CHAPITRE IV

Théorie d’un système de particules chargées qui se déplacent à travers l’éther sans entraîner ce milieu.

Considérations préliminaires.

§ 74. Il m’a semblé utile de développer une théorie des phénomènes électromagnétiques basée sur l’idée d’une matière pondérable parfaitement perméable à l’éther et pouvant se déplacer sans communiquer à ce dernier le moindre mouvement. Certains faits de l’optique peuvent être invoqués à l’appui de cette hypothèse et, bien que le doute soit encore permis, il importe certainement d’examiner toutes les conséquences de cette manière de voir. Malheureusement une difficulté bien sérieuse se présente dès le début. Comment, en effet, se faire une idée précise d’un corps qui, se déplaçant au sein de l’éther et traversé par conséquent par ce milieu, est en même temps le siège d’un courant électrique ou d’un phénomène diélectrique? Pour surmonter la difficulté, autant qu’il m’était possible, j’ai cherché à ramener tous les phénomènes à un seul, le plus simple de tous, et qui n’est autre chose que le mouvement d’un corps électrisé. On verra que, sans approfondir la relation entre la matière pondérable et l’éther, on peut établir un système d’équations propres à décrire ce qui se passe dans un système de tels corps. Ces équations se prêtent à des applications très variées qui feront l’objet des chapitres suivants ; elles nous fourniront une déduction théorique du „ coefficient d’entraînement” que Fresnel introduisit dans la théorie de l’aberration. Il suffira, dans ces applications, d’admettre que tous les corps pondérables contiennent une multitude de petites particules à charges positives ou négatives et que les phénomènes électriques sont produits par le déplacement de ces particules. Selon cette manière de voir, une

charge électrique est constituée par un excès de particules dont les charges ont un signe déterminé, un courant électrique est un véritable courant de ces corpuscules et dans les isolateurs pondérables il y aura „ déplacement diélectrique” dès que les particules électrisées qu’il contient sont éloignées de leurs positions d’équilibre.

Ces . hypothèses n’ont rien de nouveau en ce qui concerne les électrolytes et elles offrent même une certaine analogie avec les idées sur les conducteurs métalliques qui avaient cours dans l’ancienne théorie de l’électricité. Des atomes des fluides électriques aux corpuscules chargés la distance n’est pas grande.

On voit donc que, dans la nouvelle forme que je vais lui donner, la théorie de Maxwell se rapproche des anciennes idées. On peut même, après avoir établi les formules assez simples qui régissent les mouvements des particules chargées, faire abstraction du raisonnement qui y a conduit et regarder ces formules comme exprimant une loi fondamentale comparable à celles de Weber et de Clausius. Cependant, ces équations conservent toujours l’empreinte des principes de Maxwell. Weber et Clausius regardaient les forces qui s’exercent entre deux atomes d’électricité comme déterminées par la position relative, les vitesses et les accélérations que présentent ces atomes au moment pour lequel on veut considérer leur action. Les formules, au contraire, auxquelles nous parviendrons expriment d’une part quels changements d’état sont provoqués dans l’éther par la présence et le mouvement de corpuscules électrisés ; d’autre part, elles font connaître la force avec laquelle l’éther agit sur l’une quelconque de ces particules. Si cette force dépend du mouvement des autres particules, c’est que ce mouvement a modifié l’état de l’éther ; aussi la valeur de la force, à un certain moment, n’est-elle pas déterminée par les vitesses et les accélérations que les petits corps possèdent à ce même instant; elle dérive plutôt des mouvements qui ont déjà eu lieu. En termes généraux, on peut dire que les

H. A. LORENTZ

phénomènes excités dans l’éther par le mouvement d’une particule électrisée se propagent avec une vitesse égale à celle de la lumière. On revient donc à une idée que Gauss énonça déjà en 1845 et suivant laquelle les actions électrodynamiques demanderaient un certain temps pour se propager de la particule agissante à la particule qui en subit les effets.

Hypothèses fondamentales.

§ 75. a. Les particules chargées seront regardées comme étant de la ^matière pondérable” à laquelle des forces peuvent être appliquées ; cependant, je supposerai que dans tout l’espace occupé par une particule se trouve aussi l’éther, et même qu’un déplacement diélectrique et une force magnétique, produits par une cause ' extérieure, peuvent exister dans cet espace comme si la ^matière pondérable” n’y existait pas. Cette dernière est donc considérée comme parfaitement perméable à ces actions.

b. Je désignerai par /, g et h les composantes du déplacement diélectrique dans l’éther, et je prendrai (§ 49) pour l’énergie potentielle du système la valeur

2nV>f(P +g> +h*)dr,

V étant la vitesse de la lumière dans l’éther. Dans tous les points extérieurs aux particules on aura

df dg dh A d X d y d Z

mais je suppose (§ 43) qu’à l’intérieur d’une particule cette équation doit être remplacée par

0/ ZJi__

où q désigne quelque quantité propre au point considéré de la particule et à laquelle il nous est impossible de rien changer. Cette quantité q sera appelée la densité de la charge électrique.

