X -b X' = m î, T -b Y' = m 7/, Z ~î“ Z' — Ttt
Il faut que le travail des forces extérieures par unité de temps, c’est à dire l’expression
H. A. LORENTZ
soit égal à
Ci Z
U étant une fonction qui est déterminée par
l’état du système. Or, en employant les formules (I) et (66), on trouve d’abord d d t
A S [ m (|2 + y2 + £2) — 4 tt F
rj jo g d t H- jJç/fcdTjzzz
= jj Z \ m (S2 4- y'1 4- V) — 4 n V2 J ç (?/ -h y g -h ’Çh) dz.
Dans la dernière intégrale, qui doit être étendue à l’espace infini, on peut substituer les valeurs de q J, q y, q £ qu’on tire des équations (IV); ensuite, on peut intégrer par parties et employer les équations (V). En fin de compte :
si on pose:
V=£ \ m (|2 + + £*) + 2 TT F» J(/2 + g* + h*) d r +
+ 8^/(“î+‘î2+/î)tir-
C’est la valeur de l’énergie du système. Le premier terme n’est autre chose que l’énergie cinétique que les particules possèdent en vertu de leurs masses. Les deux autres termes ont la forme que nous connaissons déjà. Seulement, du point de vue où nous nous sommes placés maintenant, il n’est pas nécessaire de regarder comme potentielle l’énergie
2 n F2 j(p + g* + W)dx
et comme cinétique l’énergie
CHAPITKE V.
Applications de la théorie précédente.
Electrostatique.
§ 93. Supposons que toutes les particules chargées se trouvent en repos et que dans l’éther il n’y ait aucun courant de déplacement. Alors les formules (III) et (IV) donnent
a = fi = y = 0
et les formules (V) deviennent:
dz d y d X d Z dy d X
Il faut donc que f, g et h soient les dérivées partielles d’une même fonction. En désignant celle-ci par
on aura en vertu de la relation (II)
Après avoir déterminé £2 à l’aide de cette formule, on trouve
Ce sont les équations dont se servirait l’ancienne électrostatique pour calculer la force qui agit sur une particule chargée; seulement, dans cette théorie, les formules reposeraient sur l’hypothèse que deux quantités dq et dq ' d’électricité, situées à une distance r l’une de l’autre, se repoussent avec une force :
dq d£ r 2
Evidemment, le facteur V doit être le rapport entre les unités électromagnétique et électrostatique de l’électricité. On sait, en effet, que ce rapport est exprimé par le même nombre que la vitesse de la lumière dans l’éther.
H. A. LORENTZ
§ 94. D’après ce qui précède, notre théorie exige que deux particules immobiles aux chargeseete', dont les dimensions sont beaucoup plus petites que la distance r, se repoussent avec une force
un signe négatif de cette expression indiquant une attraction.
Si donc on admet que les corps pondérables contiennent une multitude de petites particules chargées, que dans les conducteurs ces particules peuvent se mouvoir librement et qu’une charge électrique est constituée par un excès de particules positives ou négatives, on peut donner à la théorie de l’équilibre électrique une telle forme qu’elle ne se distingue guère de la théorie ancienne. Seulement, on ne parlera pas de particules d’électricité, mais de particules chargées, et on se souviendra toujours que les forces mutuelles sont causées par une modification dans l’état de l’éther.
Dans cette électrostatique ramenée à la forme ancienne, on définira le potentiel par la formule :
<f= VX-- , r
et on aura pour les composantes de la force qui agit sur une des particules:
— Ve
d Cp X j V X
Ve
0 cp
dÿ’
Ve
0 cp 3 z
Remarquons que ce potentiel est intimement lié à la fonction £2 que j’ai introduite dans le paragraphe précédent. Cette fonction peut évidemment être décomposée en un grand nombre de parties dont chacune est due à une seule des particules chargées. Si, dans le calcul de 12, on exclut la partie qui dépend de la particule pour laquelle on veut calculer la force, la fonction devient identique à q>.
Force électrodynamique agissant sur un élément d’un circuit linéaire.
