CO

4VW

Après avoir effectué les substitutions nécessaires, entre lesquelles je citerai encore la substitution (88), et après avoir supprimé tous les termes en p2, on remarquera dans les expressions pour les composantes de la force dont il s’agit maintenant deux groupes de termes, les uns indépendants de p, et les autres en contenant la première puissance. Je vais démontrer que ces derniers termes s’annulent et que, par conséquent, les composantes cherchées ont les mêmes valeurs que dans le cas où le diélectrique ne se déplace pas, c’est-àdire les valeurs (111).

Cette démonstration repose sur un théorème général, qui fera l’objet des paragraphes suivants. Préalablement, je fais encore

observer que tous les termes qui contiennent la première puissance de p renferment également un des facteurs x, y, z, x, etc. En effet, dans les formules (133) et (134), il n’y a que la fonction œ qui soit indépendante du mouvement vibratoire ; mais dans les fonctions /, g, h les dérivées de cette fonction ne sont pas multipliées par p , et bien qu’elles le soient dans les expressions pour fi et /, ces dernières se trouvent multipliées, dans les formules (!') (§133), soit par une des vu tesses x, ÿ, z, soit par la vitesse p elle-même.

Du reste, nous ne ferons aucune attention aux termes dans lesquels p est multiplié par un carré comme x2, ou par un produit comme x y, parce que x, y, z, x, etc. sont toujours regardés comme infiniment petits.

§ 145. Concevons un système de particules chargées qui se déplacent au sein de l’éther en excitant dans ce milieu des mouvements électriques, conformément aux équations (II) — (V) (§ 90). Soit E un plan fixe et imaginons un second système, composé de particules chargées et d’éther, et dont l’état est relié à celui du premier système de la manière suivante :

Si P et P' sont deux points, l’un dans le premier système et l’autre dans le second, et qui sont symétriquement situés de part et d’autre du plan E, on trouvera dans ces points, à tout moment,

a. la même valeur de q;

b. des vitesses (5, rj, £) et (£', rj\ £') qui sont l’image l’une de l’autre ;

c. des déplacements diélectriques D et D entre lesquels il y a la même relation;

d. de telles forces magnétiques H et H' que la seconde est égale et opposée à l’image de la première.

Le nouveau système qui se trouve ainsi défini, satisfera, aussi bien que le premier système, aux équations (II) — (V).

Pour s’en assurer, on peut rapporter les deux systèmes à des axes des coordonnées de la même direction et supposer que le plan E soit perpendiculaire à l’axe O X.

H. A. LOKENTZ.

Alors, les variables f, g , h , «, |î, /,

etc , qui ont toutes

la propriété de présenter les mêmes valeurs absolues en P et P peuvent être rangées en deux groupes, le premier contenant les quantités qui, en P et en P', ont le même signe, et le second étant composé de celles qui y ont des signes contraires.

Au premier groupe appartiennent, par exemple, g,h,^ , f ,

u OC 0 X

et au second groupe/, \ et 3. On verra facilement, et

c’est là le point essentiel, que tous les termes qui sont réunis dans une même équation font partie d’un même groupe. Voilà pourquoi les équations ne cessent pas d’être satisfaites si on passe du point P au point P'.

§ 146. Si, comme il a été dit plus haut, on trouve toujours, en des points correspondants, des valeurs égales de £, cela implique évidemment que les systèmes de particules dont il s’agit dans les deux cas présentent entre eux la relation qui existe entre un objet et son image. Cependant, nous avons seulement démontré que, lorsque le mouvement supposé pour le premier système peut réellement exister, il en sera de même du second mouvement, en tant que ce dernier satisfait aux équations du mouvement de l’éther. Il y faut ajouter la condition que des forces convenablement choisies doivent être appliquées aux particules chargées elles-mêmes.

