Soit entre y et cp y dans l’équation
niFFÉRENTlELLE LINEAIRE DU SECOND ORDRE.
et son équation intégrante
dx
dx^
la relation
de sorte que
^ C d cp ç d X d (p if dx y^ ^ dx"^
Substituant ces valeurs dans (2) , on trouve après quelques réductions
-X./ii^=0.(4).
<dxf ' dx‘^
f{l-d.X+d\lL . )+y (X-2d.X , )+2X ,
dx
Eliminons maintenant — entre (1) et (4), on a d æ-
y2(2 rf.x + rf^X,)+2^(X-rf.X,)^| +2X, fy =0.(5),
OU
dy
(2 — (/.X + <r- .X , ) + 2 (X — rf.X , ) 'iî + 2 X ,
ilm \ 2
Posons ensuite
X — d.Xj
Féq. (6) se transformera en
équation qui fournit rfy
dx — P ± 1/ Ip^ — 2 X, (2 — d.f>)\
J. DE JONG. SUR l’intégration DE l’ÉQUATION
et
Soit maintenant
par conséquent
^ J^ — Pd-P + X, dKp—(2~d.p)d.X, ~ N
on aura
(-Zl±ld^
*iï — - y ,/
dx 2X,
d’où l’on déduit
dx^ } 4Xj2
=2jj^)N(pX-2X,)+NMp+d.X0±X.(X,d^p+Xd./)-2d.X,)j(14)
Substituant ces valeurs dans (l), on verra que les coefficients , tant de que de N, se détruisent réciproquement, et après quelques réductions et en divisant par + X, on obtiendra:
X, d\p -hX(Lp~2d.X,=0 (15).
Les coefficients X et X, dans (1) doivent donc satisfaire à l’équation (15), lorsque la relation ycpZzzC existe entre y et cp. L’équation (12) détermine alors en même temps une intégrale particulière de (1).
Si nous posons Xj =c, (15) deviendra cd'^.p -^Xd. P zizO
et (7)
DIFFÉREiNTIELLE LIiXÉaIRE DU SECOND ORDRE.
Il en résulte.
et
yz=e
àzxV^ —
sera une intégrale particulière de l’équation
dx