§ 95. Dans l’étude des courants électriques qu’on peut observer par les moyens ordinaires, il ne faut pas perdre de vue que la plus petite partie d’un conducteur sur laquelle on puisse opérer contient toujours une multitude énorme de particules chargées ; on peut même concevoir une partie de l’espace qui satisfait à cette dernière condition et qui peut néanmoins être regardée comme infiniment petite dans une théorie ayant pour objet, non pas le mouvement des particules individuelles, mais les effets d’ensemble qui sont accessibles à nos sens. Un tel élément de volume sera représenté par Dr, pour le distinguer d’un élément d r qui est infiniment petit dans le sens mathématique et peut par conséquent trouver place même à l’intérieur d’une seule particule.
Or, il est clair qu’en suivant une ligne droite de petite longueur, tirée dans un conducteur, on rencontrera en succession rapide des valeurs très différentes des fonctions j, g , h , u, v, w, a, /, la droite se trouvant tantôt dans le voisinage immédiat ou même à l’intérieur d’une particule chargée et tantôt à une distance plus grande. Cependant, ces variations rapides n’ont aucune influence sur les phénomènes considérés; ce qu’on peut observer dépend uniquement des valeurs moyennes, qu’on peut définir de la manière suivante :
Si l’on conçoit un élément sphérique B r ayant pour centre un point quelconque P, et qu’on prenne la valeur moyenne ip qu’une fonction xp présente à l’intérieur de D r, cette valeur xp sera nommée la valeur moyenne au point P.
Evidemment, on aura
l’intégration s’étendant à la sphère D r. Le résultat sera une
H. A. LORENTZ
fonction de t et des coordonnées x% y, z du point P, et on démontre facilement les relations suivantes :
d xp d Xp d xp D Xp d Xp t) i p d x p d X{i
dt dt ' d X dx ’ d y d y 1 d Z D z *
Il en résulte que les équations
dy
=. 4 TT Uj
DJ
D a dy
=r 4 tc w
auront toujours lieu, si l’on entend par a, (3, /, u, v et wles valeurs moyennes.
Il est clair du reste que
xp = xp
si la fonction xp ne présente pas de variations rapides à l’intérieur de l’élément D r.
§ 96. La valeur moyenne de u (§ 75, d) est:
M==Fï/e?<ir + iTrTtffdT'
Si le mouvement des particules chargées est stationnaire, h r ne change pas avec le temps et le dernier terme s’annule. D’un autre côté, l’intégrale
fçgdr
peut être remplacée par
2eS,
e étant la charge d’une particule, et la somme étant étendue à toutes les particules de l’élément D r.
On trouve donc:
Ces expressions peuvent être interprétées de différentes manières. D’abord, on peut écrire: X e £ =: X, -f- E2 |2, etc., en représentant par E{ la somme de toutes les charges positives, par E2 celle des charges négatives et par et £2 les vitesses moyennes des particules positives et négatives. En second lieu, on peut considérer un élément de surface perpendiculaire à O X, et comparable quant aux dimensions à D r. La composante u sera égale à la somme des charges que possèdent les particules qui traversent cet élément, cette somme étant rapportée à l’unité de surface et à l’unité de temps.
En prenant pour u , v , w les valeurs (68) on déterminera par les formules (67) la force magnétique produite par un courant stationnaire.
§ 97. Concevons un champ magnétique quelconque et dans ce champ un circuit linéaire fermé s. Tant que les particules chargées contenues dans ce conducteur se trouvent en repos, les composantes «, /?, y auront partout les valeurs qui correspondent au champ magnétique donné ; d’ailleurs, si ces valeurs sont constantes, on peut supposer f — g = h = 0.
Si maintenant on établit dans le circuit un courant électrique l’état de l’éther et les valeurs de a, /?, / en seront changés, mais on peut faire abstraction de ce changement dans le calcul suivant, qui doit faire connaître la force agissant sur un élément de la longueur D s 1 ), en tant qu’elle dépend de l'état de l’éther qui existait déjà
Remarquons que la force électrodynamique cherchée E est la résultante des forces que toutes les particules chargées de l’élément éprouvent de la part de l’éther. Le champ magnétique pouvant être considéré comme homogène dans l’étendue de D s, les équations (I) (§ 90) donnent:
1) La lettre D indique ici la même chose que lorsqu’il s’agissait d’un élément de volume Dr.
Archives Néerlandaises, T. XXV.
H. A. LORENTZ
Les sommes doivent être étendues à toutes les particules qui se trouvent à l’intérieur de l’élément. Je représente par
œ la section du conducteur, par C =r — le courant, par l, m
et n les cosinus directeurs de D s.
