L CO
Comme la densité q dans un point déterminé de l’espace n’est pas changée par la rotation, on peut supposer que le déplacement virtuel n’atteint pas les valeurs de /, g et h. On aura donc
et en considérant co comme indépendant du temps on s’assure facilement que
Reste à calculer <5' T. Si x, y et z sont les coordonnées d’un point de la particule M , prises par rapport au centre, on aura
8 X = 0, d y =: — co z, ô z nr -f- co y,
et, par la formule (56),
d'T = œjQ (Hy — G z) d t.
On finira par trouver pour les composantes du couple :
M= Jjf q(Hx — F7.) dr, (62)
N=^jjg(F y-Gx)dr,
où les intégrales doivent de nouveau être étendues à l’espace occupé par la particule considérée.
Vitesse de rotation d’une particule.
§ 82. Soient: m la masse d’une particule, l son rayon d’inertie par rapport à un axe passant par le centre, #.r, fy, d’lès vitesses de rotation autour de trois axes qui sont parallèles
à 0 X, 0 Y et O Z. Supposons que les forces extérieures ne donnent pas lieu à un couple. Alors on aura
J (j (Qz — Hy) d r, etc.
d’où l’on tire:
d r, etc.
Il n’est pas nécessaire d’ajouter des constantes, si on admet, comme cela est bien naturel, qu’antérieurement aux mouvements que nous étudions, le système a été à l’état de repos sans qu’il y eût des courants électriques. Alors, dans cet état initial, les quantités F, G , H , 0>, 0>, O* ont toutes été ,0.
§ 83. Pour transformer les intégrales, je désigne par r la distance du centre au point (x, y, /), par R le rayon de la particule, et je définis une fonction auxiliaire i au moyen de la formule :
rR
X=J q r dr.
En introduisant cette fonction, qui dépend de r seulement, on trouve:
ou bien, en intégrant par parties et en se rappelant que, pour r — R, y — 0:
Si, dans toute l’étendue de la particule, la densité q a le même signe, il en sera de même de la fonction y et on peut écrire, en représentant par ü une certaine valeur moyenne,
ou, après quelques transformations,
H. A. LORENTZ
3 71 ml*] J
Si q était la densité de la matière pondérable, la dernière intégrale aurait la valeur
-ml'1.
Maintenant que q représente la densité de la charge électrique, on aura d’une manière analogue rR 3
si e est la charge totale et V une longueur qui est déterminée par la distribution de la charge, tout comme l est déterminé par celle de la matière pondérable. On arrive ainsi aux formules
xbi
Pel'2
Xty
2 ml11 2 ml* ’ 2 ml'1
Si la particule ne possédait aucune masse, ces équations exigeraient
c’est-à-dire que la particule tournerait alors si vite et dans une telle direction que la force magnétique moyenne à l’intérieur en deviendrait 0.
Cependant, je ne négligerai pas la masse; je lui attribuerai même une telle valeur que les rotations n’aient pas d’influence sensible.
Influence des rotations sur les valeurs des forces X, Y et Z-
§ 84. La vitesse (|, ?/, Ç), dont les composantes entrent dans les derniers termes des formules (61) peut être décomposée en deux parties, la première étant la vitesse (?0, ?/0, Ç0) du centre, c’est-à-dire la vitesse de translation, et la seconde, que
je représenterai par (?,, £,) étant due à la rotation. Pa-
reillement, on peut distinguer dans la force magnétique totale H ou (a, p, /): 1°. la force magnétique H0 qui existerait si la particule considérée était en repos, 2°. celle (H,) qui est due à la translation dont elle est animée, et 3°. celle (H2) qui est causée par la rotation.
Ces divisions conduisent à regarder X, T et Z comme composés de plusieurs parties, que nous allons considérer successivement.
§ 85. Si, d’abord, on se borne à la force magnétique H 0 , et si l’on suppose qu’elle a la même valeur et la même direction dans tous les points de la particule, ce qui est évidemment permis quand cette dernière est suffisamment petite, on est amené à des intégrales telles que
les intégrales j q rj , d r, etc. s’évanouissant, parce que la distribution de la densité q est symétrique autour du centre.
Tant qu’il s’agit de H0 seulement, on peut donc faire abstraction de la rotation ; et si est la partie de la force (X, T, Z) qui correspond à H0, on aura évidemment (§ 6, k) :
v étant la vitesse de translation.
§ 86. A cette force $ il faut ajouter:
1° une force qu’on obtient en combinant, de la manière qui est indiquée dans les formules (61), la force magnétique H, et la vitesse v ou (|0, £0);
2° une force g*11 qui résulte de la combinaison de H , avec
(£i. v,, Si);
j Qt]y0dT = -/0 j e()70 + ti,)dr, etc.
Elles peuvent être remplacées par
£(=)H0ev,
448 H. A. LORENTZ
3° la force qui dépend en même temps de H2 et de (£o> Vo> £o)>
4° la force ^IV qui est déterminée par H 2 et (g , , rj , , £ , ).
