III

lr

dy

Ki

dJ

'P ôï)

dz)

F dx )

dx>

§ 1 34. Tant que les particules chargées n’ont d’autre mouvement que la vitesse commune de la matière pondérable on

H. A. LORUNTZ.

aura ^ = 17 =: Ç = 0 et la densité dans un point (x, y , z) sera indépendante de t. Il n’en sera plus ainsi lorsque les molécules sont le siège des vibrations électriques dont je me propose d’examiner la propagation.

Dans cet examen je suivrai pas à pas la voie qui a été tracée dans le chapitre précédent. Seulement, comme la méthode et les hypothèses resteront les mêmes, je pourrai m’exprimer plus concisément.

Remarquons encore que si, dans cette étude, il est question d’un point ou d’une surface immobile, cela signifiera: «immobile par rapport aux axes”, ou, ce qui revient au même, „par rapport à la matière pondérable”. Pareillement, on entendra par le déplacement (x, y, z) d’une particule le déplacement qu’elle a subi relativement à cette matière.

Vibrations produites par une seule molécule.

§ 135. On trouvera d’abord, au lieu des équations (86) et (87) :

D9=viïj+(h-pL) 1 •• (128)

Q-t-p&) lpt1,

□<»-4Wpjc^-(s+p)|îj

Dy = An V> J (l+p) j *

Dans ces formules, ainsi que dans plusieurs autres qu’on rencontrera plus loin, le signe □ est employé pour indiquer l’opération

LA THÉO Kl K É L KCTROM AGN ÉTJ QU K DK MAXWELL.

§ 136. Portons dans les équations (128) et (129) les valeurs (88) et (89), et supposons que x, y, z, g, ?/, g soient infiniment petits. Comme x, y, z sont indépendants de x , ?/, z tandis que qq est indépendant de t , on trouvera, après quelques transformations,

■S) . 3*(«oO

i04 (çox)

1 l dxdt

■S) Ï3*(fc>y)

dy

Z dxdt 1

3 (go—

pg,(go»)

p dx dt ’

□ « = 4 tt P I | ,

i °2 (goZ) °2 feoX) „ d (go ~~ |

^ d xd t d Z d t

□ „4„ p(°*(eo») (go y) + „ 3 (g°.- j){ D/1* K ( dyZt dx2t +p Zy )'

où l’on a posé, pour abréger,

5 teox) . 0 (Q0y) , d teoz)__ o

Introduisons maintenant quatre fonctions auxiliaires qui satisfont aux conditions:

□ <» = eQ> G30)

□ l\ = Qo x> □Z2=:?o y> □ Xs = Qo z- • • • G31)

et soit

3 Xi + + ^JCi g,

On aura alors:

H. A. LORENTZ

— 4nV

d (co —

d .(co —

dt2

1 d Zdt

dydt) ’

P’Xs

d Zd t ^

d xd t d t

d xd t

U — rxlll 3

d Xd t’

2z ) 2 (co — S')j

ty t '

Comme la densité qq est indépendante du temps, l’équation (130) peut être remplacée par

dj2

œ = Qo ... (135)

Du reste, les valeurs (133) et (134) satisfont à toutes les équations (II') — (V').

§ 137. Je supposerai que, tant que la particule mobile P se trouve dans sa position d’équilibre, la molécule entière dont elle fait partie, ne fait naître, en des points éloignés, ni un déplacement diélectrique, ni une force magnétique, et cela même dans le cas, où cette molécule est animée de la vitesse p. Alors, pour obtenir les valeurs de /, g , h, a, p, y dues à la molécule entière et relatives à des points qui se trouvent à quelque distance, il suffit de supprimer, dans les équations (133) et (134), les termes qui dépendent de co. C’est ce qu’on reconnaîtra par un raisonnement semblable à celui qu’on trouve au paragraphe 115.

Théorèmes mathématiques qui serviront à déterminer Xi> U et Xs-

§ 138. Je commencerai par chercher une solution de l’équation

ou

V +V*diy-+V^-^+2 ^ — 0

A cet effet, j’introduirai d’abord au lieu de x une nouvelle variable

et je poserai

yi.

