î«co

« co) I

En appliquant à l’hexagone cyclique, qui vient d’être trouvé,

le même procédé que ci-dessus, on retombe sur l’hexagone primitif de (15), et cela dans l’ordre uk u. uQ ux u2 u3. Pour a = 3(3, le système (18) devient:

Ut 3 =Uj + y p CO = 1

U 24 + y P U=UB

U3 5 ^1 IJ P*0 Ul

6 = ux + (5 a ) =ul 1 * -

U5 I =tt, + y |5a, = n2

c’est-à-dire: l’hexagone dérivé est identique à l’hexagone primitif ; il en résulte un nouveau moyen de distinguer les deux espèces d’hexagones, puisque ceux de la seconde espèce peuvent être réunis en groupes de trois, de sorte que les trois figures dépendent cycliquement l’une dè l’autre.

Pour a - r 3 |3 ± 1, on a u2 = ux H- i (1 co ± œ et

« L JL

V § œ “F Tÿf œ) de sorte que trois sommets consécutifs ( Zl

appartiennent à des S3 différents ; à cause d eui=u1 -h y « eo, 5 4

u-=u2 -+- y « a) et u6 =u3 + y«w, les sommets opposés

sont toujours compris dans le même S3.

Des 20 points différents, qui peuvent être adjoints comme u2 au point arbitrairement choisi ux, deux (« = 7 et «=14) déterminent avec ux un triangle cyclique, six autres (« = 3 (?, (1 = 1 jusqu’à 6) déterminent chacun un hexagone de la première espèce, les douze restants donnant chacun un hexagone

POLYGONES CYCLIQUES, ETC

de la seconde espèce. En résumé, on a donc l’énoncé suivant :

9. Au moyen du groupe de points qui naît lorsque les points d'un groupe central du troisième ordre sont complétés de manière à ce qu'il en résulte des triples d'inflexion , on peut former 21 hexagones cycliques de la première espèce et 42 hexagones cycliques de la seconde espèce.

D'un hexagone de la première espèce, les sommets appartiennent au même groupe central et les diagonales principales concourent au point tangentiel du septième point du groupe, tandis que les autres diagonales passent par les points tangentiels des sommets.

D'un hexagone de la seconde espèce, les trois couples de points opposés appartiennent à trois groupes centraux différents et les diagonales principales passent par les sommets d'un triangle cyclique . Chaque hexagone de la seconde espèce forme avec deux hexagones de la même espèce un groupe fermé, dans lequel les points tangentiels des sommets de chaque hexagone sont situés sur les diagonales accessoires d'un second hexagone, tandis que ses diagonales accessoires supportent les sommets du troisième hexagone.