DU SECOND ORDRE

PAR

1. Dans un travail antérieur j’ai cherché à établir théoriquement , au moyen de l’équation intégrante , l’intégrale particulière de l’équation différentielle linéaire à coefScients constants. La même chose a été faite par M. D. Bierens de Haan pour l’équation différentielle linéaire à puissances successives de la variable indépendante ^). Dans ces recherches, une importance toute spéciale a été reconnue aux relations que M. Mayr a indiquées entre l’intégrale particulière de l’équation différentielle linéaire et celle de l’équation intégrante qui s’en déduit. S’il était possible de découvrir des relations analogues pour d’autres catégories d’équations différentielles linéaires, un grand pas serait fait; à l’aide d’une pareille relation, une équation différentielle linéaire de l’ordre n pourrait, en effet, être réduite à une équation de l’ordre n — 1. Malheureusement , il est tout aussi difficile de trouver des relations de ce genre entre y et que d’intégrer les équations différentielles elles-mêmes , comme on peut le voir , pour les deux cas les plus simples, dans les Mémoires rappelés ci-dessus. J’ai donc

') Arch. Tiéerl., t. VII, p. 140.

*) Verüagen en Mededeelinyen der Koninkl. Akad. v. IFetensch., 2® Sér., t. VI, 1872.

J. DE JONG. SUR l’intégration DE l’ÉQUATION

essayé de suivre la voie opposée et, partant d’une relation déterminée entre y et je me suis proposé de eonslruire l’équation différentielle à laquelle convient cette relation, ce qui permet alors de déterminer en même temps une intégrale particulière de cette équation. Dans ce qui va suivre, je me bornerai à l’équation différentielle linéaire du second ordre. La méthode, il est vrai, s’applique aussi aux équations d’ordre supérieur, mais les difficultés analytiques s’accroissent alors dans une proportion considérable.

2. Considérons l’équation différentielle du second ordre réduite à zéro

ou bien, après division par P, l’équation

dx^

L’équation intégrante de (1) sera alors

— (X — 2rf.XJ~+X,'i-ïz=0. (2). ')

Prenons maintenant, comme relation la plus simple entre y et go , g^ = y ou =r C ?/ (3) ,

donc — — C — ^ ? =: C ; portant ces valeurs et celle

dx dx dx'^ dx^

de go dans l’éq. (2), on aura

’ dx dx^

En retranchant ensuite (1) de (4), on trouvera

*) Dans cc Mémoire, le signe d., placé devant une lettre, a la même signifi-

cation que la notation D ou Da- chez Cauchy; d. P est donc équivalent à — — ,

DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE DU SECOND ORDRE

Posons maintenant

X — d. X,=zp • (6),

(5) devient alors

— ijd.p — 2pŸ = Oj

(l OC

ly^ — \lp G et y := (7) ,

dx 2 P

Substituant ces valeurs de —

et — d dans (1), cette équation

devient

2p‘^—Xpd.p~X,pd\p H- [d.pY^O. . . (10).

Pour que la relation (p = ?/ s’applique à (1), X et Xj doivent donc satisfaire à l’équation (10), dans laquelle la fonction p est déterminé par (6). Lorsque cette condition est remplie,

est en même temps une intégrale particulière de (1).

Il y a donc toute une classe d’équations différentielles linéaires du second ordre, à laquelle convient la relation = y. On peut, en effet, attribuer une forme quel conque à l’une des fonctions Xou Xj , puis déterminer l’autre au moyen de (10); on a alors p et une intégrale particulière de l’équation construite. Mais l’éq. (10) est une équation non linéaire du second ordre en p. Si l’on prenait pour X la valeur simple x, p deviendrait x — d.X^, et en substituant ces valeurs dans (10) on obtiendrait une équation différentielle non linéaire en X, du troisième ordre. Les difficultés ne seraient guère moindres si l’on commençait par adopter une valeur

J. DE JONG. SUR l’intégration DE l’ÉQÜATION

pour X, . Mais nous pouvons adopter des valeurs pour la fonction p , et nous avons alors dans (10) et (6) deux relations entre XetXj, lesquelles permettent de déterminer ces deux fonctions. Du reste , on voit déjà d’avance que le nombre des équations qui se laissent construire en suivant cette voie , est limité par la méthode elle-même.

Supposons P -=z y l’éq. (10) devient alors, après quelques réductions ,

— icX + 2X^ = 0;

(6) donne

X — dX, =x\ et de ces équations résultent les valeurs

X, = Ix X^ y

Xr=o;-i- 2 X l X — 2 x^ y

yrz:sera par conséquent une intégrale particulière de l’équation

y X {1 2 Ix — 2 x) ^ x^ (Ix — x) = 0.

dx dx^

Si l’on avait pris pour p la valeur a; , on trouverait que y =

est une intégrale particulière des équations

dx dx‘^

et y 11 Q x‘^ =z 0,

^ dx dx^

résultat auquel nous pouvons aussi parvenir d’une autre manière , attendu que ces équations rentrent dans la seconde des deux catégories d’équations différentielles que j’ai citées au commencement de ce Mémoire.