Pour simplifier les calculs, cette densité sera regardée comme une fonction continue des coordonnées ; on supposera donc que la valeur de o, 0 à l’extérieur d’une particule et positive ou négative à l’intérieur, ne présente pas une transition brusque à la surface. Cette dernière hypothèse nous donne le droit de regarder comme continues toutes les variables qui dépendent des coordonnées.

Du reste, x, y et z désigneront les coordonnées d’un point immobile dans l’espace. En général, toutes les quantités variables seront des fonctions de x , y, 2 et du temps t.

c. Les particules se comporteront comme des corps rigides ; elles ne pourront donc avoir d’autre mouvement qu’une translation et une rotation. Dans ce mouvement, chaque point d’une particule conservera la même valeur de q. Les valeurs de /, g et h dans l’éther, lui-même immobile, doivent changer de telle façon que ce soit chaque fois dans un nouveau point de l’espace qu’il est satisfait à l’équation (51).

d. Je désignerai par J, y et £ les composantes de la vitesse d’un point d’une particule chargée, et je supposerai que le „courant électrique” — c’est-à-dire le vecteur qui donne lieu à une énergie cinétique de la grandeur à indiquer tantôt — a pour composantes:

. df d g d h /c?ox

A l’appui de cette hypothèse, que j’ai empruntée à M Hertz, on peut rappeler l’expérience bien connue de M. Rowland, dans laquelle la rotation rapide d’un disque chargé a produit les mêmes effets électromagnétiques qu’un système de courants circulaires. Elle a démontré que le déplacement d’un corps chargé constitue un vrai courant électrique, ce qui d’ailleurs est conforme à la théorie généralement acceptée de l’électrolyse.

Or, on mesure toujours les composantes d’un courant par les quantités d’électricité, rapportées à l’unité de surface et à l’unité de temps, qui traversent des éléments de surface per-

H. A. LORKNTZ.

pendiculaires aux axes des coordonnées. Si donc l’unité de volume d’un corps chargé, animé de la vitesse (£, y, f), contient la quantité d’électricité q. les composantes du courant seront q |, q y, q Ç.

D’un autre côté, on admet dans la théorie de Maxwell que les variations du déplacement diélectrique constituent un courant aux composantes ^ . Les équations (52) expri-

o t d t ut

ment donc que le vecteur dont dépend l’énergie cinétique est composé des deux courants dont nous venons de parler.

Ce „ courant total” a la propriété importante que la distribution en est solénoïdale.

En effet, dans le mouvement d’un corps rigide on a:

dj d x

et par conséquent:

u y dz

du d V d W . do d X d y d Z d X

do dp

VTy+lrz

ou bien, en vertu de la formule (51),

du d v d X d y

■*" dt u

\dx^dy^dzj’

dw dQ dQ do dç

~z — — T-r -b Ç r b rj z b Ç z — .

dz dt d X d y dz

Ici le second membre représente la variation par unité de temps de la densité électrique dans un point qui se déplace avec la particule; l’expression s’annule donc en vertu de 1 hypothèse c.

e. Grâce à la propriété que je viens de démontrer, on peut admettre que la relation entre le courant électrique (u, v, w) et l’énergie cinétique est toujours celle que nous avons appris à connaître dans le premier chapitre. Comme il s’agit des phénomènes dans l’éther il n’y a pas lieu de distinguer la force et l’induction magnétiques; je déterminerai donc la force magnétique (a, /5, y) par les équations:

et j’attribuerai à l’énergie cinétique la valeur:

+P +-/2)dr.

On obtient ces formules en posant a “ b z= (3, c = y dans celles des paragraphes 9 et 10 ; on fera les mêmes substitutions dans les équations (14) qui servent à définir les fonctions auxiliaires F, G et H .

/. Enfin, je supposerai que la position de chaque point qui prend part aux mouvements électromagnétiques est déterminée dès qu’on connaît la position de toutes les particules chargées du système et les valeurs de /, g et h dans tous les points de l’espace. C’est une hypothèse analogue à celle que j’ai discutée au chapitre précédent et présentant les mêmes difficultés.

Valeur de la variation 8' T.

§ 76. Cette fois encore, j’aurai recours à la formule générale (3) pour trouver les équations du mouvement. Je commence par la variation 8' T.

