COURBES CUBIQUES PLANES
PAR
Lorsque trois points d’inflexion d’une cubique plane, situés en ligne droite, sont projetés sur la courbe d’un de ses points pris pour centre, on obtient trois points qui possèdent cette propriété, que chaque droite joignant deux de ces points contient le point tangentiel du troisième ').
Dans les pages suivantes, je considère plus généralement des polygones qui sont inscrits dans une cubique de telle sorte que chaque côté passe par le point tangentiel du sommet précédent ; il en résulte que les sommets d’un pareil polygone cyclique appartiennent à des groupes involutifs connus. Le second § est consacré à l’étude de polygones cycliques pour lesquels le point tangentiel du sommet #ème est situé sur la droite qui joint les sommets ( i -h 2)ième et ( i 4- 3)ième, tandis que dans le § 3 sont considérés les cas où le point tangentiel se trouve sur le côté opposé, ou, quand le nombre des côtés est pair, sur l’un des deux côtés opposés.
i ) On trouve une étude détaillée de ces systèmes de trois points dans l’ouvrage de Durège: Die ebenen Gurven driiter Ordnung (Teubner, 1871) ; ils y sont nommés Jnflexionstripel, et la première idée en est attribuée à Küpper (p. 286 etc.)
Archives Néerlandaises, T. XXV.
JAN DE VRIES
1. Les coordonnées homogènes de la courbe du troisième degré, à équation canonique
a:,3 + x23 -(- .z33 = cx} x2 , (1)
peuvent être représentées de la manière suivante par des fonctions doublement périodiques d’un paramètre réel u '):
qx , —0 j
QX 2 O |
qx 3=:^,
(u+lwjtf, ^tH-'(2o>+w')^6ll (w+|(2 co— <o') j ^ .(2) (w)âl (u— -|-co' j<9,(u+-i-co' j
Par suite de cette substitution, les paramètres ui {% = 1 jusqu’à 3 n), qui correspondent aux points d’intersection de la courbe avec une courbe du degré n, doivent satisfaire à la congruence 2)
ut -i- u2 + + ... + u^n = 0 (mod. co, co') . . . (3)
Pour les points d’inflexion réels on a donc 3 u — 0 (mod. w),
de sorte qu’ils sont indiqués par les paramètres 0, -i co ,
3 ft,‘
Comme je ne veux relier chaque point de la courbe qu’aux autres points de la même branche, les paramètres ne sont comparés qu’au module co, de sorte que, dans la courbe à deux branches, la serpentine seule est considérée ; les résultats obtenus se laissent facilement étendre aux points de l’ovale.
1) Voir: Bobek, Einleitung in die Théorie der elliptischen Functionen
(Teubner, 1884), p. 249.
2) Comp. Bobek, p. 253, où est démontrée aussi la Réciproque de cette propriété.
POLYGONES CYCLIQUES, ETC
Le paramètre u' du point tangentiel de u est lié à u par la congruence
2 u + u = 0 (mod. co) (4)
Comme, en outre, la situation collinéaire des points u , v, w est exprimée par
u' + v -h w = 0 (mod. co) , . . . . , . . . (5)
la relation
2 u = v -4- w (mod. co) (6)
est la condition qui doit être remplie lorsque les points v et w sont situés en ligne droite avec le point tangentiel de u. 2. Si maintenant l’on a
(2 ux = u2 + u3 ( 2 u2=u3 -h u4,
par conséquent
2 Uj 2u2 = 2 u3 ux + u2 ,
on a aussi
et les points ux% u2, u3 forment un triangle cyclique.
Des deux premières congruences il suit
3 u 3 nrr 3 u j ,
par conséquent
U3 ~rzz: Ux -h ~g* CC CO (oc — — 1, 2) , et la troisième donne ensuite
U2 U , H — — a co.
Chaque point u t ne fournit donc qu’un seul triangle cyclique réel ; en effet, la substitution de a — 2 à a z=z 1 a seulement pour résultat que u2 est remplacé par u3.
Pour les paramètres vlf v2) v3 des points qu’on obtient en
JAN DE VRIES
projetant u}, u2, u3 du point d’inflexion u ^5= 0 comme centre, on a évidemment (« = 2)
vv =■ — u v2 = — ux — -g- w, s = — u, — y o>;
les trois nouveaux points forment donc également un triangle cyclique. On a, en outre,
^1+^2 4" TT" w = A} ^2 “i” ^3 d” q w = A} ^3 d~ #
w, d" ^3 -+* 7TW = fl} ^2 d“ ^ i d“'7TC0;=: 0, U3 -+-
CO
c’est-à-dire : des points d’inflexion — co et — co comme cen-
très, les points ux, u2, u3 sont projetés successivement en v2, vs, v, et en ti3, d,, »2 (Küpper; comp. Durège, £.<?.): les sommets des deux triangles cycliques forment avec les points d’inflexion une configuration desmique particulière *).
3. Si les paramètres u , , u2yu3)ui satisfont aux congruences :
! 2 uA = u2 H- u3 \ 2 u2 u3 + uk
\ 2 uh '==■ -+- n2 ,
dont la quatrième est une conséquence des autres, parce que la somme des quatre congruences donne une identité, alors les quatre points 1, 2, 3, 4, auxquels ces paramètres appartiennent, forment un quadriangle, dont les côtés 12, 23, 34, 41 portent successivement les points tangentiels 4, 1, 2, 3. Que les quatre congruences doivent former un système lié, c’est ce qu’on reconnaît de la manière suivante. L’ensemble des
• ) Voir J. de Vries, Over de desmische configurable 93 (Ver si. en Med., 1. I\, p 175 ou Ueber gewisse der allgemeinen kubischen Curve eingeschriebene Configurationen (Wiener Sitzungsberichte, T. XCVIII, p.448).
POLYGONES CYCLIQUES, ETC
quatre côtés peut être considéré comme une courbe du quatrième degré, et il en est de même pour le système des tangentes aux sommets ; si maintenant les droites 23, 34 et 41 déterminent les points tangentiels 1', 2' et 3', de sorte que les deux courbes du quatrième degré ont en commun onze points de la cubique, ces courbes doivent rencontrer la cubique au même douzième point; en d’autres termes, le point tangentiel 4' est situé sur la droite 12.
On démontre de la même manière la propriété générale: Lorsque n — 1 côtés d’un polygone à n côtés, inscrit dans la cubique , contiennent chacun le point tangentiel du sommet précédent, il en est de même du dernier côté.