Alors, des équations (68) on déduit:
2* e | u œ D s ~ l C co D s ■= l i D s,
2 e i] — mi D s, Ze'Q — niDs)
donc :
E yz=i(ncc — l y)Ds,( (69)
E s =i(l p — ma) D s. \
Ce sont des formules bien connues, qui s’accordent avec les expériences.
Remarques sur les formules (I).
§ 98. Si, au point de vue où nous nous sommes placés au paragraphe 91, on veut faire une hypothèse convenable sur la force qu’une particule chargée e éprouve de la part de l’éther, il est tout d’abord probable que cette force se composera de deux parties, dont l’une sera en jeu dans les cas de l’électrostatique, tandis que l’autre provient du mouvement de la particule. Les deux parties doivent dépendre de l’état de l’éther au point où se trouve la particule ; la première partie sera donc déterminée par le déplacement diélectrique. Or, lorsque toutes les particules chargées se trouvent en repos, les composantes de ce déplacement, en tant qu’il est produit par toutes les particules, à l’exception de e, sont (§ § 93 et 94)
. 1 dqp 1 d q) , 1 Oqp
■ ~~"4^TvVx 9 — ~ HTF dy’ h — ~ 4^To7’
et l’expérience démontre que la force a pour composantes:
Ve
d Cp
D cp
— Ve
d cp
cc qu’on peut mettre sous la forme
4 7T V2 ef, 4 n V2 e g, 4 n V1 eh.
Il est donc naturel d’admettre que dans tous les cas la première partie de la force peut être représentée par
4nV*fofdr, 4nV2fÿgdr, 4 tt V1 j q h d t.
Quant aux composantes de la seconde partie, elles doivent donner lieu à 1a. force déterminée par les formules (69); la plus simple supposition qu’on puisse faire à leur égard est exprimée dans les derniers termes des équations (I).
Les deux parties de la force pourraient être distinguées par les noms de force électrostatique et de force électrodynamique. Il importe cependant de faire ressortir que la première partie dépend, elle aussi, du mouvement des particules dont on considère l’action.
Induction dans un circuit fermé.
§ 99. Nous allons appliquer les formules fondamentales à l’induction qui est produite dans un circuit, soit par un mouvement dont il est animé lui-même, soit par un changement du champ magnétique où il se trouve. L’état de l’éther, variable dans ce dernier cas, sera regardé comme donné, et nous ne nous occuperons pas de la modification qu’y apporte le courant induit.
Calculons la force p e qui agit, dans la direction du circuit s, sur une particule e. En nommant J, les composantes de la vitesse du point du circuit où se trouve la particule, v la vitesse relative de cette dernière par rapport au conducteur, l , m, n les cosinus directeurs de d s, on aura :
£ = !, -h v J, y — +vm, Ç = C, -h v n
ÎI. A. LORENTZ.
et, d’après les formules (I) :
En divisant par e, on obtient la force p rapportée à l’unité de charge ; ce qu’on appelle la force électromotrice induite dans le circuit est ensuite donné par
§ 100. Soit (r une surface fixe sur laquelle le circuit est situé dans les positions qu’il occupe aux moments tett-bdt, et considérons l’intégrale
étendue à la partie de cette surface qu’il embrasse. Pendant le temps dt , cette intégrale subit un accroissement dj Hnd<î, qui peut être décomposé en deux parties. La première partie, dj j\\nd(5, n’est autre chose que J d H nda; c’est l’accroissement que l’intégrale éprouverait si le circuit ne se déplaçait pas. La seconde partie, d.2 jH,,d(j, provient du changement de
l’étendue de la surface. En désignant par d rr' les éléments nouveaux qui sont admis à l’intérieur du circuit et par da" les éléments qui en sont exclus, on aura:
d.,J H„d« = 2 H„dlj' — 3:H„d <s".
Ceci posé, on peut déduire des équations (V):
d{ I H* de)
D’un autre côté, la valeur absolue du produit
LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELT
dsdt
représente le volume du parallélépipède ayant pour base l’élément d </ ou d <t" qui est décrit par d s et pour arête le vecteur H; elle sera donc égale à la valeur absolue de H» d <r' ou H ,id <i". En ayant égard aux signes algébriques, on trouvera :
§ 101. L’influence des diélectriques pondérables dans les phénomènes de l’électrostatique s’explique par la supposition que les molécules de ces corps contiennent des particules chargées qui peuvent être déplacées par des forces extérieures. Pour simplifier, j’admettrai les hypothèses suivantes, qu’on pourrait cependant remplacer par d’autres plus générales : a Si toutes les particules chargées d’une molécule se trouvent dans leurs positions naturelles, elle n’exerce aucune influence sur d’autres molécules, même sur celles qui sont les plus voisines.