Désignons par x', y', z' les coordonnées d’un point quelconque qui prend part aux mouvements électromagnétiques, et par x, y, z celles d’un point quelconque d’une particule chargée.

Un déplacement virtuel du système peut évidemment être défini au moyen des variations 8 x, 8 y, 8 z d’une part et des variations 8f, 8 g, 8 h de l’autre, et les quantités 8x,8y',8z seront des fonctions linéaires et homogènes de toutes les va-

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riations ô x, ô y, fi z, cl y, è' /i. Les coefficients de ces dernières quantités seront des constantes tant qu’il s’agit d’une position initiale déterminée.

En remplaçant, dans les fonctions dont il vient d’être question, Sx, d y, ô z, d /, ô g, dh par x, y, z (ou J, y, £), /, y, on aura les valeurs de x', y', z' et, en y remplaçant de nouveau J, 77, Ç, / y, h par ô S, d y, d Ç, 5/, d y, d X, on trouvera les variations correspondantes des vitesses x', y', z', la configuration étant toujours regardée comme constante. Il en résulte que si, sans rien changer à la configuration, on donne à y, Ç, /, g . ^ les accroissements d x, à' y, à' z, à'/, d y, 5 h. les vitesses de tous les points du système subiront précisément les variations dont il était question dans la définition de T.

Or, ces variations de ?, y, J, /, y, h donnent lieu aux variations suivantes des composantes (52) :

q d x H- dff q d y + 8 g, q d z -f- d h, et on aura par conséquent (§ 12):

fl' T=j j F (q Sx. + $f) + G (<? Sy + ôg) + H (9 Sz + dh) J dr.(56)

Equations qui déterminent Vétat de Vêther.

§ 77. Considérons d’abord un déplacement virtuel auquel les particules chargées ne participent pas; l’équation (51) impose alors aux variations d f, ô g, d h la condition

d d f dÔg d d h d x

En les supposant indépendantes du temps, ce qui est évidemment permis, on aura:

dô'T d G ^ 0 E

st9f + Tt9g

Sh)d

Par un raisonnement tel qu’il a été employé aux paragraphes 19 et 58, on démontre

Enfin, le travail 8 A, ou la diminution de l’énergie potentielle, est donné par la formule

V2 j(fdf + gSg + hSh) d r.

Il faut donc que, pour toutes les valeurs admissibles de 5 /, 8 g , 8 h , on ait :

,J(f8f + g 8 g + h 8 li)dr z=z

JTSf + JT^

Il en résulte (§ 25) que, pour toute ligne fermée immobile dans d’espace, dont un élément d s a les cosinus directeurs p , q , r,

— 4 7T V2 j (pf +qg-hrh)ds = ^ j (p F + q G r H) ds,

et cette formule, appliquée à des cas particuliers, donne les équations suivantes:

dh\

ly)

ou bien, en vertu des formules (14) :

AnV2(^— ~) = dA~,

Si le mouvement des particules chargées est donné et si l’on connaît en outre les valeurs de /, g , h , a, |3, / pour le temps t = 0, ces formules, jointes aux équations (50), (51), (54) et (55), déterminent complètement l’état de l’éther.

H. A. LORENTZ

Action de Vêther sur une particule chargée .

§ 78. Le système des forces avec lesquelles l’éther agit sur une particule chargée M se réduit à une force résultante et à un couple. Pour déterminer les composantes X, T et Z de la force, je ferai d’abord remarquer que, dans un état de mouvement donné, ces composantes ne sauraient dépendre de la masse de la matière pondérable qui constitue les particules chargées. Si cette masse était tout à fait insensible, ( — X, — Y. — Z) représenterait la force extérieure qu’il faut appliquer à la particule pour produire le mouvement actuel. On déterminera donc — X, — Y, — Z au moyen de la formule (3) en supposant que la valeur de T , donnée au paragraphe 75, représente l’énergie cinétique totale.

Pour trouver — X, il faut considérer un déplacement virtuel dans lequel la particule M seule éprouve une translation ô x dans la direction de O X, les autres particules chargées ne changeant pas de place.

Pour que cette translation soit compatible avec la condition (51), il faut qu’elle soit accompagnée d’une variation de /, g et h. Cette variation peut être choisie d’une infinité de manières différentes, mais il est clair qu’après avoir obtenu les équations (57) on peut se borner à une seule entre toutes les suppositions admissibles. Je m’arrêterai à celle qui me semble la plus simple.

Dans tout l’espace extérieur à la particule M je poserai: df— ôg = dh — 0, mais à l’intérieur je prendrai :

Si on admet ces valeurs, les deux membres de l’équation (51) subiront dans un point fixe de l’espace les mêmes variations et la condition sera encore remplie après le déplacement.