Or, il résulte des équations (I) (§ 90) que le vecteur qui représente la force exercée par l’éther sur une particule du second système est, à tout moment, l’image de la force qui agit sur la particule correspondante du premier système. En eâet, si l’on s’en tient à la direction choisie pour le plan P, on verra facilement que tous les termes dont se compose X changent de signe quand on passe du premier au second mouvement, mais que les signes dans les expressions pour T et Z ne changent pas.

§ 147. L’application de ces considérations au problème qui nous occupe est bien simple. Si, dans le premier système, une

particule est animée à la fois d’une vitesse de translation p et d’une vibration dans laquelle le déplacement est (*, y, z)j la particule correspondante du second système aura une vitesse qui est l’image de p et un écartement qui est celle de (x, y, z). En vertu de notre théorème, on peut affirmer que les forces que les deux particules éprouvent de la part de l’éther sont également symétriques par rapport au plan E.

Dans le cas où ce plan est perpendiculaire à 0 X, chacune des quantités y, z, y, z, etc. sera, dans les deux systèmes, affectée du même signe, mais le contraire aura lieu pour p , x, x, etc. Il faut que la composante X se trouve dans le dernier cas , l’expression par laquelle elle est représentée ne peut donc contenir aucun des produits px, px, etc.

En appliquant un raisonnement de la même nature aux composantes T et Z, et en supposant que le plan E soit perpendiculaire à O F ou 0^, on achèvera de démontrer ce qui a été avancé au paragraphe 144.

Du reste, dans la Note additionnelle, je donnerai un examen plus général de la réaction de l’éther sur une particule vibrante.

§ 148. J’admettrai encore que la force aux composantes

qui est exercée (§ 121) sur la particule vibrante par les autres particules de la même molécule, est également indépendante de la translation de la matière pondérable. C’est une hypothèse que nous ne saurions justifier, puisque nous regardons comme entièrement inconnu le mécanisme qui produit ces forces intérieures. Tout au plus, on pourrait faire voir que le chan-

gement apporté par la translation est de l’ordre si les for-

ces peuvent être représentées, en deux systèmes correspondants (§ 145), par des vecteurs qui sont l’image l’un de l’autre.

H. A. LORENTZ

Détermination de la force totale qui agit sur une particule vibrante.

§ 149. En reprenant les questions dont nous nous sommes occupés à partir du paragraphe 122, je commencerai par la force qui est due aux molécules extérieures à la sphère B. Soient, de nouveau, x , y , z les coordonnées du centre, où se trouve la molécule M contenant la particule P et ayant le moment électrique (mr, l%, m*), D r' un élément de volume situé au point (x\ y\ z) extérieur à la sphère, X la fonction (139), M'.r, MV, M* les composantes du moment électrique rapportées à l’unité de volume et relatives au point (#', y', z) et à Finstant

y^v1 — pn-

Cela posé, on aura les valeurs de /, g, hi «, et y que Félément D r seul produit au centre de la sphère, si on remplace, dans les formules (144), (145) et (146), m'*, m y, m* par M'r-Df, M'y D r, M z D r et une intégration sur l’espace extérieur à la sphère nous fera connaître les valeurs de /, g, h , «, p, y qui sont produites par toutes les molécules de cet espace. Si, dans les coefficients, on écrit V2 au lieu de F2 — p2 et 4 n V2 au lieu de L, et si on pose

D /IVFA dx V t J

dy\ X J dz\X )

on trouve :

f — 1 [ 1 2 ( !ÜL?\

J ~~ 4 J L dx F2 dt2 \ r J

1 f p)Sw JL Jf/M A 9 ~4j [ ?;/ “ V2 3 t2\ v )

/,—A.îPJl JL

JM 3* V2ldxd't p d2 V 2 dxdt p d2 + Fî3"æ3 1

dzdt

p J t0z2( V r J dx2t

Dr'.