b. Il n’y a dans chaque molécule qu’une seule particule chargée qui puisse être déplacée de sa position d’équilibre P. Si cette particule a la charge e, il faut, d’après l’hypothèse a, que l’ensemble des autres particules exerce la même action électrostatique qu’une charge — e au point P. Si donc la particule mobile a pris la position P', la molécule entière équivaut à un système formé de deux particules aux charges -h e et — e, l’une se trouvant au point P’ et l’autre au point P. Un tel système sera nommé un couple électrique ; le produit
équation bien connue de la théorie de l’induction.
Pouvoir inducteur spécifique.
H. A. LORENTZ
est ce qu’on nomme le moment de ce couple. Cette quantité est regardée comme un vecteur dont la direction est celle de la ligne PP'.
Les composantes du moment sont
ïTir “ e x, m y ~ e y, nu — e z, x, y, z étant les projections du déplacement P P\
c. Ces dernières lignes seront considérées comme très petites, même par rapport à la distance des molécules les plus voisines.
d. Dès que le corpuscule mobile a été déplacé, les autres parties de la molécule exercent une force qui tend à le ramener vers la position d’équilibre. Je prendrai pour les composantes de cette force:
f étant une constante qui dépend de la structure de la molécule. Du reste, ce coefficient et la charge e seront regardés comme ayant les mêmes valeurs dans toutes les molécules d’un même isolateur homogène.
Si (3£, 2), 3) esf la force que toutes les particules chargées qui se trouvent au dehors de la molécule considérée exercent sur une particule à unité de charge placée au point P, la particule mobile sera en équilibre si
x=eX v==«8 /==e 3
et on aura
m* = -y$, ra, = -|-D, m, = -j3 (70)
§ 102. Voici le problème qu’il faut résoudre pour se rendre compte de l’influence d’un diélectrique homogène et isotrope dans les phénomènes électrostatiques.
Un système de conducteurs est placé dans un diélectrique qui s’étend à l’infini, et chaque conducteur est maintenu à un potentiel donné. Déterminer les charges.
Remarquons d’abord que le potentiel cp en un point quelconque d’un conducteur, c’est-à-dire la somme
peut être décomposé en deux parties cp{ et <j>2, l’une étant produite par les particules chargées qui se trouvent sur les conducteurs eux-mêmes, et l’autre par la „ polarisation” des molécules du diélectrique. Je commencerai par calculer la valeur de qp2 dans un point Q extérieur au diélectrique, et, pour m’exprimer avec plus de clarté, je désignerai par D s, D <7, D v des éléments dont les dimensions sont très grandes par rapport aux distances moléculaires
Soient x , yi z les coordonnées d’un point dans le diélectrique, x, y\ z' les coordonnées du point Q , r la distance de ces deux points, N le nombre des molécules par unité de volume, nu, Nty, nu les valeurs moyennes (§ 95) de nu, l%, nu au point (x, y , z), N nu = M*, N 1% = M/7) N nu = IVb- Le vecteur M est alors ce qu’on peut appeler le moment électrique rapporté à l’unité de volume.
Un calcul très simple donne pour la partie de qp2 qui est due à une seule molécule
et pour celle qui provient d’un élément D v
La valeur cherchée sera donc
et, en intégrant par parties, on arrive à l’expression suivante :
— F ( M- U ci — V (-1 ( y*f + + ~ ) D T.
Dans ce calcul, on s’est borné au cas où la plus petite valeur de r est encore très grande par rapport aux distances
H. A. LORENTZ
moléculaires. Cela n’empêche pas que cette valeur ne puisse être tiès petite par rapport aux dimensions des conducteurs; la formule peut donc être appliquée à des points Q qui se trouvent dans le voisinage immédiat de la surface.
La première intégrale doit être étendue aux surfaces qui limitent le diélectrique, la normale n étant dirigée vers l’intérieur de ce corps.