En effet, comme ô' x a pour tous les points de la particule la même valeur, on trouve pour l’accroissement du premier membre

ce qui est précisément la variation de la densité q dans un point ( x, y , z) de l’espace, si elle y prend la valeur qui existait d’abord au point (x — 8 x, y, z).

§ 79. Le premier membre de l’équation (3) prend maintenant la valeur

5^4 = — X $ x — f- 4 7 t V2 8 x.J q f dr,

l’intégrale étant étendue à l’espace occupé par la particule M. La formule (56) donne:

et on n’a donc plus qu’à calculer la variation 8 T.

Dans ce calcul, je supposerai que 8x est indépendant du temps.

§ 80. Pour que le système exécute le mouvement varié, il suffit, d’après l’hypothèse / du paragraphe 75, qu’à partir de la configuration W/ (§ 19), on donne aux particules chargées les positions et aux composantes f, g , et h les valeurs qu’elles ont dans la configuration W2\ tout ceci ayant lieu pendant un intervalle d t.

Voici, en quoi ce mouvement varié se distingue du mouvement réel:

a. Le mouvement des particules, à l’exception de la seule M, n’a subi aucun changement.

b. La vitesse d’un point quelconque de la particule M n’a changé ni en grandeur ni en direction, mais la ligne décrite par ce point dans le mouvement varié n’est pas la même que celle qu’il suivait dans le mouvement réel. On obtient la première ligne en donnant à la seconde une translation 8 x.

Les premiers termes q £, q y et q J dans les expressions (52) n’ont donc plus pour un même point de l’espace les mêmes valeurs dans les deux mouvements. Leurs variations sont :

3(gl)

c. Comme les variations W { — > W / et W2 — > W2' n’affec-

H. A. LORENTZ

tent pas les valeurs de g et de h, les dérivées g et h seront dans le mouvement varié ce qu’elles étaient dans le mouvement réel.

d. Le cas est différent pour f. Si, en un point déterminé de l’espace, la première composante du déplacement diélectrique a la valeur / dans la position Wn la valeur sera f-hf dt dans la position W2if se rapportant au mouvement réel.

La valeur dans la configuration W x' sera (§ 78)

f-Qàx (59)

et on obtiendra la valeur variée, pour le moment t -h d t, en ajoutant à / fdt ce que devient — q 8 x à ce moment dans le point de l’espace considéré. Il est clair que q y est devenu :

et la variation 8 x ne change pas avec le temps. On peut donc écrire pour la valeur de / dans la configuration W2':

En divisant par d t la différence des expressions (59) et (60) on trouve la valeur de / dans le mouvement varié. La variation de / devient

dx ’ 7 d y

ce qui, joint aux expressions (58), donne:

g(gl)

lQ

ap.

dy

Jr ' T + dx + v dy+l dz)

dy

Il est clair que c’est seulement dans l’espace occupé par la particule M qu’il y aura des variations de u, v et w ; l’intégrale doit donc être étendue à cet espace.

L’équation peut être transformée au moyen d’une intégration partielle. En ayant égard aux formules (14) et (53) et à la circonstance que

à la surface de la particule, on arrive à la formule assez simple :

ÔT=ôxj’()(v/ — /3) d t.

On n’a plus qu’à substituer cette valeur et celles de 8 A et ô' T (§79) dans l’équation (3). Voici les valeurs définitives des composantes de la force cherchée :

X = 4 TT F2 T = 4tt F5 Z = 4 n F2

fçfdr H- [(ffoy — çp) dr, )

f Q9 dr + f q (Ça — Ç y) d t, ^ - • • fçhdr 4- J Q (£ fi — va) d T-

Moment du couple qui agit sur une particule chargée . 1 )

§ 81. Je considérerai les particules comme de petites sphères dans lesquelles la densité électrique q est une fonction de la distance r au centre et je choisirai ce dernier pour le point d’application de la force (X, Y, Z)- Quelles sont alors les composantes L, M, N du couple qui provient des actions exercées par l’éther? Pour les calculer, j’aurai recours à un artifice, analogue à celui qui nous a servi au paragraphe 78. Dans le cas où la masse de la particule M peut être négligée, — L, — M, — N doivent être les composantes du couple qui dérive des forces extérieures, et si on prend pour le déplacement

A) On peut comprendre toutes les applications de la théorie sans avoir lu les paragraphes 81—89.

Archives Néerlandaises, T. XXV.

H. A. LORENTZ

virtuel une rotation infiniment petite co autour d’un axe passant par le centre et parallèle à O X, le travail de ces forces sera