L’équation devient alors

F2 f3^ -Æ + p?~\ + 2 f V Le) £2 0 y2 0 z- J

0 2 ip

diedt

La fonction xp qui est regardée ici comme une fonction de y, z et t peut aussi être considérée comme dépendant de

E, 2/, 2, et t' = t — yl.

Si on se place à ce nouveau point de vue, il faut remplacer 0 0 6 0 3£par 3Ë~ Vdt”

et enfin

3? Par ~2

- et FF Par ü 6t s7ï>

dt dt O2

dt'

OçO*

par

H. A. LORENTZ

On obtient ainsi

O2 ip D2 xp d2

V 2 y , à2 xp d2 y-]

LTF a*»"] ~ 1 (1 + ° 57^ = °-

ou bien

d2 XfJ d2 \p 02î/;l O2

diri d V — Q

0z2J d tf 2

Cette équation a la même forme que la formule (107); elle admet donc la solution

dans laquelle F est une fonction quelconque et

Il en résulte que

est une solution de l’équation (136).

On obtient une solution plus générale si on remplace x, y, z par x — x\ y — y\ z — z', x, y ', z' étant les coordonnées d’un point fixe. Cette nouvelle solution peut être mise sous la forme :

si l’on attribue à r la signification suivante :

§ 139. La fonction (138), analogue à la fonction

du chapitre précédent, jouera un rôle important dans la théorie que nous allons développer. En effet, elle est propre à représenter la propagation dans l’éther d’un ébranlement qui

part d’un centre unique (x, y, z). Les particularités de ce mouvement se réfléchiront dans la forme de la fonction F et le lieu géométrique des points (x, y, z) où cette dernière a une valeur déterminée peut recevoir le nom de ^surface d’onde”. Or, l’équation

X H- * ( x — x') = const.

représente une sphère dont, si R est le rayon, le centre est

situé au point (x' — ^ R, y, z ^ . Un ébranlement émis au

moment tQ par un point P de la matière pondérable et se propageant dans l’éther, aura atteint, à un moment postérieur quelconque £, la surface d’une sphère, ayant pour rayon V (t — tQ) et pour centre le point de l’éther qui coïncida avec le point P à l’instant tQ. C’est un résultat auquel on aurait pu s’attendre.

Dans les paragraphes suivants on trouvera des formules plus compliquées et applicables aux cas où la source des vibrations a une certaine étendue.

§ 140. Soient:

t un certain espace qui se déplace avec la matière pondérable et dont par conséquent chaque point a des coordonnées x\ y\ z' constantes,

d t un élément de volume situé au point (x\ y\ z'),

F (t, x', y\ z ') une fonction finie et continue.

D’après ce qui précède, la fonction

satisfera à l’équation (136) et, si le point (x,y,z) est situé à

Mais, lorsque (x, y} z) est un point intérieur, on n’aura plus

C’est ce que nous allons démontrer, en entendant toujours

l’extérieur de l’espace r', il en sera de même de l’intégrale

par J la limite de l’intégrale J (voir le paragraphe 116).

H. A. LORENTZ

§ 141. En appliquant la formule générale (104) on trouve d’abord :

H-= - [t fr'O « ')«] +

Pour calculer la limite on peut, dans le premier terme, remplacer F par F [t, x , y , z). Ce terme devient par conséquent :

F(t, x, y, *)[i f*-=£db],

ce qui s’annule à la limite. Donc

lJ — ( ) — F (t — r + f ~ , x', y', z'V dr' . (140)

dx JZxlx \ xy'Yi — pi )\

Appliquons de nouveau la formule (104) en y substituant cette fois* ci

= ~ ' - F (t — l+ii? Û, x', y', A

2xt x \ l/Vt-p* J

Si, pour abréger, la fonction qu’on trouve dans les deux dernières formules est indiquée par F, il vient:

D=- Lim [jjV-*) D-r(^)d6] +

+/&(J)dr =

— — Fil, *,y, s) Lim [y/f1' — +

On a pareillement

l~f> = - F ft ». ». !> Li“> [7/ V — ») 4(t) d6] +

et une équation de la même forme pour - — J . En outre :

H=tè(4)"

et, en vertu de la formule (140),

= (TW

d xd t J D X d t \X J

Substituons toutes ces valeurs dans l’expression

Oæ2 ^ O^/2

â~a?D < dt2

bz2

Comme on a

et, à la surface sphérique,

on obtient

□ x = — F2 *. y, z). Lim J\- f ~J =

— — 4n Fl^F2 - pxF(t,x,y,z).