Du reste, la formule peut être interprétée ainsi:
En ce qui regarde les actions exercées sur des points extérieurs, le diélectrique peut être remplacé par un système ordinaire de particules chargées, distribuées d’une part sur l’espace r occupé par l’isolateur, d’autre part sur les surfaces <? qui le limitent, les densités de ces distributions étant:
/O M , \dx
d My ty
§ 103. Soit qp le potentiel total qui serait produit en un point quelconque par la distribution dont il vient d’être question et par les particules chargées qui se trouvent sur les conducteurs. Cette fonction coïncidera avec le potentiel réel des conducteurs, et on verra bientôt qu’elle peut être employée dans la discussion de ce qui se passe à l’intérieur du diélectrique.
Si les distributions de particules chargées déterminées par les expressions (71) existaient réellement, une particule à l’unité de charge éprouverait une force aux composantes:
dx dy d z
Pour qu’il y ait équilibre, il faut qu’à l’intérieur d’un conducteur
qp — const.,
d’où on déduit que les particules électrisées qui constituent la charge d’un conducteur formeront une couche très mince à la surface. Je désignerai par
la charge totale de la partie de cette couche qui correspond à l’élément D a. Comme, dans le calcul du potentiel <p, il y a à considérer deux couches très-minces juxtaposées, qui par unité de surface présentent les charges S et — NI??, il résulte d’un théorème bien connu que, en un point qui est séparé du conducteur par la seconde couche mais en est néanmoins très voisin,
— — 4 7t r (*S — Mï/) (72)
A cette condition on peut ajouter l’équation:
A (jp “ 4 7T V
\dx
ONIy ^ DMA Oy + ïz) ’
qui doit avoir heu dans tout l’espace occupé par le diélectrique. Enfin, la fonction cp ne présentera aucune discontinuité. On arrivera (§§ 107 et 108) à la solution du problème proposé (§ 102) si on combine ces formules avec celles qui ex-
d (fi d cp d cp
priment M.,, My, I Vb en fonction de
et que nous
allons déduire (§§ 104 — 106) des équations (70).
§ 104. Pour calculer les forces 36, sl), 3 entrent dans
ces dernières formules, je décris dans le diélectrique une sphère
B qui a son centre dans la molécule considérée et dont le
rayon est très grand par rapport aux distances moléculaires,
tout en étant si petit que les fonctions Mr, Nly, NI-,
D Nl.p 0 NI?/ 0 Nh , A, ‘j' ' +
-r h - H — - — peuvent etre considérées comme constan-
tes à l’intérieur de la surface. En appliquant à la partie du diélectrique qui est extérieure à la sphère le théorème du paragraphe 102, on voit que la force (36, î), 3) se comP°se de plusieurs parties, qui sont produites respectivement par :
a. les charges des conducteurs;
b. les charges superficielles aux densités — NE dans le voisinage immédiat des conducteurs;
c. la distribution à densité
H. A. LORENTZ
3JVI;
supposée exister dans le diélectrique extérieur à B;
d. une charge superficielle sur la sphère elle-même, possédant la densité
e. les molécules qui se trouvent à l’intérieur de la sphère. Si la troisième distribution existait aussi à l’intérieur de B ,
cela ne changerait rien à la force cherchée, car l’expression (74) est regardée comme constante dans l’étendue de la sphère. 11 s’ensuit que les trois premières parties de la force, prises ensemble, ont les composantes:
Un calcul bien simple donne pour les composantes de la quatrième partie :
on aura donc, en désignant par (36', 3)', 3 ) dernière partie de la force, et en substituant dans les formules (70):
§ 105. Reste à considérer la force (36/ 2)/ 3 )* représenterai par x, y et z les coordonnées du centre de la sphère, où se trouve la molécule considérée M; par x', y', z! les coordonnées du point qui, dans une autre molécule M située à l’intérieur de la sphère, est analogue au point P (§ 101, 6); par r la distance des deux points, par m et m' les moments électriques des deux molécules. Alors:
36' = V2 2 r\- | [3 (x' - x)2 - r2] rn.' + 3 (*' - x) (y’— y) m,/ +
+ 3 (xf — x ) (z — z) m/ J , . . (76),
la somme étant étendue à toutes les molécules M' que contient la sphère.
Il y a un cas où cette somme s’annule. C’est celui d’un système de molécules à arrangement cubique, comme le présentent les cristaux du système régulier. En effet, les moments m./, r%', m/ peuvent alors être considérés comme égaux aux moments m.r, r%, m2 de la molécule M elle-même ; de plus, on aura, en supposant les axes des coordonnées parallèles aux axes cristallographiques :
