaque couple de formes, la seconde de la première, on arrive, après une légère simplification, à
g2 1^6 4- 2 fi (—l^â -l sQ) 4- (2 l^â— 1^6— 2 l^c).
D’après les équations (D), les éléments indiqués par cette forme sont les directrices communes g' et g " des hyperboloïdes H 3 et H7. Ces droites sont donc les éléments communs des involutions du groupe III.
On peut, sans beaucoup de peine, étendre cet examen aux autres groupes et parvenir à la conclusion que les éléments communs des involutions du
groupe
ii/
indiquent les directrices g' et g'\ communes aux hyperboloïdes
| H i et i/5 \ H2 et 77 G I Ho et ti7 \ H n et II 8
SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC
Les éléments h ', h", Z', . , . . n", que nous avons rencontrés clans les considérations précédentes, peuvent être déterminés par construction géométrique. La recherche des droites g' et g" se laisse donc également exécuter par la voie graphique. Si les constructions nécessaires à cet effet sont répétées, mais cette fois par rapport au système réglé (124), on trouve quatre directrices de chaque hyperboloïde //; ces surfaces elles-mêmes sont alors construites.
6. Cherchons maintenant dans quelles circonstances les deux droites g' et g" d’un couple pourraient se confondre. Pour cela, calculons les discriminants tant pour les quatre équations (D) que pour les 12 autres, qui ont une signification analogue par rapport aux systèmes réglés (234), (314), (124). Dans le tableau suivant sont consignés les résultats de ce calcul.
Discriminants.
H,HS
HtH,
HtH,
HtH6
H,He
ct~\-b -f- c — 2 b c- f-2 c a -f-2 a b
H,HS
HtHr,
Les 16 équations en question ne possèdent en tout que quatre discriminants différents, qui sont inscrits dans la première colonne. Dans les colonnes suivantes, on trouve indiqué, pour chacun des quatre systèmes réglés (234), (314), (124), (321), à quel couple d’hyperboloïdes H se rapporte le discriminant placé en tête de ligne.
Dès l’abord, il saute aux yeux que les quatre discriminants sont les facteurs de l’invariant F, et que les hyperboloïdes 17,, H e, H7 et Hs se comportent tout autrement que les autres. On reconnaît, en effet, que, pour L=0, il y a toujours une
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de ces quatre surfaces dont les génératrices z toucheront les sjtstèmes réglés (234), (314), (124) et (321). Les droites z des hyperboloïdes Hn Ii 2, H3 et i?4, au contraire, ne peuvent jamais être des tangentes communes de ces systèmes réglés. Or, il est maintenant facile de voir comment on trouvera géométriquement si quatre droites données peuvent être tangentes à une R3. On n’a qu’à chercher les directrices g' et g" qui sont communes aux hyperboloïdes H et au système réglé (321). Si, pour un de ces hyperboloïdes, par exemple pour //4 et Hè, les droites g' et g " coïncident, on achève la construction i/„. Prend-on ensuite sur Z/8 une génératrice quelconque z, les hyperboloïdes (23z) et (14z), (31z) et (24z), (12z) et (34z) se couperont deux à deux suivant des courbes R*f tangentes à 1,2, 3 et 4.
Le système complet de ces courbes s’obtient en faisant parcourir à la droite z la surface Hs.
On peut du reste, comme le remarque M. Voss, déduire de l’une des R 3 tangentes, par une construction assez simple, toutes les autres.
7. Avant de passer, toutefois, à l’examen du cas particulier r = 0, nous signalerons une propriété assez intéressante des hyperboloïdes H. , //6, H7 et //8, qui met encore mieux en lumière la différence entre ces quatre surfaces et les quatre autres. Les quatre droites données peuvent être disposées par couples de trois manières différentes. Chacune des combinaisons ainsi obtenues, par exemple (23 ; 14), détermine, comme nous le verrons, ce qu’on appelle un système focal d’ordre supérieur. En parlant de pareils systèmes, nous avons en vue un rapport par lequel à chaque point est conjugué un plan passant par ce point, à chaque plan un point situé dans ce plan. Le système focal est dit du premier ordre lorsque aux points d’une droite correspondent les plans d’un faisceau et réciproquement.
