TT , 7T 3 (24) = -+- 7T2 7T

Les radicaux eux-mêmes ont déjà été rencontrés dans l’art. 1, où nous les avons désignés par les lettres P,, . . . .P4.

Il résulte de tout ce qui précède, que la droite l peut décrire quatre hyperboloïdes répondant à l’obligation imposée, hvperboloïdes qui sont représentés par les équations

pi =. Z A , p , , . . . ui =: 2 A , u , ,

2 A2 A3 (23) = 0, 2 A1Pl = 0,

dans la dernière desquelles les signes de P,,...P4 doivent être pris tels que l’indique le tableau suivant :

SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC. 89

En rapprochant ce résultat de ce qui a été trouvé à Fart. 3, on reconnaît que les droites l ne sont autre chose que les directrices des quatre hyperboloïdes i?5, i?6, H 7 et i?8. A ces hyperboloïdes seuls appartient donc la propriété, que l’enveloppe des plans focaux de leurs points, ou, ce qui revient au même, le lieu géométrique des foyers de leurs plans tangents, est toujours formé par la même surface réglée P6, quel que soit celui des trois systèmes focaux qui sert de point de départ. Les coordonnées des génératrices x de cette surface réglée sont déterminées par les équations

px — ^ Vx pi} . . . ux “ 2 V{ ui3

V 3 (23) = 0, S y~jjr — 0-

Les signes des quantités P,,...P4 se règlent d’après le tableau ci-dessus.

9. Aux droites 2' de l’un des quatre hyperboloïdes H en question sont maintenant adjointes, au moyen de l’un des trois systèmes focaux, par exemple de (12 ; 34), certaines courbes gauches P3, situées sur la surface P6 qui correspond à H . Les plans focaux des points de l’une de ces courbes enveloppent la droite conjuguée z, la courbe elle-même a les droites 1, 2, 3, 4 et z pour cordes et devient, dans le cas F— 0, comme la remarque en a déjà été faite à l’art. 6, tangente à 1, 2, 3 et 4.

J. C. KLUYVEK.

Dans le cas général r^O, les quatre couples de points où R3 coupe les droites 1, 2, 3 et 4 représentent quatre formes quadratiques binaires flt . . ./4, entre lesquelles il existe des relations invariantes, que nous allons étudier.

Les quatre formes

fi — a*2> fi — bx2 , f3 = Cx2, /4 = dx 2, possèdent les invariants communs

4| i rz(aa;2; ^423 ~(èc)2, R.13 "zzz A22A33 A2 2 3, i?2î4 = (6 c) (b d) ( c d), etc.

En outre, il est toujours satisfait à l’identité

0 = ^234/1 “b i?3 14/2 + ^124/3 + ^321/4- Admettons que la droite z' détermine sur fi3 un couple de points représenté par la forme binaire /0 ; on a alors, vu que les formes /0, /, et f2 , aussi bien que les formes /0, /3 et /4 , sont en involution,

d’où il suit

En supposant provisoirement qu’il s’agisse de l’hyperboloïde Jï8, nous avons, d’après les équations (B) de l’art. 2,

(lz) __ (2 z) (3 z)

Mais les invariants (1 z), (12), etc. doivent évidemment être pris proportionnels aux résultantes Rl0, R]2> etc., de sorte qu’on obtient

E /?23/?24i?34 l^R3tRl4R37i R 12^14^24

1^R23JR3i/?,

SUR DES SYSTEMES DE RAYONS, ETC

Pour faire mieux ressortir la signification de cette relation triple entre quatre formes binaires, il convient de lui chercher d’abord une autre expression.

De (F) il suit immédiatement

fl .) o R ^ i H | 2

La division par

donne

3 2 1 n 1 4 ^ n, ri 2 3 *

Il est à remarquer que cette équation reste la même, quand on part des hyperboloïdes HG ou H7. Le second membre acquiert au contraire le signe négatif, lorsque la droite z est prise sur l’un des hyperboloïdes Hx , H2, H3 ou Hk.

L’identité

conduit à l’équation

En combinant celle-ci avec l’équation (G), on obtient