Quelles sont maintenant les valeurs de </,,</2, etc

Dans le calcul des intégrales J~-dr' et il y a

une difficulté: c’est que la lettre çr indique la densité électrique qui existe dans le point (x , ij , z ) à l’instant t — x. Nous allons cependant transformer les expressions de façon qu’elles contiennent seulement la densité relative au temps t.

Remarquons d’abord que, sans changer la valeur des intégrales, on peut prendre pour origine des coordonnées le point [x, y , z) pour lequel elles doivent être calculées ; de plus, pour une raison qu’on comprendra bientôt, j’écrirai a?", y", z" au lieu de x , ij , z et d t" au lieu de d x . Alors :

et il s’agira des intégrales

fQ-dr" et . .

Supposons que le point qui, à l’instant t ~ x, a les coordonnées x", y", t!' prenne part au mouvement vibratoire de la particule, et nommons x, y\ z ce que sont devenues les coordonnées à l’instant t . Le mouvement pouvant être regardé comme uniforme pendant le temps x, on a:

x' — x" + x |, y' — y" + x y, 2' = / + x î . . . . (181) Ici, les rapports

sont du même ordre de grandeur que

on en pourra donc négliger les puissances supérieures à la première. Mais, alors, on peut, dans les relations (181), entendre

par x ce que la fonction (179) devient si on y remplace x" , y\ z" par x, y, z'.

Les points qui, à l’instant t — x, se trouvèrent dans un élément d r ", situé au point (x", y ", z"), se trouveront, à l’instant t , dans un élément de volume d t, situé au point (a/, y' , z).

Or, d’après un théorème bien connu,

oF ’ oF- ’ ÔF

d t" d x" d y" dj![ d t' d y' ’ d y ’ d u' 1

équation qu’on peut mettre sous la forme

dx' ’

dx'

dy"

dz"

dx"

dy"

dz"

yy ’

parce que

ÎF ~~ — ^5~F’ dY ~~~~

et que

| —, , etc.

etc.

sont du même ordre que les expressions (182).

11. Ceci établi, les intégrales (180) peuvent être transformées en d’autres auxquelles chaque élément dr contribue pour un terme. Seulement, dans les premières intégrales, il

fallait entendre par — et les fonctions de x", y ", z" qu’on

déduit des équations (178) et (179). Si on veut indiquer par ces signes les fonctions analogues de x' , y', z, il faut remplacer

y et — par

H. A. LORENTZ

Quant à q', cette densité est évidemment égale à celle qui existe dans le point (x, y\ z') à l’instant t.

On finira par trouver, pour les intégrales (180), qui ont été primitivement représentées par

I jrdT'etf^-dr', (183)

les formes suivantes:

et cela restera encore vrai si, en revenant à une origine des coordonnées quelconque, on entend par x , y , z les coordonnées

du point pour lequel on veut calculer J^dr', etc. et para?',

y', z celles du point où se trouve l’élément d t .

Je simplifierai encore en négligeant des termes de l’ordre

. Alors, X se confond avec la distance r des points (x, yy z)

et (x, y\ z’).

p [x — x' ) ÿi

et les expressions (184) et (185) deviennent

f , r1 P 3 (x — x’\ , 0 fx — x\

J^|r V- f dx \ r ) ^ ày\ t )

JL L

Ji/ii remplaçant ici q par —^7 ,

on trouvera ce

qui, dans les formules pour /,, J2, etc. est désigné par

f 1 d q' , C x d q I — , d t , I — — — ~7 d i' etc.

En effet, ces dernières expressions peuvent être transformées de la même manière que les intégrales (183), et cela, parce que les dérivées de la densité par rapport aux coordonnées ont, dans le point (x, y\ z) et à l’instant t , les mêmes valeurs qu’elles avaient au moment t — x, dans le point ( x'\ y", z ").

12. Le calcul de J,, J2, etc. est ainsi ramené à celui des intégrales

J j q q' d t d r', JJ dr d t\ J J q q' ^ ^ d t d t etc.

Ici, les signes q et q' indiquent les densités électriques, relatives toutes les deux au même instant t et existant dans les points (; x , y, z) et (x\ y\ z ) de la particule. Tout ce qui dépend du mouvement de cette dernière a disparu et les valeurs des intégrales sont entièrement déterminées par la manière dont la charge est distribuée. De plus, plusieurs des intégrales s’annulent, puisque cette distribution est symétrique tout autour du centre. En effet, si ce dernier point est pris pour origine des coordonnées, q et q' seront des fonctions paires de x, y , z et de x, y' , z' et une intégrale dans laquelle y q' se trouve multiplié par une fonction impaire de x — x\ y — y\

z — z' s’évanouira. Au contraire, vu que est une fonc-

x ex

tion impaire de x' , une intégrale qui contient q ne diffé-

rera de 0 que lorsqu’elle contient encore un facteur qui est une fonction impaire de a? — x.

Voici maintenant les valeurs des intégrales, en tant qu’elles 11e s’annulent pas. O11 a posé

o) dx —

H. A. LORENTZ

et il faut se rappeler que chaque combinaison de deux éléments dr et dr doit être prise deux fois.

if"'

lf¥

Il "'A (V1)*"

f f QQ rj~ dxdx’ = g 71 P2 /X,

dTdT' = ~ll**' ÔZ (^-^)drdr' =

Dç'y —ÿ

- dx dx'

= 11* ïï*—r—dTdT' =