11 en résulte que la fonction

1 fl ri(j t -h £ [x — a; ) , , A , ,

- - - -Fp , x .y ,z\dr

'V* — p2JV ' l^V2 — p2 /

4tt y v^y* F

a la propriété exprimée par

Archives Néerlandaises, T. XXV.

H. A. LORENTZ

Détermination de %lf /2, et de f, g, h , «, /5, /.

§ 142. Employons les mêmes notations qu’au commencement du paragraphe 119, avec cette différence, cependant, que nous entendons maintenant par (x, y, z) le déplacement de 1a, particule à l’instant

x\ y\ z' étant les coordonnées du point B et x étant défini par la formule (139).

Alors, si on pose

L = 4 TT Fl/'F* — p2 , (142)

on aura, au lieu des formules (108),

LJ r

dr’.x-. =

J f QoJ

LJ x

7Ji r

Lorsqu’il s’agit de l’effet qu’une molécule produit à quelque distance, il est de nouveau permis de regarder t, x, y et z comme ayant les mêmes valeurs dans tous les éléments. Les intégrales peuvent par conséquent être calculées de la même manière qu’au paragraphe 119. En substituant dans les équations (133) et (134), après y avoir omis les termes dépendant de o>, et en posant

3 /mV\ d /mV\ d x \ x / dy \ x J

on trouve, au lieu des équations (109) et (110),

V*—p*dS" 1 D* /m'A D2 /m'A L dx Ldt2 V X ) ^Lfdxdt V X )

— Y1 dJ?l L il f . £

9 L dy Ldt2\x)+L dxdt \X )’

, F2 d S" 1 d^ /mA p d^ / mA

L dz Ldt* \x J+L dxdt V r )’

__ 4 7T V2 \ D2 d2 /mV\ )

U L }dydt\X ) DzO^Y^/-’

4 TT F2 ^ O2 / m V\ D2 / m A 0 S" j

? ~ L I 2z0t \X J 0 xZt \x ) P dz \ ’

4 jt F2 ^ O2 /m'A S2 /m'A d S" )

7 ~~ L \dxdt\x) dySt\x)+Pdy\'

Ici, m Y, m y et mY désignent les moments électriques de la molécule agissante, à l’instant

a', y, z étant les coordonnées du point où elle se trouve et t étant toujours défini par la formule (139).

Du reste, les équations obtenues ont encore lieu lorsque l’amplitude des vibrations surpasse le diamètre de la particule mobile (voir la Note additionnelle).

Valeur de la force qui est produite par la moléculq elle-même dont la particule considérée fait partie.

§ 143. Pour trouver, comme au paragraphe 120, la réaction de l’éther sur la particule vibrante, il faut, au moyen des équations (133), (134) et (143), calculer les valeurs de /, g, h, «, p, y à l’intérieur de la particule elle-même, pour les porter ensuite dans les équations (P) (§133). Dans les formules (143), x, y et z représentent les déplacements au moment

/ * + * (a — aQ / t p (x — x')

V2 — p- ' l^V2 — p* T2— P2 ’ ces lettres x, y, z doivent donc être remplacées par

— x — ir x , etc.,

si l’on veut entendre par x, y, z, x, y, z les valeurs relatives au temps t.

H. A. LORENTZ

On trouve ainsi:

go (*~ *')

etc.

Quant à la fonction a>, qui est déterminée parla condition (135), elle peut être représentée par

^dr'.

§ 144. C’est ici le lieu d’introduire une simplification qui nous sera très utile dans tout ce qui suit. Elle consiste à regarder la vitesse p de la matière pondérable comme si petite, en comparaison de la vitesse de la lumière, que le carré de

peut être négligé. Cela nous permet d’écrire V 2 au lieu de

V 2 — p2, r ou ^ (x — x'Y -h (y — y')2-4-(z — z')2 au lieu det, et 4 n V2 au lieu de L , ce qui nous donne

Xi =

4 ttV2

f^dr'-h

4lTFT

px f