Cependant, nous n’aurons pas à nous occuper de g*1, parce que c’est l’effet d’une rotation que nous désirons connaître.
Pour simplifier encore davantage, je n’essayerai pas de déterminer rigoureusement g*111, ^IV; cela exigerait des calculs bien laborieux, parce que H, et H2 dépendent, non seulement du mouvement actuel de la particule, mais aussi de sa translation et de sa rotation antérieures. Je prendrai pour H, et H 2 les valeurs que ces forces magnétiques auraient si la particule était animée d’une translation ou d’une rotation constante; il semble qu’on peut ainsi obtenir une idée suffisante de l’ordre de grandeur des quantités cherchées.
Or, après avoir introduit cette simplification, on peut démontrer que, pour des raisons de symétrie qu’il semble superflu de spécifier, ^IV — 0. Il nous reste donc à évaluer g111 et § 87. Considérons une particule qui est animée d’une vitesse de translation v, le centre décrivant une ligne droite, et construisons, à l’intérieur, un cercle de rayon r, dont l’axe coïncide avec cette ligne. Ce cercle indiquera la direction de H, et sera, en même temps, le lieu géométrique des points où ce vecteur a une valeur déterminée. Or, en se rappelant la propriété fondamentale de la force magnétique (§ 9, 2) et en ayant égard à ce que le courant qui détermine H , est du même
ordre de grandeur que q v, ou que — ~} R étant le rayon
de la particule, on trouve
OU
Lorsque, en second lieu, la particule tourne autour d’un diamètre avec une vitesse angulaire d-, elle peut être divisée en un système d’anneaux à sections infiniment petites, qui ont tous pour axe ce diamètre. Si l’un quelconque de ces anneaux a le rayon r et la section d a, il y existera un courant dont l’intensité i, prise dans le sens ordinaire du mot, est du même ordre de grandeur que le produit q & rdo. Un tel courant annulaire produit, comme on sait, à son centre une force
magnétique ^ - (=) 2 n q d- d <r. La force magnétique qu’il fait
naître au centre de la sphère est du même ordre ; on trouve donc, en intégrant sur la demi-surface d’un grand cercle,
équation qu’on peut aussi appliquer aux autres points de la particule, précisément parce qu’il ne s’agit que de l’ordre de grandeur de H2.
§ 88. Si on porte dans les formules (61) les valeurs de H 1 et H2, en ayant égard à ce que la vitesse (£ , , ^ , , Ç , ) est de l’ordre & R, on trouve :
où l’on peut substituer la valeur de 0- qui est donnée par les équations (64). Or, dans ces dernières, V et l sont des longueurs du même ordre, et la force magnétique («, 7, y) sera plus petite que la force magnétique H 0 , parce que la rotation de la particule tend à diminuer la force magnétique à l’intérieur (§ 83). On exagérera donc les forces ffi1 et 3*111 si on écrit
ou bien
et
H. A. LORENTZ
La comparaison de ce résultat avec la valeur (65) donne: % [~} $ 1 ' mit *
Il en résulte qu’on pourra négliger et g*™, en d’autres termes, qu’on pourra faire abstraction de la rotation, si
est une fraction très petite.
§ 89. Soit a la densité de la matière pondérable qui constitue une particule; alors on aura:
eL m
Si la particule chargée était un atome d’une des parties compo-
Tïb
santés d’un électrolyte, — ne serait autre chose que l’équivalent électrochimique de cette composante, exprimé en unités électromagnétiques. En choisissant comme unités fondamentales le centimètre, le gramme et la seconde, on a pour l’hydrogène :
et pour tous les autres corps une valeur plus grande.
Supposons que a ne surpasse pas le nombre 100; e2 e 2
pour que ou a R2 soit une petite fraction, il suffira
TTL
alors que R soit beaucoup plus petit que ^ = 0,00001
centimètre. C’est ce que tout le monde admettra.
Quant aux particules chargées qui se trouvent dans les métaux et dans les corps non-conducteurs, je me bornerai à
remarquer que, pour des valeurs déterminées de — et de a, on pourra rendre l’expression
aussi petite que l’on voudra, par une supposition convenable sur la longueur de R.
Récapitulation des formules les plus importantes.
§ 90. Je suis bien éloigné de vouloir attacher trop d’importance aux considérations précédentes. Elles n’avaient d’autre but que de rendre plus acceptable l’hypothèse que voici, dont je me servirai dans tout ce qui suit :
Les particules chargées dont le déplacement donne lieu aux phénomènes électriques ne peuvent pas tourner autour de leur centre et, pour en déterminer le mouvement de translation, il suffit d’employer les équations (61), qui peuvent être mises sous la forme suivante:
X = 4tt F2 J
fÿ/dr + t/J
f q yd t —
ÇJ