§ 150. Soit, pour simplifier,

3K* = f-D r', m,=f^ Dr, 9JÏ* = f~D r;

ces intégrales, qui se rapportent à l’espace extérieur à la sphère B et dans lesquelles M'*, M'y, M'* sont toujours les valeurs des moments électriques au moment

V^F2 — p2 seront des fonctions de x, y, z et t.

Ecrivons, pour un moment,

et, par conséquent,

L’intégrale 3JL devient par cela analogue à l’intégrale / du paragraphe 140 et on trouve

jff(x' - x)y-x (I)W^(tK • • ■ (149)

Il est vrai que le rayon R de la sphère B n’est pas infiniment petit, comme l’était celui de la sphère b du paragraphe 116, mais il a été supposé si petit qu’on peut, à la surface B , remplacer M ^ par M*.

En négligeant des termes de l’ordre p2, on peut, dans la première intégrale, remplacer V par la distance r, ce qui nous donne :

H. A. LORENTZ

Pareillement :

etc.

Enfin

22m,___[ o2 /ivpa

d Xd y J d Xd y \ X ) T

T^ = Jop{tJ Dt’

32 3R, r j>» /M' A „ , a^a* ~) dxdt \ x ) Vt'

etc.

§ 151. Ces relations conduisent à écrire, au lieu des expressions (147) et (148),

A = g «IL- +

rai

LTâT

r 3 2' 1 3 2 3Ry

La y F2 0 t2

La» F* a t2

32 3JL o23Ry

d y d t d zd t

3 2 art . 3 2

dydt~^^dy ’

ou

„ agit o art

§ 152. Il nous reste à porter ces valeurs dans les équations (P) (§ 133), qu’on peut préalablement simplifier en regardant / , g , h , a, /5, / comme constants à l’intérieur de la particule

P. Les composantes de la force exercée par la partie du diélectrique qui se trouve au dehors de la sphère B deviennent ainsi

d nu

ï,= 4.1 '' >1 > -TÎ !■

d nu

dt

Y , — 4 n V2 eg H- « ~jt 7 — VeYt

Z , = 4 n V 2 eh +

d nu dt d my

pep.

(=) jî ’ etc-

d t dt

Avant d’effectuer les substitutions (§ 153), j’appellerai l’attention sur l’ordre de grandeur des différents termes. Conformément à ce qui a été dit au paragraphe 125, on a

De plus:

Donc, si on désigne par les parties des six fonc-

tions qui ne contiennent pas le facteur p et par /2 ...... y2

celles où il se trouve,

fi i—^di (=)^2 (=) 4 ~~ÿî ’

Pi (=)/i (=)PÿT5ï-

Passons rapidement en revue les termes qui paraissent dans les expressions pour X , » Y , , Z , .

a. Les produits 4 n V2 e 4 n V2 egx et 4 tt V2 eh1 contiennent des parties qui sont du même ordre de grandeur que e m &2

à l lîiy . . e ô

~dT "fl7 9

b. Comme

H. A. LORENTZ

les termes de la forme

~dt y

sont comparables à

V tf3

ils peuvent donc être négligés en présence des produits précités, et cela parce que l’amplitude <5 est beaucoup plus petite que la longueur d’onde & V.

c Les expressions 4 n V 2 ef.î} etc. sont de l’ordre:

Ces termes devront être conservés, parce que ce sont eux qui détermineront l’influence de la translation du diélectrique.

d. Au contraire, on peut omettre toutes les quantités de la forme

en effet, on obtient une idée de leur grandeur au moyen de l’expression

p e Ô 3Ji

qui est très petite en comparaison de la fraction (151).

e. Les termes peyx et peftx doivent être retenus, parce qu’ils sont de l’ordre

pe 3JÎ V&2

et, par suite, comparables aux termes que nous avons nommés en troisième lieu.

/. Enfin, on peut naturellement négliger

pey2 et pe/S2, ces produits étant proportionnels à p2.

§ 153. Voici maintenant le résultat final des substitutions:

Zy

02Wr

ot2

om,

329ftz

s»*aw,

p(dxdt