Lorsque entre y et g,, dans les équations y + +x.^ = o

dx ' dx‘^

et

v(l-rf.X + d.^X,).-(X-2rf.X,)^ + X, (2),

existe la relation

on a

et

X d(p dx

dx‘^

~yx

dx'

2yil + 2xC^-l'

^dx \dx

En portant ces valeurs dans (2) on obtiendra |æ(l-c(.X+rf^X,)— (X-2rf.X,)j -l-y^-a;(X-2rf.X,)-2X,( +

et en ajoutant à cette expression le produit de (1) par yx^ jæ(2— rf.X+c/^X,)~(X-2rf.X,) j +2y^|æ(X-rf.X,)-X,| +

J.'DE JOX(i. SUR l’intégration DE l’ÉQUATION

Posons maintenant

donc

d.pz=æ{d,X — dKX^) -\-X — 2d.X,,

le coefficient de dans l’équation (5) sera

2x — \x{d.X — d^.Xi) -1-X — 2d.Xi j 2x ~d,p,

et (5) se transformera en

{2x. — cl.p) + 2ypp + 2æxY^V= 0. . . (7), d X \dx )

ou

©2 dj^

P dx 2x — d,p ^

On en déduit

dx — P dr 1/ \p"‘- — 2*X, (2x — d.p)\

t—p ± IX- — 2a;X, {2x- d.p)\

J 2xX.

Posant ensuite

on a

^ pd.p — xX^ {2 — d^,p) — {2x — d.p) (Xj -h xd. X,)

xX^d^.p xXd.p — 2x‘^d,X^ — ^xX^

donc

(-P±^dx J 2xX,

dx 2xX^

DlFFÉRKiNTIELLE LINÉAIRE DU SECOND ORDRE.

(Ix

.r2 Xj

\p- — icX, {2x — d.p) + jdN

^ ( J . xXid^.p+xXd.p-2xH.Xt-4:xXt\ , xtn/ iv v i ^Xj — l—L ^ î )-("P±N)(a;c/.Xi+Xi

a:X,(2a;— rf.p)— æXirf.p + p(a;(/.Xj +X,)| =F

-4-N^ |p+X(i.Xj-fX j l±icXj \xX^d^ ,p+xXd.p — 2x^d.Xi—4:xX^ j

X{pxX — 2x'^X^)±æXX‘^ ±

d- æ;X, [xX^d'^.p d- xXd.p — 2x‘^ d.X^ — 4icX, { |. (13).

Si ces valeurs de y, — et sont substituées dans(l), les

dx dx"^

termes en N ^ et N disparaissent et on obtient Téquation

X^d.^p Xd.p — 2xd.X^ — 4X, = 0 . . . . (14).

à laquelle doivent satisfaire les fonctions X etXj lorsque y<)p = ic , tandis que p est déterminée par Téquation (6).

Prenons, par ex., p^c, (14) devient

xd.X^ +2X, =0, Xj

(6) donne alors