En ce qui concerne maintenant la combinaison (23 ; 24), observons que par chaque point passe une droite coupant 2 et 3, ainsi qu’une deuxième coupant 1 et 4. Le plan de ces
SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC
sécantes peut donc être conjugué, comme focal, au point considéré. Inversement, dans un plan quelconque on rencontre une droite coupant 2 et 3, ainsi qu’une droite coupant 1 et 4. Le point d’intersection de ces droites peut être considéré comme le foyer du plan. On a ainsi un système focal déduit de la combinaison (23 ; 14). Il est facile de montrer que le foyer parcourt une courbe gauche R 3 lorsque le plan focal tourne autour d’une droite, et qu’aux points d’une ponctuelle, correspondent comme plans focaux, les plans tangents d’une surface développable de la troisième classe. Les choses deviennent encore plus simples quand on a affaire à une droite l reposant sur leè deux transversales /' et /" de 1, 2, 3 et 4. Aux points de l sont alors conjugués les plans passant par une certaine droite x qui rencontre également /' et /", tandis que, réciproquement, les plans passant par la droite l sont les plans focaux des points de la droite x. La correspondance entre l et x a un caractère involutif. Nous cherchons le lieu géométrique de x dans la supposition que l décrive un système réglé. Cette droite l restant constamment appliquée sur /' et on peut, comme dans l’art. 4, concevoir ses coordonnées déterminées par les six équations
pi = 2 Ax px , ui ■= 2 A , u u
dont les coefficients variables A1% . . . Aq sont assujettis à la condition, déjà mentionnée,
Entre ces coefficients il existe toutefois, vu que l parcourt un système réglé, une seconde relation, et celle-là linéaire, qu’on peut écrire
2 n , A t — TT , A , ~~ TT 2 A 2 + 3 A3 + 7r4A4zz:0.
Pour la droite x, conjuguée à l, on peut agir de la même manière et poser
= SV, pit . . . ux = 2 V, u,,
J. C. KLUYYER
Remarquons, en vue de la détermination des coefficients V,, ... F4, que toute droite qui coupe 1, 4 et l, ou 2, 3 et l, rencontre aussi x. Cela exige
La substitution de ces valeurs de F, , . . F4, dans l’équation
donne
q2A, Ai(l4) + ea\A3Al (31 ) + At A2 (12) + A2 A, (24) +
et de celle-ci, combinée avec
il suit
Comme, tant que l et x ne coïncident pas, q et a sont différents, on arrive à la conséquence
q z=z A2 A3 (23), a = At Ah (14),
de sorte que finalement les coordonnées de x sont exprimées par six équations de la forme
px — A , At A3 (23 )p, + At A, At (14) p2 + A , As At (14 )p3 +
+ AtAtA 4 (23)P) (E)
Les coefficients variables Alf...A4f contenus dans ces équations, doivent satisfaire aux deux conditions.
De tout ce qui précède, on peut conclure que la droite x a pour lieu géométrique une surface réglée unicursale FG du sixième degré, sur laquelle les droites données 1, 2, 3 et 4 se présentent comme génératrices doubles. En considérant que chaque génératrice du système réglé (321) rencontre six droites x, tandis que chaque droite x ne coupe que deux de ces génératrices, on reconnaît, en outre, que les deux transversales
SUR UES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC
/' et /" sont des droites triples de FG. Cette surface représente maintenant tant l’enveloppe des plans focaux des points de l’hyperboloïde décrit par l, que le lieu géométrique des foyers des plans tangents à cet hyperboloïde.
8. Mais, à côté de la combinaison (23 ; 14) se trouvent les deux autres (31 ; 24) et (12 ; 34), de sorte qu’à l’hyperboloïde décrit par l il correspond, non pas une surface FG unique, mais trois de ces surfaces. On peut se demander s’il est possible de choisir l’hyperboloïde de telle façon que les trois surfaces réglées se confondent. Pour répondre à cette question, considérons les équations (E) et remplaçons-y d’abord 3 par 4, puis 2 par 3, ce qui fournira la représentation analytique des deux surfaces réglées auxquelles donnent lieu les combinaisons (31 ; 24) et (12 ; 34). On trouve ainsi, parallèlement aux équations de la première surface réglée,
V* = A, A2 A 3 (23) p, + A, A2 A 4 (14 )p3 4- A, A3 A,t (14)^s + + A3 A3 At (23 )pi,
2 A3 As (23) = 0,-£jr, A , =0, pour la seconde surface :
2’ B2 b 3 (23) = 0, 2 tt j Bt = 0,
et pour la troisième :
Px = C3 Ci (34) p { + C2 C3 04 (34 )p2 q- (7, C2 C3 (12)p3 q- -h G, C2 C, (12) p„
2 C2 C3 (23) = 0, 717, Ct =0.
Or, pour que ces trois groupes d’équations puissent représenter les coordonnées de la même droite x, il faut que les coefficients variables A , , . . . A 4 , B , , . . . Bfl , Cj , . . . C4 satisfassent aux relations
J. C. KLUYVER.
Bl B 2 B 3 B, .t
Cx C2 __ C, c4 A, (23) (34) Ak (14) (34) - Ax (12) (14) A2 (23) (12) ‘
Dans cette supposition, en effet, il suit de A A2 A3 (23) ~ 0 que les conditions
sont également remplies. Quant aux autres relations entre les coefficients, elles déterminent les quantités encore inconnues ? t1,...7t4. On trouve, en effet,
TU j « «... ^ 2 ^ 3 TU ^
tt2 (31) (14) — 'fi j (23) (24) — (23) (31) — ?r3 (14) (24) ’
TU ^ TU q TU ^ TU ^
(12) (14) “ tt4 (23) (12) - vr, (23) (34) = n, (14) (34) •
A ces équations il peut être satisfait en posant
TU | TU ^ TU jj
Les signes des radicaux doivent être choisis de manière qu’on ait toujours
